行列式與克萊默

§1.1

二階、三階行列式，全排列及其逆序數(shù)§1.2

n

階行列式的定義§1.3

行列式的性質(zhì)（1）§1.4

行列式性質(zhì)（2）§1.5

克萊姆法則第一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)二、三階行列式全排列及其逆序數(shù)第二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三一、二階行列式與三階行列式注：該定義稱之為對角線法則。第三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三1.全排列：把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列（簡稱排列）。2.逆序：對于n個不同的元素，先規(guī)定各元素之間的一個標(biāo)準(zhǔn)次序（如n個不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大）于是在這n個元素的任一排列中，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就稱這兩個元素構(gòu)成了一個逆序。二、全排列與逆序數(shù)第四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三3.逆序數(shù)：一個排列中所有逆序的總和稱之為這個排列的逆序數(shù)。4.奇排列與偶排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。5.計算排列逆序數(shù)的方法：

不妨設(shè)n個元素為1至n這n個自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。設(shè)p1p2…pn為這n個自然數(shù)的一個排列，考慮元素pi(i=1,2,…n)，如果比pi大的且排在pi前面的元素有τi個，就說第五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三

pi這個元素的逆序數(shù)是i，即：

(p1p2…pn)=

1+

2+…+

n

就是這個排列的逆序數(shù)。例1求排列13…(2n

1)24…(2n)的逆序數(shù)。解：在該排列中，1～(2n1)中每個奇數(shù)的逆序數(shù)全為0，2的逆序數(shù)為(n

1)，4的逆序數(shù)為(n

2),…，(2n

2)的逆境序數(shù)為1，2n的逆序數(shù)為0，于是該排列的逆序數(shù)為第六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三例2在1~9構(gòu)成的排列中,求j、k，使排列1274j56k9為偶排列解：由題可知，j、k的取值范圍為{3，8}當(dāng)j=3、k=8時，經(jīng)計算可知，排列127435689的逆序數(shù)為5，即為奇排列當(dāng)j=8、k=3時，經(jīng)計算可知，排列127485639的逆序數(shù)為10，即為偶排列∴j=8，k=3第七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三例3設(shè)排列p1p2p3…pn的逆序數(shù)為k，求pn…p3p2p1的逆序數(shù)（p1p2p3…pn是1～n的某一排列）解：∵排列p1p2p3…pn與排列pn…p3p2p1的逆序數(shù)之和等于1～n這n個數(shù)中任取兩個數(shù)的組合數(shù)即

：

第八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第二節(jié)n階行列式的定義第十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三設(shè)有n2個數(shù)，排成n行n列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的n個元素的乘積，并冠以符號(-1)τ，得形如的項，其中p1p2…pn為自然數(shù)1、2、…、n的一個一、定義第十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三排列，τ為這個排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有n!個，因而形如(1)式的項共有n!項。所有這n!項的代數(shù)和第十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三其中p1p2…pn是1～n的任一排列，是排列p1p2…pn的逆序數(shù)，即=(p1p2…pn)。二、幾個特殊的行列式第十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三1.在排列中，將任意兩個元素對調(diào)位置，其余元素不動，這種作出新排列的過程叫做對換。將相鄰兩元素對換，稱為相鄰對換。定理1 :對換一個排列中的任意兩個元素，排列改變奇偶性。證明：該定理的證明可分為兩步來證。第一步來證明相鄰對換的情況,第二步證明一般情況。三、對換與排列奇偶性的關(guān)系第十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三由此可見，相鄰對換將改變排列的奇偶性。再證一般情況，設(shè)：第十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三把(1)作n+1次相鄰對換得(2)，把(2)再作n次相鄰對換可得(3)，即共作了2n+1次相鄰對換由(1)而得到(3)。由前可知，作一次相鄰對換，排列的奇偶性改變一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性就改變了2n+1次，即由原來的奇排列就變成了偶排列或由原來的偶排列變成了奇排列。▌第十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三定理2：n元排列共有n!個，其中奇、偶排列的個數(shù)相等，各有n!/2個。證：設(shè)奇排列有p個，偶排列有q個。將每個奇排列的頭兩個數(shù)對換，則得一個偶排列，說明有多少奇排列，就至少有多少個偶排列。反之亦然，因此，p=q。定理3：任意一個n元排列都可以經(jīng)過一些對換變成自然排列，并且所作對換的個數(shù)與這個排列有相同的奇偶性。第二十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三四、行列式的等價定義第二十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三五、關(guān)于等價定義的說明第二十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第二十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三這就表明，對換乘積項中兩元素的位置，從而行標(biāo)排列與列標(biāo)排列同時做了相應(yīng)的對換，但行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性并不改變。第二十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三定理4第二十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三例5寫出四階行列式中含有因子的項。例6若為四階行列式的項，試確定i與k，使前兩項帶正號，后一項帶負(fù)號。第二十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第二十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三節(jié)行列式的性質(zhì)(1)第二十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第二十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第三十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第四十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三

在利用行列式性質(zhì)(1)進行行列式計算時，基本的思路是把行列式化成三角行列式，當(dāng)然在化的過程中也要兼顧其它性質(zhì)的應(yīng)用。第四十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第四十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第四十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第四十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第四十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第四十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第四十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第四十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第四十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第五十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第五十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第五十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第四節(jié)行列式的性質(zhì)(2)第五十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三在n階行列式中，把元素aij所在的第i行第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素aij余子式，記作Mij；記Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做元素aij的代數(shù)余子式。一、余子式與代數(shù)余子式第五十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第五十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三二、k階子式及其余子式和代數(shù)余子式在n階行列式D中任選k行k列，位于這k行k列的交叉點處的k2個元素按原來的位置組成的k階行列式M叫做D的一個k階子式。在D中劃去M所在的行與列，剩下的元素按原來的位置組成的n-k子式N叫做M的余子式。設(shè)M所在的行數(shù)與列數(shù)依次為i1<i2<…<ik，j1<j2<…<jk，M的余子式N乘以叫做M的代數(shù)余子式。第五十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三M是D的一個2階子式，N是M的一個余子式，A是M的一個代數(shù)余子式第五十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第五十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第五十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第六十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三證明：第六十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三證明：第六十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第六十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第六十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第六十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第六十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第六十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第六十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第六十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第七十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第五節(jié)克萊姆法則第七十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三一、線性方程組第七十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三二、克萊姆法則第七十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第七十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第七十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第七十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第七十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第七十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三定理1：方程組(1)一定有解，且解是唯一的充要條件是線性方程組(1)的系數(shù)行列式D≠0。定理2：如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必等于零，即D=0。定理3：齊次方程組(2)只有零解，而沒有非零解的充要條件是齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D≠0。定理4：齊次方程組(2)有非零解的充要條件是齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D=0。三、幾個相關(guān)定理第七十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期三第八十頁，共八十五頁，編輯于2023