2017-2018學(xué)年冀教版九年級數(shù)學(xué)下冊全冊教案

2017-2018學(xué)年冀教版九年級數(shù)學(xué)

下冊全冊教案

目錄

29.1點與圓的位置關(guān)系

29.2直線與圓的位置關(guān)系

29.3切線的性質(zhì)和判定

29.4切線長定理

29.5正多邊形和圓

30.1二次函數(shù)

30.2第1課時二次函數(shù)丫=2*2的圖像和性質(zhì)

30.2第2課時二次函數(shù)y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖像性質(zhì)

30.2第3課時二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

30.3由不共線三點的坐標(biāo)確定二次函數(shù)

30.4第1課時拋物線形問題

30.4第2課時實際問題中二次函數(shù)的最值問題

30.4第3課時將二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題

30.5二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

31.1確定事件和隨機事件

31.2第1課時概率的認(rèn)識

31.2第2課時概率的簡單應(yīng)用

31.3用頻率估計概率

31.4第1課時用列表法求簡單事件的概率

31.4第2課時用畫樹形圖求簡單事件的概率

32.1投影

32.2第1課時尚單幾何體的三視圖

32.2第2課時較復(fù)雜幾何體的三視圖

32.2第3課時由三視圖還原幾何體

32.3直棱柱和圓錐的側(cè)面展開圖

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第二十九章直線與圓的位置關(guān)系

29.1點與圓的位置關(guān)系

i.能從點和圓的位置關(guān)系，判斷點和圓心的距離與半徑的大小關(guān)系.

2.學(xué)會用已知點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，判斷點與圓的位置關(guān)系.

3.認(rèn)識三角形的外接圓，三角形的外心的概念，會畫三角形的外接圓.

一、情境導(dǎo)入

同學(xué)們看過奧運會的射擊比賽嗎？射擊的靶子是由許多圓組成的，射擊的成績是由擊中

靶子不同位置所決定的；如圖是一位運動員射擊6發(fā)子彈在靶上留下的痕跡.你知道這個運

動員的成績嗎？請同學(xué)們算一算.(擊中最里面的圓的成績?yōu)?0環(huán)，依次為9、8、…、1

環(huán))

二、合作探究,

探究點L:點和圓的位置關(guān)系

［類型一］判斷點和圓的位置關(guān)系

畫BI如圖，已知矩形/時的邊4?=3cm,AD=\cm.

(1)以點/為圓心，4cm為半徑作。4,則點氏C,。與。4的位置關(guān)系如何？

(2)若以點1為圓心作。力，使8C,〃三點中至少有一點在圓內(nèi)且至少有一點在圓外,

則的半徑r的取值范圍是什么？

B----------------------C

解：(1)?."8=3cm<4cm,.?.點8在。力內(nèi)；；4Q4cm,...點〃在。H上;'：AC=y/32+42

=5cm>4cm,???點。在。力外.

(2)由題意得，點6一定在圓內(nèi)，點。一定在圓外..,?3cmV_rV5cm.

［類型二］點和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用

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胸?如圖，點。處有一燈塔，警示。。內(nèi)部為危險區(qū)，一洵船誤入危險區(qū)點。處，該

漁船應(yīng)該按什么方向航行才能盡快離開危險區(qū)？試說明理由.

解：漁船應(yīng)沿著燈塔。過點P的射線0方向航行才能盡快離開危險區(qū).理由如下：設(shè)

射線。。交。。與點4過點夕任意作一條弦⑺，連接必，在中，OD-OP<PD,又OD

=OA,：.OA-OP<PD,：.PA<PD,即漁船沿射線CP方向航行才能盡快離開危險區(qū).

探究點二：確定圓的條件

［類型一］經(jīng)過不在同一直線上的三個點作一個圓

W已知：不在同,一直線上的三個已知點4B,。(如圖)，求作：使它經(jīng)過點4

B,C.

解析：根據(jù)線段垂直平分「線上的點到線段兩端點的距離相等，作出邊48、a'的垂直平

分線相交于點。，以。為圓心，以A4為半徑，作出圓即可.

解：(1)連接48、BC-,

(2)分別作出線段48、比的垂直平分線鹿、GF,兩垂直平分線相交于點0,則點。就是

所求作的。。的圓心；

(3)以點。為圓心”冗長為半徑作圓.則O0就是所求作的圓.

方法總結(jié)：線段垂直平分線的作法，需熟練掌握.

.探究點三：三角形的外接圓

［類型一］與圓的內(nèi)接三角形有關(guān)的角的計算

@D如圖，△/6C內(nèi)接于。0,。/%8=20°,則/C的度數(shù)是.

解析：由OA=OB,知//QNQ%=20°,所以/4g140°,根據(jù)圓周角定理，得

Z<7=1z^=70°.

方法總結(jié)：在圓中求圓周角的度數(shù)，可以根據(jù)圓周角定理找相等的角實現(xiàn)互換，也，可

以尋找同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系.

［類型二］與圓的內(nèi)接三角形有關(guān)線段的計算

畫日如圖，在中，。是它的外心，比1=24cm,。到寬的距離是5cm,求的

外接圓的半徑.

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A

BDC

解:連接OB,過點。作ODVBC,則6W=5cm,BD=^BC=12cm.在Rt/\OBD中,施=加西防

=^/5~+122=13cm.即△/回的外接圓的半徑為13cm.

方法總結(jié)：由外心的定義可知外接圓的半徑等，于OB,過點。作ODLBC,易得8ZH12cm一

由此可求它的外接.圓的半徑.

三、板書設(shè)計

?判斷點與圓的位萩/二角形的外接圓）

點和圓的位置關(guān)系

?確定一的條件?內(nèi)接三角形

—個的苔芙計算

凝懿恩

教學(xué)過程中，強調(diào)三角形的外接圓的圓心到三角形三個頂點的距離相離，它是三角形三邊垂

直平分線的交點.在圓中充分利用這一點可解決相關(guān)的計算問題.

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29.2直線與圓的位量關(guān)系

卷司國添

1.了解直線和圓的不同位置關(guān)系.

2.了解直線與圓的不同位置送系時的有關(guān)概念.

3.能運用直線與圓的位置關(guān)系解決實際問題.

一、情境導(dǎo)入

你看過日出嗎，如果把海平面看做一條直線，太陽看做一個圓，在日出過程中，二者會

出現(xiàn)幾種位置關(guān)系呢？如圖二者是什么關(guān)系呢？

二、合作探究

探究點一：直線與圓的位置關(guān)系

［類型—］根據(jù)點到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系

@D已知。。的半徑為5,點P在直線，上，且。三5,直線/與。。的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交

C.相離D.相切或相交

解析：我們考慮圓心到直線/的距離，如果距離大于半徑，則直線/與。。的位置關(guān)系

是相離；若距離等于半徑，則直線,與。。相切；若距離小于半徑，則直線,與。。相交.分

兩種情況討論：⑴伊，直線/,則圓心到直線/的距離為5,此時直線,與。。相切.⑵

若“與直線/不垂直，則圓心到直線的距離小于5,此時直線/與。。相交.所以本題選

D.

方法總結(jié)：判斷直線與圓的位置關(guān)系，主要看該圓心到直線的距離”所以要判斷直線

與圓的位置關(guān)系，我們先確定圓心到直線的距離.

廁?△48C中，43=10cm,&?=8cm,6c=6cm,以點6為圓心、6cm為半徑作。8,則

邊/C所在的直線與的位置關(guān)系是.

解析：根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來判斷.本題根據(jù)勾股定理的逆定理可

知△/優(yōu)■是直角三角形，AC,6c是直角邊，則圓心8到直線/C的距離是6cm,等于。8的半

徑，所以47所在的直線與。6相切.

方法總結(jié):根據(jù)勾股定理的逆定理來判斷三角形的形狀同時求出圓心到直線的距離是解

題的關(guān)鍵.

［類型二］坐標(biāo)系內(nèi)直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用

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頤1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。｛與y軸相切于原點。，平行于小軸的直線交

于跳N兩點.若點"的坐標(biāo)是（一4,—2）,則點A'的坐標(biāo)為（）

A.(-1,-2)B.(1,2)

解析：過點4作附小物,于。，連接/此設(shè)半徑為r,由垂徑定理有附=AQ所以4g

2,4A三_r,,憤=4-r,利用勾股定理可以求出Ae=l.5,所以N點,坐標(biāo)為（-1,一2）.故選

方法總。結(jié)：在圓中如果有弦要求線段的長度，通常要將經(jīng)過圓心的半徑畫出，利用垂

徑定理和勾股定理解決問題.

［類型三］由直線和圓的位置關(guān)系確定圓心到直線的距離

圓U已知圓的半徑等于5,直線？與圓沒有交點，則.

圓心到直線1的距離d的取值范圍是.

解析：因為直線/與圓沒有交點，所以直線/與圓相離，所以圓心到直線的距離大于圓

「的半徑，即d>5.

【.類型四］由直線和圓的位置關(guān)系確定圓的半徑

n直線/與半徑為r的。。相交，且點。到直線1的距離為8,則r的取值范圍是

解析：因為直線/與半徑為r的。。相交，所以dVr,即8Vr,所以填r>8.

三、板書設(shè)計

敬卷感恩

教學(xué)過程中，強調(diào)學(xué)生從實際生活中感受，體會直線與圓的幾種位置關(guān)系，并會用數(shù)學(xué)語言

來描述歸納，經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程.

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29.3切線的性質(zhì)和判定

卷司國添

1.掌握判定直線與圓相切的方法，并能運用直線與圓相切的方法進行計算與證明（重

點）；

2.掌握直線與圓相切的性質(zhì)，并能運用直線與圓相切的性質(zhì)進行計算”與證明（重點，難

點）；

3.能運用直線與圓的位置關(guān)系解決實。際問題.

教尊犍

一、情境導(dǎo)入

約在6000年前，美索不達米亞人做出了世界上第一個輪子——圓形的木盤，你能設(shè)計

一個辦法測量這個圓形物體的半徑嗎？

二、合作探究

探究點一：切線的性質(zhì)

［類型一］切線’的性質(zhì)的運用

畫U如圖，點。是NBAC的邊AC上的一點，。。與邊AB相切于點。，與線段AO

相交于點E,若點P是。O上一點，且/EPO=35°,則/B4C的度數(shù)為（）

解析：連接。。，與邊AB相切于點。，：.OD±AD,：.^ADO=90°：：Z.EPD

=35°,NEOr>=2NEPD=70°,NBAC=90°—NEOO=2（T.故選A.

方法總結(jié)：此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理.解題時要注意運用切線的性質(zhì)，注

意掌握輔助線的作法，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想.

［類型二］利用切線的性質(zhì)進行證明和計算

酗如圖，雨為。。的切線，A為切點.直線P。與。。交于8、C兩點，NP=30°,

連接AO、AB.AC.

（1）求證：

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(2)若4人=小，求。。的半徑.

(1)證明：：雨為。。的切線，A為切點，.?./OAP=90°.又?.?/尸=30°,二/AOB

=60°,又OA=OB,.?.△AOB為等邊三角形.：.AB=AO,NABO=60°.又：BC為。0

的直徑，.,./BAC=90°.在aACB和△APO中，NBAC=NOAP,AB=AO,ZABO^ZAOB,

：.ZXACB絲△APO；

(2)解：在RtZXAOP中，ZP=30°,AP=小,，AO=1,即￡)0的半推為1.

方法總結(jié)：能用切線進行證明和計算時，一般連接切點與圓心，根據(jù)切線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化

已知條件，構(gòu)造出等量關(guān)系求解.

［類型三］探究圓的切線的條件

畫?如圖，。。是△ABC的外接圓，AB=AC=10,BC=12,P是團上的一個動點，

過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D.

(1)當(dāng)點P在什么位置時，。尸是。。的切線？請說明理由；

(2)當(dāng)DP為。。的切線時，求線段BP的長.

解析：(1)當(dāng)點P是於的中點時，得麗4=陷，得出PA是。。的直徑，再利用DP//BC,

得出。P_LB4,問題得證；(2)利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長，進而得出AB的長，

在RtAABP中再次利用勾股定理即可求出BP的長.

解：(1)當(dāng)點P是病的中點時，OP是。。的切線.理由如下：：AB=AC,.?.彘=念,

又：港=沔，，取=曲，，勿是。。的直徑.：而=正，N1=N2,又：A8=4C,

：.PArBC.^'：DP//BC,：.DPLPA,OP是。。的切線.

(2)連接0B,設(shè)融交BC于點E.由垂徑定理，得BE=)C=6.在Rt/\ABE中，由勾股

定理，得.設(shè)。。的半徑為r,則OE=8—r,在RtZ\08E中，由勾「股定

2525

理，得J=6"+(8—r)2,解得r=亍.在RtAABP中，AP=2r=±^,AB=10,:?BP=

夸)Jo?苦.

方法總結(jié):判定直線是否為圓的切線時要從切線的性質(zhì)入手，結(jié)合垂徑定理與勾股定理，

合理轉(zhuǎn)化已知條件，得出結(jié)論.

探究點二：切線的判定

［類型一］判定圓的切線

ISD如圖，點。在。O的直徑AB的延長線上，點C在。O上，AC^CD,/。=30°,

求證：CQ是。。的切線.

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證明：連接。C,'：AC=CD,Z￡>=30°,：.ZA=ZD=30°：：OA=OC,AZ2=ZA

=30°,AZ1=60°,：.ZOCD=90°,J.OCLCD,...CD是。。的切線.

方法總結(jié)：切線的判定方法有三種：①利用切線的定義，即與圓只有一個公共點的直線

是圓的切線；②到圓心距離等于半徑長的直線是圓的切線；③經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于

這條半徑的直線是圓的切線.

［類型二］切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

施時如圖，AB是。。的直徑，點、F、C是。。上的兩點，且經(jīng)=忿=a，連接KC、

AF,過點C作COL4尸交AF的延長線于點。，垂足為D

(1)求證：CQ是。。的切線；

(2)若CD=2小,求。。的半徑.

分析：(1)連接OC,由弧相等得到相等的圓周角，根據(jù)等角的余角相等推得NACQ=N8,

再根據(jù)等量代換得到ZACO+/AC￡)=90°,從而證明C。是。。的切線；(2)由前=FC=CB

推得/D4c=NBAC=30°,再根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即

可求得AB的長，進而求得(DO的半徑.

(1)證明：連接OC,BC.,：FC=CB,：.ADAC=ZBAC：：CDLAF,：.ZADC=9Qa.

:AB是直徑，/.ZACB-900.ZACD^ZB.VBO^OC,：.NOCB=NOBC,"：ZACO

+ZOCB=90°,ZOCB=ZOBC,ZACD=ZABC,：.ZACO+ZACD=90°，即OC_LCD

又：OC是。。的半徑，...CD是。。的切線；

(2)ft$：'：AF=FC^CB,：.ZDAC^ZBAC^30°.'：CD±AF,CD=2?；.AC=4p

在RtZ\ABC中.，NB4C=30°,AC=44,BC=4,AB=8,二。。的半徑為4.

方法總結(jié)：若證明切線時有交點，需“連半徑，證垂直”然后利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角

三角形，在解直角三角形時常運用勾股定理求邊長.

三、板書設(shè)計

1.切線的性質(zhì)

圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

2.切線的判定

經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

藪懿恩

教學(xué)過程中，經(jīng)歷切線性質(zhì)的探究，從中可得出判定切線的條件，整個學(xué)習(xí)過程是一個

逐層深入的過程.因此教師應(yīng)當(dāng)對學(xué)生在探究過程中遇到的問題及時進行解決，使學(xué)生能更

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全面的掌握知識.

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29.4切線長定理

卷司國添

1.掌握切線長定理，初步學(xué)會運用切線長定理進行計算與證明.

2.了解有關(guān)三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念.

3.學(xué)會利用方程思想解決幾何問題，體驗數(shù)形結(jié)合思想.

一、情境導(dǎo)入

新農(nóng)村建設(shè)中，張村計劃在一個三角形中建一個最大面積的圓形花園，請你設(shè)計一個建

筑方案.、

二、合作探究

探究點一：切線長定理

［類型—］利用切線長定理求三角形的周長

@D如圖，PA,陽分別與。。相切于點點B,的切線跖分別交融、引于點￡F,

解析：因為必、外分別與。。相切于點/、B,所以PA=PB,因為。。的切線夕7分別交

PA、%于點反F,切點為C,所以CF=BF,而丫入?yún)睵EF的淤KPE+EF+PF=PE+

EC+CF+PF=(PE+EO+(CF+PR=必+陽=2+2=4.

［類型二］利用切線長定理求角的大小

n如圖，PA、陽是。0的切線，切點分別為從B,點C在。。上，如果//370°,

那么/的的度數(shù)是度.

解析：如圖所示，連接力、OBJ：PA、%是。（9的切線，切點分別為力、B,：.OA±PA,

OB'PB,:.NOAP=/OBP=9Q°.又：/=2N4"=140°,二//陽=360°-APAO-

NA0B—N0BP=36G°-90°-140°-90°=40°.又易證△尸6MgZX/W,N如=^24%

=20°.故答案為20.

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方法總結(jié)：由公共點引出的兩條切線，可以運用切線長定理得到等腰三角形.另外根據(jù)

全等的判定，可得到P0平分4APB.

［類型三］切線長定理的實際應(yīng)用

n為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面

上，用一個銳角為30°的三角板和一把刻度尺，按如圖.所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)”進「而可

求得鐵環(huán)的半徑.若測得必=5cm,則鐵環(huán)的半徑長是多少？說一說你是如何判斷的.

PA

解：過。作O4U/8于。，設(shè)。鐵環(huán)的圓心為0,連接OAOA.,：AP.為。。的切線，，

4。為/必0的平分線，即NRIUN》。.又/班C=60°,/處什/Q!什/胡C=180°,

胡。=/。1。=60°.在Rt△的中，PA=5,ZPOA=-30°,：.OP=5y［5(cm),即鐵環(huán)的

半徑為5mcm.

探究點二：三角形的內(nèi)切圓

［類型一］求三角形的內(nèi)切圓的半徑

血。如圖，。。是邊長為2的等邊的內(nèi)切圓，則00的半徑為________.

解析：如圖，連接。〃由等邊三角形的內(nèi)心即為中線，底邊高，角平分線的交點.所以

ZOCD=30°,ODS-BC,所以CD=匕BC,%=2即.又由僅7=2,則以=1.在Rt△歐中，根

據(jù)勾股定理得以+切,=紀(jì)，所以0+『=(2①)；，所以勿=建.即。0的半徑為要.

JO

方法總結(jié)：等邊三角形的內(nèi)心為等邊三角形中線，底邊高，角平分線的交點，它到三邊

的距離相等.

［類型二］求三角形的周長

W如圖，Rt△/比1的內(nèi)切圓。。與兩直角邊/氏式'分別相切于點〃、E,過劣弧應(yīng)'(不

包括端點以9上任一點尸作。。的切線.，協(xié)'與4員分別交于點M1若?！ǖ陌霃綖閞,

則Rt△劭郎的周長為()

35

A.rB.-rC.2rD.5T

A

解析：連接如，OE,是RtZUSC的內(nèi)切圓，：.OD工AB,OE1BC.又：監(jiān)，步都是

的切線，且〃、一是切點，:.MAMP,同理可得心=力耳...隰△網(wǎng)=跖9+BN+NM=MB+BN

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+NP+P；lf=MD+BN+NE=BD+BE=2r,故選C.

三、板書設(shè)計

教學(xué)過程中，強調(diào)用切線長定理可解決有關(guān)求角度、周長的問題.明確三角形內(nèi)切圓的圓心

是三角形三條角平分線的交點，到三邊的距離相等.

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29.5正多邊形和圓

卷閏國添

1.了解正多邊形與圓的有關(guān)概念；

2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會運用正多邊形和

圓的有關(guān)知識畫正多邊形.(重點)

教暮靖

一、情境導(dǎo)入

生日宴。會上，佳樂等6位同學(xué)一起過生舊，他想杷如圖斯示蛋糕平均分成6份，你能

幫他做到。嗎？

二、合作探究

探究點一：圓的內(nèi)接正多邊形的相關(guān)計算

(SU如圖，有一個圓。和兩個正六邊形方，4a的6個頂點都在圓周，上，心的6條

邊都和圓。相切.

e

(1)設(shè)T”4的邊長分別為“，b,圓。的半徑為r,求r：〃及r：力的值；

(2)求正六邊形T|,"的面積比Si：S2的值.

解：(1)連接圓心。和刀的6個頂點可得6個全等的正三角形.所以，?：a=l：1.連接

圓心。和心相鄰的兩個頂點，得以圓O的半徑為高的正三角形，所以r：8=小：2；

(2)正六邊形7］與72的邊長比是?。?,所以&：$2=3:4?

方法總結(jié)：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫，出圖形，再由三角函數(shù)的定義及特殊角的三角

函數(shù)值求解.

探究點二：與正多邊形相關(guān)的計算

［類型—］求正多邊形的中心角.

n已知一個正多邊形的每個內(nèi)角均為108°,則它的中心角為度.

解析：每個內(nèi)南為108°,則每個外角為72°.根據(jù)多邊形的外角和等于360°..正多

邊形的邊數(shù)為5,則其中心角為360°+5=72°.故填72.

方法總結(jié)：本題考查。了正多邊形的內(nèi)角與外角，對于正多邊形，利用多邊形的外角和

除以每一個外角的度數(shù)求邊數(shù)更簡便.

［類型二】求正多邊形的邊長和面積

已知正六邊形ABSEF的外接圓半徑是R,求正六邊形的邊長”和面積S

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1801

解：連接。A、OB,過。作OH_L48,則NAO”=-^=30°,：.AH=^R：.a=2AH.

oZfr

=/?.由勾股定理可得OH2=R2—&R)2,：.OH=^R,；.S=g.a?OH乂6.=3.R.當(dāng)R.6

方法總結(jié)：本題考查的是正六邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知正六邊形的邊長等于

半徑.

三、板書設(shè)計

教學(xué)過程中，強調(diào)正多邊形與圓的聯(lián)系，將正多邊形放在圓中便于解決、探究更多關(guān)于正多

邊形的問題.

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第三十章二次函數(shù)

30.1二次函數(shù)

售司醐

i.理解、掌握二次函數(shù)的概念和一般形式；（重點）

2.會利用二次函數(shù)的概念解決晌題；（重點）

3.列二次函數(shù)表達式解決實際問題.（難點）

教尊犍

一、情境導(dǎo)入

已知長方形窗戶的周長為6m,窗戶面積為ym，窗戶寬為xm,你能寫出y與x之間

的函數(shù)關(guān)系式嗎？它是L?什么函數(shù)呢？

n

二、合作探究

探究點一：二次函數(shù)的概念

［類型一］二次函數(shù)的識別

碰I下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（）

①y=x+1；②y=3（x—1）?+2；③y=（x+3/—2?；④y=$+x.

A.4個B.3個C.2個D.1個

解析：①/=%+:，@y=p+x的右邊不是整式，故①④不是二次函數(shù)；②y=3（x—1尸

+2,符合二次函數(shù)的定義；③y=（x+3）2—2?=—必+6］+9,符合二次函數(shù)的定義.故選

C.

方法總結(jié):判定一個函數(shù)是否是二次函數(shù)常有三個標(biāo)準(zhǔn):①所表示的函數(shù)關(guān)系式為整式;

②所表示的函數(shù)關(guān)系式有唯一的自變量；③所含自變量的關(guān)系式最高次數(shù)為2,且函數(shù)關(guān)系

式中二次項系數(shù)不等于0.

［類型二］利用二次函數(shù)的概念求字母的值

畫。.當(dāng)A為何值時，函數(shù)y=（4一1）工好+/+1為二次函數(shù)？

解析：根據(jù)二次函數(shù)的概念，可得然+后=2且同時滿足即可解答.

,優(yōu)+&=2,伏=1或一2,

解：???函數(shù)y=（A—DXF+Z+I為二次函數(shù)，J解得‘jI

［攵-1W0,［21,

:?k=12.

方法總結(jié)：解答本題要考慮兩方面：一是x的指數(shù)等于2；二是二次項系數(shù)不等于0.

「【類型三］二次函數(shù)相關(guān)量的計算

圓?已知二次函數(shù)y=-/+版+3,當(dāng)x=2時，y=3.則x=l時，y=.

解析：???二次函數(shù)），=一產(chǎn)+飯+3,當(dāng)x=2時，y=3,A3=-22+2^+3,解得b=2.

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.?.這個二次函數(shù)的表達式是)，=-f+2x+3.將x=l代入得)，=4.故答案為4.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是先確定解析式，再代入求值.

[類型四]二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系

畫EJ已知函數(shù)y—(nr-nijx1+(TM-1)x+1.

(1)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求機的值；

(2)若這個函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值應(yīng)怎樣？

解析：根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義解答.

解：(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義,得m2—m=0,解得m—0或1.又1W0,即

當(dāng)加=0時，這個函數(shù)是一次函數(shù)；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義，得〃?#(),解得或帆片1,.?.當(dāng),wW0或機W1時，

這個函數(shù)是二次函數(shù).

方法總結(jié)：熟記二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義，另外要注意二次函數(shù)的二次項的系數(shù)不等

于零.

探究點二：從實際問題中抽象出二次函數(shù)廨析式

[類型—]從幾何圖形中抽象出二次函數(shù)解析式

墻

DC

菜園

A-------------------------B

n如圖，用一段長為so米的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園

ABCD,設(shè)4B邊長為x米，則菜園的面積y(單位：米方與武單位：米)的函數(shù)關(guān)系式為多少？

解析：根據(jù)已知由AB邊長為x米可以推出BC=g(30-x),然后根據(jù)矩形的面積公式即

可求出函數(shù)關(guān)系式.

解：邊長為x米，而菜園A8CD是矩形菜園，.,.BC=g(30—x),...菜園的面積=

ABXBC—^(30—x)-x,則菜園的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=—；f+15x.

方法總結(jié)：函數(shù)與幾何知識的綜合問題，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化.有些題目是以幾何

知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運用幾何知識建立量與量的等式.

[類型二]從生活實際中抽象出二次函數(shù)解析式

H某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次，第1檔次(最低檔次)的產(chǎn)品一天能

生產(chǎn)95件，每件利潤6元.每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件.

(1)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元(其中x為正整數(shù)，且IWXWIO),求出y

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1120元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.

解析：(1)每件的利潤為6+2。-1),生產(chǎn)件數(shù)為95—5。―1),則>=[6+2。-1)][95—

(2)由題意可令y=1120,求出x的實際值即可.

解：(I)：?第一檔次的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元，每提高一個檔次，每件利

潤力口2元，但一天產(chǎn)量減少5件，.?.第x檔次.，提高的檔次是。-1)檔，利潤增加了2。一

1)元./.7=[6+2(%-1)][95-5(%-1)],即>=-10小+180工+400(其中x是正整數(shù)°,且

(2)由題意可得一10小+i80x+400=1120,整理得/-18X+72=0,解得/1=6,e=12(舍

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去）.

所以，該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為第6檔.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型.

三、板書設(shè)計

二次函數(shù)

1.二次函數(shù)的概念

2.從實際問題中抽象出二次函數(shù)解析式

歙暮殿思

二次函數(shù)是一種常見的函數(shù)，應(yīng)用非常廣泛，它是客觀地反映現(xiàn)實世界中變量之間的數(shù)量關(guān)

系和變化規(guī)律的一種非常重要的數(shù)學(xué)模型.許多實際問題往往可以歸結(jié)為二次函數(shù)加以研

究.本節(jié)課是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的第一節(jié)課，通過實例引入二次函數(shù)的概念，并學(xué)習(xí)求一些簡單

的實際問題中二次函數(shù)的解析式.在教學(xué)中要重視二次函數(shù)概念的形成和建構(gòu)，在概念的學(xué)

習(xí)過程中，讓學(xué)生體驗從問題出發(fā)到列二次函數(shù)解析式的過程，體驗用函數(shù)思想去描述、

研究變量之間變化規(guī)律的意義.

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30.2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

第1課時二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)

1.會用描點法畫出y=aV的圖像，理解拋物線的概念.

2.掌握形如/=2/的二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，并會應(yīng)用.

跳卷嵋

一、情境導(dǎo)入

自由落體公式方為常量），/?與t之間是什么關(guān)系呢？它是什么函數(shù)？它的圖像

是什么形狀呢？

二、合作探究

探究點一：二次函數(shù)尸af的圖像

［類型—］圖像的識別

頸1已知aWO,在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)夕=/與的圖像有可能是（）

解析：本題進行分類討論：（1）當(dāng)a>0時，函數(shù)的圖像開口向上，函數(shù)y=ax

圖像經(jīng)過一、三象限，故排除選項B;（2）當(dāng)aVO時，函數(shù)的圖像開口向下，函數(shù)

K=ax圖像經(jīng)過二、四象限，故排除選項D：又因為在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax與y

的圖像必有除原點（0,0）以外的交點，故選擇C.

方法總結(jié)：分a>0與aVO兩種情況加以討論，并且結(jié)合一些特殊點，采取“排除法”.

［類型二］實際問題中圖像的識別

解析：根據(jù)力關(guān)于方的函數(shù)關(guān)系式為力=ggd,其中g(shù)為正常數(shù)，e為時間，因此函數(shù)力

圖像是受一定實際范圍限制的，圖像應(yīng)該在第一象限，是拋物線的一部分，故選A.

方法總結(jié)：在識別二次函數(shù)圖像時，應(yīng)該注意考慮函數(shù)的實際意義.

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探究點二：二次函數(shù)y=af的性質(zhì)

［類型—］利用圖像判斷二次函數(shù)的增減性

圓?作出函數(shù)尸一f的圖像，觀察圖像，并利用圖像回答下列問題：

(1)在y軸左側(cè)圖像上任取兩點4(為，yi),6(如㈤，使用〈為<0,試比較%與度的大

小；

(2)在y軸右側(cè)圖像上任取兩點以孫珀，Dj必)，使質(zhì)>兩>0,試比較％與K的

大??；

⑶由⑴、(2)你能得出什么結(jié)論?

解析：根據(jù)畫出的函數(shù)圖像來確定有關(guān)數(shù)值的大小，是一種比較常用的方法.

解：(1)圖像如圖所示，由圖像可知%>%，(2)由圖像可知必<%；(3)在y軸左側(cè)，y

隨x的增大而增大，在y軸右側(cè)，y隨/的增大而減小.

方法總結(jié)：解有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì)問題，最好利用數(shù)形結(jié)合思想，在草稿紙上畫出拋物

線的草圖進行觀察和分析以免解題時產(chǎn)生錯誤.

［類型二］二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合題

@D已知函數(shù)尸(加+3)癡+3?-2是關(guān)于x的二次函數(shù).

(1)求m的值；

(2)當(dāng)加為何值時，該「函數(shù)圖像的開口向下？

(3)當(dāng)卬為何值時，該函數(shù)有最小值？

(4)試說明函數(shù)的增減性.

\nt+3m-2=2,

解析：(1)由二次函數(shù)的定義可得故可求卬的值.

［加+3W0,

(2)圖像的開口向下，則w+3V0；

(3)函數(shù)有最小值，則見+3>0;

(4)函數(shù)的增減性由函數(shù)的開口方向及對稱軸來確定.

以/+3加-2=2,=—4,施=1,

解：(1).根據(jù)題意，得,解得二當(dāng)卬=-4或必=1時,

+3W0,工一3.

原函數(shù)為二次函數(shù).

(2),圖像開口向下，.?.，+3V0,.,.“一3,...皿=—4....當(dāng)卬=—4時,該函數(shù)圖像的

開口向下.

(3)：函數(shù)有最小值，，卬+3。>0,R>一3,...)=1,...當(dāng)勿=1時，原函數(shù)有最小值.

(4)當(dāng)加=—4時，此函數(shù)為y=-V,開口向下，對稱軸為y軸，當(dāng)xVO時，y隨x的

增大而增大；當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小.

當(dāng)勿=1時，此函數(shù)為尸4/，開口向上，對稱軸為y軸，當(dāng)x<0時，y隨x的增大而

減??；當(dāng)x>0時，了隨x的增大而增大.

方法總結(jié)：二次函數(shù)的最值是頂點的縱坐標(biāo)，當(dāng)a>0時，開口向上，頂點最低，此時

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縱坐標(biāo)為最小值；當(dāng)a<0時，開口向下，頂點最高，此時縱坐標(biāo)為最大值.考慮二次函數(shù)

的增減性要考慮開口方向和對稱軸兩方面的因素，因此最好畫圖觀察.

探究點三：確定二次函數(shù)尸af的表達式

［類型一］利用圖像確定尸af的解析式

酶一個二次函數(shù)y=af(aW0)的圖像經(jīng)過點4(2,—2)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點6,求

其關(guān)系式.

解析：坐標(biāo)軸包含x軸和y軸，故點4(2,-2)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點不是一個點，而是

兩個點.點4(2,—2)關(guān)于x軸的對稱點5(2,2),點4(2,-2)關(guān)于y軸的對稱點8(—2,

—2).

解：?.?點6與點4(2,一2)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，.?.1(2,2),與(一2,-2).當(dāng)尸a/的

圖像經(jīng)過點8(2,2)時，2=aX2°,"弓，.，=%；當(dāng)y=af的圖像經(jīng)過點笈(一2,—

2)時，-2=aX(―2”，.?.a=一；,"=一%..,.二次函數(shù)的關(guān)系式為尸%或y=一

方法總結(jié)：當(dāng)題目給出的條件不止一個答案時，應(yīng)運用分類討論的方法逐一進行討論，

從而求得多個答案.

［類型二］二次函數(shù)F=af的圖像與幾何圖形的綜合應(yīng)用

畫EI已知二次函數(shù)尸a/gWO)與直線尸2x—3相交于點4(1,垃,求：

(Da,6的值;

(2)函數(shù)尸af的圖像的頂點M的坐標(biāo)及直線與拋物線的另一個交點6的坐標(biāo).

解析：直線與函數(shù)尸af的圖像交點坐標(biāo)可利用方程求解.

解：(IL.?點4(1,6)是直線與函數(shù)尸af圖像的交點，，點4的坐標(biāo)滿足二次函數(shù)和

b=aX1",Ja=—1,

直線的關(guān)系式,6=2Xl-3,"U=-l.

(2)由(1)知二次函數(shù)為尸一V,頂點水即坐標(biāo)原點)的坐標(biāo)為(0,0),由一V=2x—3,

解得%=1,熱=-3,-%=-9,...直線與拋物線的另一個交點8的坐標(biāo)為(一3,

-9).

［類型三］二次函數(shù)二的實際應(yīng)用

@8如圖所示，有一拋物線形狀的橋洞.橋洞離水面最大距離〃〃為3m,跨度48=6m.

(1)請”你建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并求出在此坐標(biāo)系下的拋物線的關(guān)系式；

(2)一艘小船上平放著一些長3m,寬2nl且厚度均勻的矩形木板，要使小船能通過此橋

洞，則這些木板最高可堆放多少米？

解析：可令。為坐標(biāo)原點，平行于46的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則可設(shè)此

拋物線函數(shù)關(guān)

系式為尸af.由題意可得6點的坐標(biāo)為(3,-3),由此可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式，

然后利用此拋物線的函數(shù)關(guān)系式去探究其他問題.

解：(1)以。點為坐標(biāo)原點，平行于線段48的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐

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標(biāo)系，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為尸af.由題意可得少點坐標(biāo)為（3,-3）,.---3=^X32,

解得a=-J,.?.拋物線的函數(shù)關(guān)系式為尸一白.

oO

111O

（2）當(dāng)矛=1時，尸一三X?〃獷=3,???木板最高可堆放3一鼻=鼻（米）.

OoOO

方法總結(jié)：解決實際問題時，要善于把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型解決

實際問題的思想.

三、板書設(shè)計

教艘恩

教學(xué)過程中，強調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數(shù)v=a*的圖像與性質(zhì)，

體會數(shù)學(xué)建模的數(shù)形結(jié)合的思想方法.

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第2課時二次函數(shù)y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖像和性質(zhì)

卷司國添

1.會用描點法畫出y=a(x一方尸和尸a(x—而本+4的圖像.

2.掌握形如y=a(x—加2和y=a(x-77)2+4二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，并會應(yīng)用.

3.理解二次函數(shù)y=a(x—力產(chǎn)及y=a(x—力尸+A與尸之間的聯(lián)系.

跳卷嵋

一、情境導(dǎo)入

涵洞是指在公路工程建設(shè)中，為了使公路順利通過水渠不妨礙交通，修筑于路面以下的

排水孔道(過水通道)，通過這種結(jié)構(gòu)可以讓水從公路的下面流過.從如圖所示的直角坐標(biāo)系

中，你能得到函數(shù)圖像解析式嗎？

.V

--4-?

二'合作探究

探究點一：二次函數(shù)尸a(x一方>的圖。像和性質(zhì)

［類型一］y=a(X一分尸的圖像與性質(zhì)的識別

圓11已知拋物線尸a(x—而"aWO)的頂點坐標(biāo)是(-2,0),且圖像經(jīng)過點(一4,2),

求■a,h的值.

解：???拋物線尸a(x—力(WO)的頂點坐標(biāo)為(一2,0),；"=—2.又1?拋物線y=a(x

+2產(chǎn)經(jīng)過點(一4,2),(-4+2)。a=2,.?.@=稱

方法總結(jié)：拋物線尸a(x—/?)2的頂點坐標(biāo)為(力，0),對稱軸是直線*=力.

［類型二］二次函數(shù)j=a(x-/M增減性的判斷

廁?對于二次函數(shù)尸9(犬一1)2,下列結(jié)論正確的是()

A.y隨x的增大而增大

B.當(dāng)x>0時、y隨x的增大而增大

C.當(dāng)心>一1時，y隨x的增大而增大

D.當(dāng)無>1時，y隨x的增大而增大

解析：由于a=9>0,拋物線開口向上，而方=1,所以當(dāng)M>1時，y隨才的增大而增

大.故選D.

［類型三］確定y=a(x—力)之與？=①/的匚關(guān)系

胸?能否向左或向右平移函數(shù)y=—T/的圖像，使得到的新的圖像過點(—9,-8)?

若能，請求出平移的方向和距離；若不能，請說期理由.

解：能。，設(shè)平移后的函數(shù)為尸一生一獷，將*=-9,尸一8代入得一8=一白一9

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-A)2,所以力=-5或4=—13,所以平移后的函數(shù)為y=—/X+5)2或y=—*X+13)2.即

拋物線的頂點為(-5,0)或(一13,0),所以向左平移5或13個單位.

方法總結(jié)：根據(jù)拋物線平移的規(guī)律，向右平移入個單位后，a