上半年高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試復(fù)變函數(shù)與積分變換試題及答案

第一部分選擇題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共20小題，每小題2分，共40分)在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。1．復(fù)數(shù)z=I6-Ai的輻角為( )2525arctan1-arctan1∏-arctan12∏+arctan12.方程Rez2=1所表示的平面曲線為(A.圓3.π復(fù)數(shù)Z=-3(cos-5,-isinB.直線π5)的三角表示式為(C.橢圓口.雙曲線4.5.44A.-3(cos5π,+isin5π)44C.3(cos5π,+isin5π)設(shè)Z=CoSi，則( )A.Imz=0B.Rez=πB.D.C.復(fù)數(shù)e3÷i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(A.第一象限B.第二象限C.3(cos4π,—isin4π)

54-3(cos5π,4—isin—π5|z|=0D.argz=π第三象限D(zhuǎn).第四象限22)))2)6.設(shè)W=Ln(I-I),則Imw等于( )πA.——4πB.2kπ——,k=0,±1,…

4Cπ. 4πD.2kπ÷—,k=0,±1,…4π7.函數(shù)W=z2把Z平面上的扇形區(qū)域：0Vargz<-3-,0<|Z|<2映射成W平面上的區(qū)域( )2πA.0<argz<—,0<|M<4C. 0<argz<1,0<|w|<2πB.0Vargz<—,0<|M<4πD.0<argz<—,0<|M<2.若函數(shù)f(z)在正向簡單閉曲線C所包圍的區(qū)域D內(nèi)解析，在C上連續(xù)，且z=a為D內(nèi)任一點(diǎn)，n為正整數(shù)，則積分Jf(z)等于(

C(Z—a)n÷1)A.-π^-f(n÷1)(a)

(n÷1)!2πiB.--f(a)

n!C.2πf(n)(a)D.2πif .--f(n)(a)n!.設(shè)C為正向圓周Iz+1l=2,n為正整數(shù)，則積分Jc—dz—等于((Z-i)n÷1)A.1B.2πiC.0D.12πi10.設(shè)C為正向圓周IzI=I，則積分Jdz-i等于(

cIzI)A.011.設(shè)函數(shù)f(z)=JZζeζdζ0B.2∏i，則f(z)等于(C.2∏)D.A.ZeN+ez+1B.zez+ez—1C.—zez+ez—1D.12.設(shè)積分路線C是帖為z=-1到z=1的上半單位圓周，z+1則J——dz等于(A.2+πiB.2-πiC.cz2-2-πiD.—2∏zez一ez+1)-2+πiΣzn-1-r的收斂區(qū)域?yàn)? )n!n=1A.0<IzI<+∞B.IzI<+∞C.0<IzI<-1D.IzI<114.Z=π-是函數(shù)f(z)=A.一階極點(diǎn)./π?Sin(Z--) 3-的(3z-πB.可去奇點(diǎn))C.一階零點(diǎn)D.cotπz15?z=-1是函數(shù)F的()A.3階極點(diǎn)B.4階極點(diǎn)C.5階極點(diǎn)D.51(n+1)!16.冪極數(shù)乙 zn的收斂半徑為(2n)!n=1()A.0B.1C.2D.17.設(shè)Q(Z)在點(diǎn)z=0處解析，f(z)=Q(z)z(z-1)則Res[f(z),0]等于()A.Q(0)B.－Q(0)C.Q'(0)D本性奇點(diǎn)6階極點(diǎn)十∞—Q'(0)18.下列積分中，積分值不為零的是( )A.J(z3+2z+3)dz,其中C為正向圓周Iz-1I=2B.C.D.cJezdz,其中C為正向圓周IzI=5cJ?dz,其中C為正向圓周IzI=1cSinzJCoszdz,其中C為正向圓周IzI=2cz-119.映射W=z2+2z下列區(qū)域中每一點(diǎn)的伸縮率都大于1的是( )1 111A?Iz+11〉 B?Iz+11< C?IzI〉 D.Iz|<\o"CurrentDocument"2 222八 兀.下列映射中，把角形域0<argz<-保角映射成單位圓內(nèi)部IwI<1的為( )z4+1 z4－1 z4－i z4+iA.w= B.w= C.w=—— D.w= z4-1 z4＋1 z4＋i z4-i第二部分非選擇題(共60分)二、填空題(本大題共10空，每空2分，共30分)不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無分。.復(fù)數(shù)Z=4+λ/48i的模IzI=。.設(shè)Z=(1+i)100，則ImZ=。23.設(shè)z=e2+i，則argz=24.f(z)的可導(dǎo)處為25.26.、一兀. 方程InZ=—i的解為_設(shè)C為正向圓周IzI=1,貝UJ(1+z)dz=cz27.設(shè)C為正向圓周Iz—iI=1,則積分J>：、dz= 2cz(z-i)228.設(shè)C為正向圓周IZI=2,f(z)=.兀Sin—3dζ,其中IzI<2,則f'(1)=Jc^n!.冪極數(shù)乙——zn的收斂半徑為nnn=111 1.函數(shù)f(z)=-[1+ +…+ ]在點(diǎn)z=0處的留數(shù)為 zz+1(z+1)5三、計(jì)算題(本大題共4小題，每小題5分，共20分).求U=x2+2xy-y2的共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)，并使v(0,0)=1oZ+Zl.計(jì)算積分I=J dz的值，其中C為正向圓周IzI=2ocIzI.試求函數(shù)f(z)=Jze-ζ2dζ在點(diǎn)z=0處的泰勒級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)域。034.計(jì)算積分I=Jc(z-i)2(z+3i)2dz的值，其中C為正向圓周lz-1l=3。e兀Z四、綜合題(下列3個(gè)題中，35題必做，36、37題中只選做一題，需考《積分變換》者做37題，其他考生做36題，兩題都做者按37題給分。每題10分，共20分).利用留數(shù)求積分I=>一CosXCdx的值。0 X4+10X2+9.設(shè)Z平面上的區(qū)域?yàn)镈：lz+il>√2,lz-il<√2，試求下列保角映射兀 3W=f(z)把D映射成W1平面上的角形域D：_<argw<—兀；1 1 1 14 1 4兀w=f(w)把Dl映射成W2平面上的第一象限D(zhuǎn)：0<argw<—;1 21 2 22w=f3(w2)?D2映射成W平面的上半平面：Imw>0;w=f(z)?D映射成G。37．積分變換(1)設(shè)F(3)=,a是一個(gè)實(shí)數(shù)，證明{'-2y"y=1,(2)利用拉氏變換解常微分方程初值問題： y(0)=0,y'(0)=-1.OO二年上半年高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試

復(fù)變函數(shù)與積分變換試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（課程代碼2199）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分）1．B 2．D 3．C4．A 5．A6．B 7．A 8．D 9． C 10．A11．D 12．C 13．B 14．B 15．C 16．D 17．B 18．D 19．A 20．C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）21.822．023．11 _ iH.z=0 25.Z=2(1+i√3),或e??H3 H H.4∏i27.—2∏(∏+i) 28.一i,或2πi?-Cos- 29.E3 3 3三、計(jì)算題(本大題共4小題，每小題5分，共20分).解1：?.?—=2x+2y,電=2x-2y,SX Sy30.6Sv SXSv Su由C—R條件，有一=一,一=——,

Sy SXSX Sy,V=∫S∑dy=J(2X+2y)dy=2xy+y2+φ(x)。SX（2分）再由Iu=2y+φ'(x)=-2x+2y=-IU,

SX Sy得φ'(x)=-2x，于是φ(x)=-x2+C,,v=2Xy+y2-X2+C。（4分）.解1：由v(0,0)=1,得C=1。故v=2xy+y2-X2+1解2：(0,0)Sv Sv—dx+—dy+CSX Sy(x,y)(2y-2x)dx+(2x+2y)dy+C(0,0)=-x2+2xy+y2+C以下同解1。Z+Z』1J dz=2Rezdz=CIzI2C∫π2cosθ?2i(cosθ-π（5分）（2分）(4分)+isinθ)dθ(3分)4i∫π(1+cos2θ)dθ=4πi。（5分）0(卷+2J、解2：?Cdz=J2π02e-iθ2eiθ+ 22ieiθdθ(3分)=2i(2兀+0)=4兀i。(5分).解：因?yàn)閒'(z)=e-z2=E%?!=￡(-1)n!n!n=0 n=0所以由幕級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)逐項(xiàng)求積性質(zhì)n—Z2n(IZI<+∞),(2分)∫y∞S(-1)nZ2n+1

Zf'(ζ)dζ=E(IrN--0 n!2n+1n=0(IzI<+∞)(5分).解：因在C內(nèi)f(z)=(z-i)2(z+3i)2有二階級(jí)點(diǎn)Z=I，所以2XJ 2πi1? d/ ??r?∕\f(z)dz=--lim—(z-i)2f(z)

1!ZidzZ→i=2πilimπe兀Z2eπzZT(z+3i)2(Z+3i)π=—(-1+2πi)。16四、綜合題(下列3個(gè)題中，35題必做，36、37題中只選做一題，(2分)(5分)需考《積分變換》者做37題，其他考生做36題，兩題都做者按37題給分。每題10分，共20分)35.解：在上半平面內(nèi)，f(z)=eiz有一階極點(diǎn)z=i和z=3io

(Z2+1))(Z2+9)(2分)JCde兀Z2√3,得...I=1J+∞ Cosx =1rJ+∞ ex dx (4分)2.∞(x2+1)(x2+9)dx2 ,∞(x2+1)(x2+9)=1RebπiResIf(Z),i1+2πiResIf(Z),3iD, (6分)2ReSf(Z),i]=—!—,16eiReSf(Z)M=--?^, (9分)48e3iπ一「? I=——(3e2-1)o (10分)48e3IZ+iI=、236.解：(1)由lz.il=、打解得交點(diǎn)z1+1,z2=-1o (2分)z-1 4 3 ..設(shè)W=——，則它把D映射成W1平面上的D:—<argw<—π(4分)1z+1 1 1π14一 一嚴(yán)(2)設(shè)w2=e4W，則它把D1映射成11π ...W平面上的第一象限D(zhuǎn)：0<argw<—。 (6分)2 2 2 2(3)設(shè)W=W2，則它把D,映射成W平面的上半平面G：Imw>0。 (8分)22(10分)37.解：(1)Sz?！?∞f(τ-a)g(t-T)dτ=SZf(t-a)*g(t)] (2分)I-—∞ 一=.ylf(t-a