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排列組合公式/排列組合計算公式排列A 和順序有關(guān)組合C 不牽涉到順序的問題排列分順序,組合不分例如把5本不同的書分給3個人,有幾種分法."排列"把5本書分給3個人,有幾種分法 〃組合〃1.排列及計算公式從n個不同元素中,任取m(msn)個元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(msn)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號A(n,m)或P(n,m)表示.A(n,m)=n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).2.組合及計算公式從n個不同元素中,任取m(msn)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(msn)個元素的所有組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號c(n,m)表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);7il7il公式A是指排列,從N個元素取R個進(jìn)行排列。公式C是指組合,從N個元素取R個,不進(jìn)行排列。N-元素的總個數(shù)R參與選擇的元素個數(shù)!-階乘,如 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1從N倒數(shù)r個,表達(dá)式應(yīng)該為n*(nT)*(n-2)..(n-r+l);因為從口到(n-r+1)個數(shù)為n—(n—r+1)=r舉例:Q1: 有從1到9共計9個號碼球,請問,可以組成多少個三位數(shù)?A1: 123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的,既屬于“排列A”計算范疇。以上問題中,任何一個號碼只能用一次,顯然不會出現(xiàn)988,997之類的組合,我們可以這么看,百位數(shù)有9種可能,十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能,個位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能,最終共有9*8*7個三位數(shù)。計算公式=A(3,9)=9*8*7,(從9倒數(shù)3個的乘積)Q2:有從1到9共計9個號碼球,請問,如果三個一組,代表“三國聯(lián)盟”,可以組合成多少個“三國聯(lián)盟”?A2:213組合和312組合,代表同一個組合,只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的,屬于“組合C”計算范疇。上問題中,將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、組合的概念和公式典型例題分析例1設(shè)有3名學(xué)生和4個課外小組.(1)每名學(xué)生都只參加一個課外小組;(2)每名學(xué)生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學(xué)生參加.各有多少種不同方法?解(1)由于每名學(xué)生都可以參加4個課外小組中的任何一個,而不限制每個課外小組的人數(shù),因此共有種不同方法.由于每名學(xué)生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學(xué)生參加,因此共有種不同方法.點(diǎn)評由于要讓3名學(xué)生逐個選擇課外小組,故兩問都用乘法原理進(jìn)行計算.例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少種?解依題意,符合要求的排法可分為第一個排、、中的某一個,共3類,每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出:???符合題意的不同排法共有9種.點(diǎn)評按照分“類”的思路,本題應(yīng)用了加法原理.為把握不同排法的規(guī)律,“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法,也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型.例3判斷下列問題是排列問題還是組合問題?并計算出結(jié)果.(1) 高三年級學(xué)生會有11人:①每兩人互通一封信,共通了多少封信?②每兩人互握了一次手,共握了多少次手?(2) 高二年級數(shù)學(xué)課外小組共10人:①從中選一名正組長和一名副組長,共有多少種不同的選法?②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競賽,有多少種不同的選法?(3) 有2,3,5,7,11,13,17,19八個質(zhì)數(shù):①從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商?②從中任取兩個求它的積,可以得到多少個不同的積?(4) 有8盆花:①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆,有多少種不同的選法?②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法?分析(1)①由于每人互通一封信,甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信,所以與順序有關(guān)是排列;②由于每兩人互握一次手,甲與乙握手,乙與甲握手是同一次握手,與順序無關(guān),所以是組合問題.其他類似分析.(1)①是排列問題,共用了封信;②是組合問題,共需握手(次).(2) ①是排列問題,共有(種)不同的選法;②是組合問題,共有種不同的選法.(3) ①是排列問題,共有種不同的商;②是組合問題,共有種不同的積.(4) ①是排列問題,共有種不同的選法;②是組合問題,共有種不同的選法.例15位高中畢業(yè)生,準(zhǔn)備報考3所高等院校,每人報且只報一所,不同的報名方法共有多少種?解:5個學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名,因而每個學(xué)生都有3種不同的報名方法,根據(jù)乘法原理,得到不同報名方法總共有3X3X3X3X3=35(種)(二)排列、排列數(shù)公式說明排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題,在中學(xué)代數(shù)中較為獨(dú)特,它研究的對象以及研究問題的方法都和前面掌握的知識不同,內(nèi)容抽象,解題方法比較靈活,歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題,都是選擇題或填空題考查.TOC\o"1-5"\h\z例2由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中小于50000的偶數(shù)共有( )60個 B.48個 C.36個 D.24個解 因為要求是偶數(shù),個位數(shù)只能是2或4的排法有A];小于50000的五位數(shù),萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的排法有A1;3在首末兩位數(shù)排定后,中間3個位數(shù)的排法有A3,得AiA3A1=36(個)3 3 3 2由此可知此題應(yīng)選C.例3將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里,每格填一個數(shù)字,則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種?解:將數(shù)字1填入第2方格,則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種,即2143,3142,4123;同樣將數(shù)字1填入第3方格,也對應(yīng)著3種填法;將數(shù)字1填入第4方格,也對應(yīng)3種填法,因此共有填法為3A1=9(種)3例4從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺,其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各1臺,則不同的取法共有()A.140種 B.84種 C.70種 D.35種解:抽出的3臺電視機(jī)中甲型1臺乙型2臺的取法有Ci?C2種;45甲型2臺乙型1臺的取法有C2?Ci種45根據(jù)加法原理可得總的取法有C2?C2+C2?C1=40+30=70(種)4 5 4 5可知此題應(yīng)選C.例5甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程,甲公司承包3項,乙公司承包1項,丙、丁公司各承包2項,問共有多少種承包方式?解: 甲公司從8項工程中選出3項工程的方式C3種;8乙公司從甲公司挑選后余下的5項工程中選出1項工程的方式有Ci5種;丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項工程中選出2項工程的方式有C2種;4丁公司從甲、乙、丙三個公司挑選后余下的2項工程中選出2項工程的方式有C2種.2根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有C38XC1XC2XC2二542X1=1680(種).

(四)二項式定理、二項展開式的性質(zhì)說明二項式定理揭示了二項式的正整數(shù)次冪的展開法則,例6 在(x-)1。的展開式中,X6的系數(shù)是( )A.-27C6 B.27C4 C.-9C6101010D.9C410解 設(shè)(x-)io的展開式中第Y+1項含X6,因Ty+1=CyX10-Y(-)y,10-y=6,Y=410于是展開式中第5項含x6,第5項系數(shù)是C4(-)4=9C41010故此題應(yīng)選D.例7 (x-l)-(x-l)2+(xT)3-(xT)+(xT)5的展開式中的X2的系數(shù)等于 解:此題可視為首項為x-1,公比為-(X-1)的等比數(shù)列的前5項的和,則其和為在(X-1)6中含X3的項是C3X3(T)3=-20X3,因此展開式中X2的系數(shù)是-260.(五)綜合例題賞析例8 若(2x+)4二a+ax+ax2+aX3+aX4,貝卩(a+a+a)2—(a+a)2的值TOC\o"1-5"\h\z0 1 2 3 4 0 2 4 1 3為( )A.1B.-1C.0 D.2解:A.例92名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士,不同的分配方法共有( )A.6種A.6種種C.18種D.24C.18種解 分醫(yī)生的方法有A2=2種,分護(hù)士方法有C2=6種,所以共有246X2=12種不同的分配方法。應(yīng)選B.TOC\o"1-5"\h\z例10從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺,其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺,則不同取法共有( ).A.140種 B.84種 C.70種 D.35種解:取出的3臺電視機(jī)中,甲型電視機(jī)分為恰有一臺和恰有二臺兩種情形.VC2?+C2?Ci=5X6+10X4=70.4 5 4???應(yīng)選C.例11某小組共有10名學(xué)生,其中女生3名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有( )A.27種 B.48種 C.21種 D.24種解:分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類:???C1?C17+C2=3X7+3=24,33???應(yīng)選D.例12由數(shù)學(xué)0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有( ).A.210個 B.300個464個 D.600個解:先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個?應(yīng)有A1?A5=60055由對稱性,個位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.???有X600=300個符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.TOC\o"1-5"\h\z例13以一個正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有( ).A.70個 B.64個 C.58個 D.52個解:如圖,正方體有8個頂點(diǎn),任取4個的組合數(shù)為C4=70個.8其中共面四點(diǎn)分3類:構(gòu)成側(cè)面的有6組;構(gòu)成垂直底面的對角面的有2組;形如(ADBC)的有4組.11?能形成四面體的有70-6-2-4=58(組)應(yīng)選C.TOC\o"1-5"\h\z例14如果把兩條異面直線看成“一對”,那么六棱錐的棱所在的12條直線中,異面直線共有( ).A.12對 B.24對 C.36對 D.48對解:設(shè)正六棱錐為0—ABCDEF.任取一側(cè)棱OA(Ci)則0A與BC、CD、DE、EF均形成異面直線對.6???共有06X4=24對異面直線.應(yīng)選B.例15正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個點(diǎn),以其中三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共 個(以數(shù)字作答).解:7點(diǎn)中任取3個則有C3=35組.7其中三點(diǎn)共線的有3組(正六邊形有3條直徑).?三角形個數(shù)為35-3=32個.例16設(shè)含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S,其中由3個元素組成的子集數(shù)為T,則的值為 。解10個元素的集合的全部子集數(shù)有:S=Co+Ci+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C?+Ci0=210=10241010101010101010101010其中,含3個元素的子集數(shù)有T=C3=12010故=例17 在50件產(chǎn)品n中有4件是次品,從中任意抽了5件,至少有3件是次品的抽法共— 種(用數(shù)字作答).解:“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.???C3?C2+C4?Ci=4186(種)4 46 4 46例18 有甲、乙、丙三項任務(wù),甲需2人承擔(dān),乙、丙各需1人承擔(dān),從10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù),不同的選法共有( ).A.1260種 B.2025種C.2520種 D.5040種解:先從10人中選2個承擔(dān)任務(wù)甲(C2)10再從剩余8人中選1人承擔(dān)任務(wù)乙(C18)又從剩余7人中選1人承擔(dān)任務(wù)乙(C17)???有C2?C18C17=2520(種).10應(yīng)選C.例19集合{1,2,3}子集總共有( ).A.7個 B.8個 C.6個 D.5個解三個元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一個,由一個元素組成的子集數(shù)Ci,由二個元素組成的子集數(shù)C2。33由3個元素組成的子集數(shù)C3。由加法原理可得集合子集的總個數(shù)是3Ci+C2+C3+l=3+3+l+l=8333故此題應(yīng)選B.TOC\o"1-5"\h\z例20假設(shè)在200件產(chǎn)品中有3件是次品,現(xiàn)在從中任意抽取5件,其中至少有

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