伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用

伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用摘要：伴隨矩陣是矩陣?yán)碚摷熬€性代數(shù)中的一個(gè)基本概念,是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具。伴隨矩陣作為矩陣中較為特殊的一類,其理論和應(yīng)用有自身的特點(diǎn).而在大學(xué)的學(xué)習(xí)中,伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn)的,并沒(méi)有深入的研究.本文分類研究伴隨矩陣的性質(zhì),并討論其證明過(guò)程,得到一系列有意義的結(jié)論。(1)介紹伴隨矩陣在其行列式、秩等方面的基本性質(zhì);(2)研究數(shù)乘矩陣、乘積矩陣、分塊矩陣的伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)及伴隨矩陣在逆等方面的運(yùn)算性質(zhì);(3)研究矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)聯(lián)性質(zhì),主要介紹由矩陣的對(duì)稱性、正定性、奇異性、正交性推出伴隨矩陣的對(duì)稱性、正定性、奇異性、正交性;(4)研究伴隨矩陣間的關(guān)系性質(zhì),主要研究由兩矩陣的相似、合同等關(guān)系推出對(duì)應(yīng)的兩伴隨矩陣之間的關(guān)系;(5)研究伴隨矩陣在特征值與特征向量等方面的性質(zhì);(6)給出m重伴隨矩陣的定義及其一般形式,研究m重伴隨矩陣的相應(yīng)的性質(zhì)。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于研究了一類分塊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)。矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)工具，也常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫(huà)制作也需要用到矩陣。在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。然而伴隨矩陣在矩陣中占據(jù)著比較特殊的位置，通過(guò)它可以推導(dǎo)出逆矩陣的計(jì)算公式，使方陣求逆的問(wèn)題得到解決，伴隨矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用有著與眾不同的特點(diǎn)。在矩陣計(jì)算及討論中,常常會(huì)遇到伴隨矩陣,但對(duì)伴隨矩陣的一些性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)討論的卻很少,以下將主要針對(duì)伴隨矩陣的各種性質(zhì)及應(yīng)用討論。關(guān)鍵詞：伴隨矩陣可逆矩陣方陣性質(zhì)伴隨矩陣的定義定義1.設(shè)是矩陣A=中元素的代數(shù)余子式，則矩陣A=稱為A的伴隨矩陣。定義2.設(shè)A為n階方陣，如果有矩陣B滿足AB=BA=E,則B就稱為A的逆矩陣，記為B=。*注意：只有方陣才有伴隨矩陣和逆矩陣。2、伴隨矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)A為n階方陣，AA=AA=E.證明：由行列式按一列（行）展開(kāi):AA=AA==E,其中=。性質(zhì)2.n階矩陣A可逆的充分必要條件是矩陣A非退化，即.證明：若≠0，則A可逆，且=；反之，若A可逆，則有AA-1=E，所以|AA-1|=|A||A-1|=1故|A|=0.即A非退化。性質(zhì)3.1.若A為非奇異矩陣，則.證明：因?yàn)?，由性質(zhì)2兩邊取逆可得故，另一方面，由性質(zhì)2有，由.性質(zhì)3.2.設(shè)A為n階矩陣，則秩A=.證明：（1）當(dāng)秩A=時(shí)，則A是可逆的，即有存在，所以.可見(jiàn)，秩=。反之，當(dāng)秩=n時(shí)，可逆時(shí)，則有存在，所以=,有0，因A=0，從而=0，這與秩=矛盾，所以0，于是秩（A）=；（2）當(dāng)秩（A）=時(shí)，則A必有一個(gè)階子式不為0，即中至少有一個(gè)元素不為0，所以，秩（），另外秩（A）=.則=0，于是，從而，秩（A）+秩（）反之，若秩（）=1，則中必有一個(gè)，即是說(shuō)必有一個(gè)階子式不為零，故秩但由此即證=aA.數(shù)乘矩陣的伴隨矩陣可以用該性質(zhì)很好的得出，本性質(zhì)是一些選擇、填空?？键c(diǎn).性質(zhì)11.設(shè)A,B均為n階方陣，則.證明：當(dāng)由公式可得當(dāng)由于A和B都最多只有限個(gè)特征值，因?yàn)榇嬖跓o(wú)窮多個(gè)使（3）那么由上面的結(jié)論有（A()B()）=（4）令（A()B()=（）A，則有（5）由于有無(wú)窮多個(gè)使（5）式成立，從而有無(wú)窮多個(gè)使（5）式成立，但都是多項(xiàng)式，從而（3）式對(duì)一切都成立，特別令=0，這時(shí)有.該性質(zhì)是一些題目的常考點(diǎn)，把求AB的伴隨矩陣轉(zhuǎn)化為求A的伴隨矩陣和B的伴隨矩陣的問(wèn)題，可以很有效的解決問(wèn)題.性質(zhì)12.如果矩陣A可逆，令為它的特征值，是A的屬于的特征向量，則的特征值是,是的屬于的特征向量.證明：由于A可逆，所以0，由于A=，左邊乘以得，A=，故=.性質(zhì)13.若A為n階方陣且矩陣的行列式不為零，那么可表示為A的多項(xiàng)式形式.證明：A的特征多項(xiàng)式是因?yàn)锳可逆，所以由哈密頓-凱萊定理知即右乘得：故.該性質(zhì)把A的伴隨矩陣轉(zhuǎn)化為A的多項(xiàng)式形式，這是求A的伴隨矩陣的簡(jiǎn)單有效方法.3.伴隨矩陣性質(zhì)的應(yīng)用例1設(shè).解：由性質(zhì)1，因?yàn)楸绢}所以.此題是求A的逆矩陣的伴隨矩陣，若用伴隨矩陣的定義求解則太復(fù)雜，可用性質(zhì)1方便簡(jiǎn)捷的求出.例2若..此題比較常見(jiàn)，求A的逆矩陣問(wèn)題，可以根據(jù)性質(zhì)2的公式求出.例3已知3階矩陣A的逆矩陣為試求伴隨矩陣的逆矩陣.解：，,由性質(zhì)3得，,所以.此題把求A的伴隨矩陣的逆矩陣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求A的逆矩陣的伴隨矩陣問(wèn)題，這樣根據(jù)性質(zhì)3可以很容易的得出.例4若.解：.例5已知A=.解：，=,由性質(zhì)10知=.例6若已知A=.解：由性質(zhì)11可直接得.此題考查的是數(shù)與矩陣的乘積的伴隨矩陣問(wèn)題，用性質(zhì)10可以很方便的得出.例7設(shè)A為三階矩陣，A的特征值為1，5，7.試求行列式.解：因?yàn)?由性質(zhì)13知，的特征值分別為35,7,5.于是的特征值為35-2=33,7-2=5,5-2=3.故.例8求矩陣A的伴隨矩陣.A=.解:矩陣A的特征多項(xiàng)式為：=,因所以A可逆，由性質(zhì)14知=.以上在伴隨矩陣的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，較為詳細(xì)地歸納并討論了伴隨矩陣的性質(zhì)；并在此基礎(chǔ)上討論了一類分塊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)。經(jīng)過(guò)這多時(shí)間對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握和了解，可以更加進(jìn)一步了解伴隨矩陣在數(shù)學(xué)中的地位和作用，在解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠更加靈活運(yùn)用它來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題其實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)不在于舉多少例子，關(guān)鍵在于能夠真正理解了其內(nèi)涵，并且能夠熟練地把其運(yùn)用到生活中創(chuàng)造它的價(jià)值.無(wú)論是對(duì)于教師還是學(xué)生來(lái)說(shuō)，熟練掌握了這些性質(zhì)和應(yīng)用，就能夠使自己對(duì)伴隨矩陣的理解和認(rèn)識(shí)更全面和更深刻。參考文獻(xiàn)[1]徐德余等.《高等代數(shù)習(xí)題精編》[M].成都：電子科技大學(xué)出版社，1992.114.[2]馮紅.《高等代數(shù)全程學(xué)習(xí)指導(dǎo)》[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2004.196.[3]閻滿富、陳景林等.《高等代數(shù)習(xí)題匯編與解答》[M].天津：天津人民出版社，1994.187.[4]劉云慶等.《高等代數(shù)習(xí)作課講義》[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1987.102.[5]錢吉林.《高等代數(shù)題解精粹》[M].北京：中央民族大學(xué)出版社，2002.120.[6]施光燕.《高等數(shù)學(xué)講稿》[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.136.[7]張小紅等.