統(tǒng)計培訓教材方差分析

統(tǒng)計培訓教材方差分析第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三主要內(nèi)容變異方差分析假設檢驗假設模型ANOVA模型單因子方差分析（One-WayANOVA）雙因子方差分析（Two-WayANOVA）多因子方差分析（Multi-FactorANOVA）第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三變異的類型固有變異由許多不可避免的小因素累積而成的變異通常也叫噪聲（noise）特殊變異a)不適當?shù)卣{(diào)教機器

b)操作錯誤

c)原材料有缺陷第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三方差分析(ANOVA)方差分析(ANOVA)是R.A.Fisher在進行農(nóng)業(yè)試驗時發(fā)展起來的對實驗數(shù)據(jù)的變異性進行分析的一套統(tǒng)計方法。方差分析做法：通過試驗，以觀察某一種或多種因素的變化，對試驗結果的觀察數(shù)值是否有顯著影響，從而選取最優(yōu)方案。例：在化工生產(chǎn)中，影響結果的因素有：配方、設備、溫度、壓力、催化劑、操作人員等。需要通過觀察或試驗判斷哪些因素是重要的，有顯著影響的，哪些因素是不重要的，沒有顯著影響的。第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三方差分析(ANOVA)試驗中考慮的因素只有一個，即只有一個因素在變，其他因素保持不變，這種試驗稱為單因素方差分析(One-WayANOVA)。試驗中考慮的因素有兩個，這種試驗稱為雙因素方差分析（Two-WayANOVA)。試驗中考慮的因素有k個，這種試驗稱為k因素方差分析（k-WayANOVA)。第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三ANOVA的應用因素所處的狀態(tài)，稱為水平(Level)。例如，溫度是一個因素，可在50℃，60℃，70℃三個水平下做試驗。ANOVA可用于估計每個變異來源對總變異的貢獻。明確各效應的顯著性估計過程中的隨機誤差或噪聲計算方差的成份第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三ANOVA—假設檢驗

H0: 1=2==r

所有總體均值相等

H1: 至少有兩個總體的均值不等

ANOVA通過比較組間差和組內(nèi)差來進行F-檢驗：如果，則拒絕原假設。 .第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三ANOVA—假設檢驗N(1,12)N(2,22)N(3,32)N(4,42)N(groups,between2)第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三ANOVA—假設觀察值相互獨立.各水平的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，即因子水平i~N(i,i2)各水平的方差相同，即12=22==r2第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三ANOVA—模型固定效應模型(ANOVAI)因子水平是指定的相關結論只能對指定的因子水平而言隨機效應模型(ANOVAII)因子水平是隨機抽取的結論對整個處理總體有效混合效應模型(ANOVAIII)有些因子是固定的，有些因子是隨機的第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三ANOVA—模型一個k–WayANOVA

模型，是指試驗中包含有k

個因素.k–WayANOVAI : k

個因素; 所有因素效應固定k–WayANOVAII : k

個因素; 所有因素效應隨機k–WayANOVAIII : k

個因素; 有些因素效應固定，有些 因素效應隨機注意：當k

大于等于2時，還要考慮各因素之間的相互作用（或交互效應）(Interaction).第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三我們要觀察的一個

input

變量(因子)有多個樣本時,我們實際上在實施

單因子實驗(SingleFactorExperiment).我們要分析對象的

因子是否有水平間的差異確定3個供應商的平均交貨期是否有差異確定某個機器的設定值在5個水平間變化時，零件的尺寸是否不同現(xiàn)在開始做第一次實驗!…觀察.OnewayANOVA的概念(1)–概要第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三OneANOVA的概念(2)–例題考慮如下情景：一個產(chǎn)品開發(fā)工程師要研究某個電阻焊接系統(tǒng)中5種不同的電流設置對焊接強度的影響

她要研究的電流范圍為15-19安培。她將調(diào)查5個水平的輸入變量（因子）：15A,16A,17A,18A和19A。她將對每個水平進行5次實驗

輸出:焊接強度輸入:電流這是一個具有5個水平的單因子實驗（電流）該實驗的結果參考下頁.

第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三?????????????????????????????????????????????OneANOVA的概念(3)–例題存在電流對焊接強度的影響嗎？對于這個設備使用哪個電流，你的結論是什么？為什么？

第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三輸入結果DATA的designmatrix同下.實習:打開窗口

Mont52.mtw

制作各列數(shù)據(jù)的dotplot.使用對所有變量相同的格式(SCALE)!OneANOVA的概念(3)–例題第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三各均值的

95%置信區(qū)間(CI)如下.DATA

Stack后

Stat>ANOVA>IntervalPlot對電流和焊接強度的關系做什么結論?這結論的置信度是怎樣?OnewayANOVA的概念(3)–例題第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三設定假設!!!OneANOVA的概念(4)–假設Ha:至少有一個水平產(chǎn)生不同過程

H0:數(shù)據(jù)只描述一個過程的自然散布

你認為答案是什么？為什么？

第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三OneANOVA的概念(5)–假設此設計的數(shù)學模型是：Ho假設處理項是零

數(shù)學模型假設

常規(guī)假設

Yti=μ+τt+εti其中:yti=來自處理t的單個響應μ=總平均值τt=處理tεti=隨機誤差第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三OneANOVA的概念(6)–變量選定輸入變量作為一個因子。

在單因子設計中，因子被當作特征變量處理，即使它可能是間隔值或比率。

如果因子自然為連續(xù)型的，可以把它分類成子群。-例如，我可以采用低和高來度量生產(chǎn)線的壓力值。-我們可以作中值分離(MedianSplit)來把因子分成兩個水平：低和高。-對于我們的例子，因為電流是連續(xù)型變量，我們把它分成5個等級。輸出一般以間隔值或比率范圍來度量（合格率，溫度，電壓，等等）輸出變量可以是分離型或間隔/比率變量第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三ANOVA的原理(1)–總變動

因子A的水平是I個,各水平的反復數(shù)都是m次,則數(shù)據(jù)矩陣排列成下面的樣子因子的水平A1A2A3A4A5A6…Al實驗的反復x11x21x31x41x51x61…

xl1x12x22x32x42x52x62…

xl2

x13x23x33x43x53x63…

xl3

x14x24x34x44x54x64…

xl4

x15x25x35x45x55x65…

xl5x1mx2mx3mx4mx5mx6m…

xlm合計T1T2T3T4T5T6…TlT均值x1x2x3x4x5x6…

xlx第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三

總均值是用右邊的公式求.

利用各個DATA

和總均值

把總均值

分解為兩個,同下表示.

左邊和右邊平方時同下.ANOVA的原理(2)–總變動第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三

上面的第三項變?yōu)槿缦?SS(total) SS(error) SS(factor)

同樣第8頁式從寫如下,這意義的略寫SS(SumofSquares)來表示.ANOVA的原理(3)–總變動第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三SS(total)的自由度

是, SS(factor)的自由度

是, SS(error)的自由度

是, 因此

ANOVA的原理(4)–自由度在一個系統(tǒng)中不影響其他變量能夠獨立移動的數(shù)Ex)a*b*c=4

這式中變量的自由度是2.

假如

a,b定為1,2,c必須是2.

即能夠自然的移動的變量。

自由度是?

自由度的計算第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三因子(factor)平方和(SumofSquares)自由度(DegreeofFreedom)均值平方(MeanSquare)F值AErrorTotalANOVA的原理(5)–方差分析表

方差分析表的制作

對錯誤的均值平方因子,利用A的均值平方的大小

觀察

A效果的大小.

F越大

A效果越大.(利用F分布確認

P-value)第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三ANOVA的原理(6)–F分布

F分布的參考

自由度

k1,k2的變量的

F值的

F(k1,k2:α)按

α的大小

占有面積(發(fā)生概率).α(顯著水平)F(k1,k2)F(k1,k2:α)第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三F-分布

65432100.70.60.50.40.30.20.10.0ScoresProb10%1%5%第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三Exercise某個

coating工程認為

反應溫度對生產(chǎn)的

產(chǎn)品的強度有影響,所以對反應溫度變化強度有什么變化,還有溫度在什么水平時強度最好,進行了實驗.反應溫度設為因子水平,各溫度反復3回,總共12回實驗數(shù)據(jù)隨機整理.這結果同下表.制作方差分析表(ANOVAtable).(參考Excelsheet.)ANOVA的原理(7)–例題第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三因子(factor)平方和(SumofSquares)自由度(DegreeofFreedom)均值平方(MeanSquare)F值AErrorTotalANOVAtableANOVA的原理(8)–例題F分布表中

F是(3,8:0.05)=4.07,F(3,8:0.01)=7.59.那么

A是顯著水平1%中是否采用零假設?還是推翻?----------要推翻.第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三ANOVA的原理(9)–統(tǒng)計的假定輸出的總體方差在給定因子所有水平上都相等（方差均一性（TestforEqualVariance）。我們可以用Stat>ANOVA>TestforEqualVariance程序來檢驗這個假設。

響應均值是獨立的，并服從正態(tài)分布。-如果使用隨機化和適當?shù)臉颖緮?shù)，這個假設一般有效。

-警告:在化學過程中,均值相關的風險很高,應永遠考慮隨機化。

殘差（數(shù)學模型的誤差）是獨立的，其分布是均值=0，方差為恒量的正態(tài)分布。第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三

單一因子實驗分析實驗結果移動到

MINITAB

Worksheet.數(shù)據(jù)有沒有異常點利用管理圖進行確認.(穩(wěn)定性分析)利用Stat>ANOVA>TestforEqualVariance

進行等方差檢驗.方差同一時實施(p-value<0.05)ANOVA.用Stat>ANOVA>One-way

進行分析.所有的數(shù)據(jù)在1列時(Stacked):One-way按水平別數(shù)據(jù)分幾列時(Unstacked):采用

One-way(Unstacked..).解釋F-ratio.F-value高

p-value顯著水平時(一般

5-10%)推翻零假設(Ho).推翻零假設時,利用Stat>ANOVA>MainEffectsPlot

或Stat>ANOVA>IntervalPlot

對均值差異利用區(qū)間圖說明.利用Minitab的

Anova視窗中的

殘差項目(殘差

Plot)

對殘差實施評價.為測試實際的顯著性,對有影響的

Epsilon-Squared

進行計算.根據(jù)分析結果找出方案.應用MINITAB分析(1)–分析順序第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三零假設(Ho):3名作業(yè)者刷漆厚度相同.備擇假設(Ha):作業(yè)者中至少有一名刷的厚度與其他作業(yè)者刷的厚度不同(或大或小).應用MINITAB分析(1)–老板的思考是誰刷漆刷的這么厚?Bob?Jane?Walt?一定要查找出來!!!(顯著水平設為5%)

設置假設第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三按照下列樣式在Minitab中輸入數(shù)據(jù)打開[ANOVA.MPJ]的

（3LevelANOVA

）worksheet Bob Jane Walt25.2969 26.0056 28.426826.0578 25.9400 27.508524.0700 26.0063 27.582524.8199 26.4356 27.401825.9851 25.9927 24.9209 … … ...應用MINITAB分析(2)–輸入數(shù)據(jù)1、判信2、判量參考《MSA》章節(jié)參考《抽樣與樣本大小》章節(jié)第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(3)–穩(wěn)定性分析①目的：確認各水平數(shù)據(jù)中是否有異?，F(xiàn)象（逃逸點、不隨機等）.②路徑：Stat->ControlChart（參考下圖）3、判異第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(3)–穩(wěn)定性分析③輸出結果④結論各水平中的數(shù)據(jù)沒發(fā)現(xiàn)有異常點，可繼續(xù)往后分析第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(4)–正態(tài)性分析①目的：確認各水平數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布.②路徑：Stat->BasicStatistics->NormalityTest（參考下圖）4、判形第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(4)–正態(tài)性分析③輸出結果④結論各水平中的數(shù)據(jù)都服從正態(tài)分布，可繼續(xù)往后分析第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(5)–等方差檢驗①目的：確認各水平數(shù)據(jù)之間方差是否相等.②數(shù)據(jù)堆棧：路徑：Data->Stack->Columns（參考下圖）5、判散第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(5)–等方差檢驗③等方差檢驗路徑：Stat->ANOVA->TestforEqualVariances…（參考下圖）第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三P值大于0.05④輸出結果⑤結論：故3個人所油漆的厚度數(shù)據(jù)方差相等應用MINITAB分析(5)–等方差檢驗第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(6)–均值檢驗①目的：確認各水平數(shù)據(jù)集所對應的總體均值是否相等.②路徑：（堆棧型）Stat->ANOVA->One-Way…（參考左下圖）（非堆棧型）Stat->ANOVA->One-Way（Unstacked）6、判中第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(6)–均值檢驗第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(6)–均值檢驗③均值檢驗輸出結果④均值檢驗結論各水平數(shù)據(jù)集所對應的總體之間的均值至少有一個不相等One-wayANOVA:Bob,Jane,WaltSourceDFSSMSFPFactor280.38640.19344.760.000Error8778.1160.898Total89158.502S=0.9476R-Sq=50.72%R-Sq(adj)=49.58%32322212ssssPooled++=P值小于顯著水平

5%時,得到至少有一個總體均值與其他總體均值不同的結論.

(推翻零假設)這時,推翻所有總體均值相同的零假設(Ho)-

即至少有一個均值不同.因隨機現(xiàn)象得到這樣大的F-值,實際上其概率不足1/10,000.這與拋硬幣時,10次連續(xù)相同的情況是相同的.群間方差與群內(nèi)方差相近時,F值接近1.本例中,F-值很大.子群大小相同時共有標準差第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(7)–殘差分析

①目的：二次檢驗前面的分析是否有不可信的證據(jù)（殘差有異常現(xiàn)象）

②路徑：Stat->ANOVA->One-Way…點擊Graph->點Fourinone7、判差第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三應用MINITAB分析(7)–殘差分析

③殘差輸出結果：

④殘差分析結論：沒有足夠的證據(jù)證明其殘差分析有異常第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三主效果圖、箱圖及區(qū)間圖應用MINITAB分析(8)–Plots8、附圖第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三主效果圖及

箱圖應用MINITAB分析(8)–PlotsStat>ANOVA>MainEffectsPlot選擇Graph>Boxplot第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三IntervalPlot(95%置信區(qū)間)區(qū)間圖應用MINITAB分析(8)–Plots第四