專題04基本不等式及其應(yīng)用（原卷版）

專題04根本不等式及其應(yīng)用【命題方向名目】命題方向一：根本不等式及其應(yīng)用命題方向二：直接法求最值命題方向三：常規(guī)湊配法求最值命題方向四：消參法求最值命題方向五：雙換元求最值命題方向六：“1〞的代換求最值命題方向七：齊次化求最值命題方向八：利用根本不等式證明不等式命題方向九：利用根本不等式解決實(shí)際問題命題方向十：利用權(quán)方和不等式求最值命題方向十一：與、和有關(guān)問題的最值命題方向十二：待定系數(shù)法求最值命題方向十三：法求最值【2024年高考猜測(cè)】根本不等式作為工具，常結(jié)合其他學(xué)問點(diǎn)進(jìn)行考察，如解析幾何、函數(shù)求最值，實(shí)際應(yīng)用等求范圍題型，難度為根底題或中檔題．【學(xué)問點(diǎn)總結(jié)】1、根本不等式：〔1〕根本不等式成立的條件：〔2〕等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．〔3〕其中叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平堭數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2、幾個(gè)重要的不等式〔1〕．〔2〕〔同號(hào)〕．〔3〕．〔4〕．以上不等式等號(hào)成立的條件均為．3、利用根本不等式求敢值〔1〕x，y都是正數(shù)，假如積xy等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值〔2〕x，y都是正數(shù)，假如和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積xy有最大值留意：利用不等式求最值應(yīng)滿意三個(gè)條件“一正、二定、三相等〞．【方法技巧與總結(jié)】1、常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．2、權(quán)方和不等式假設(shè)，那么成立．當(dāng)?shù)臅r(shí)，等號(hào)成立．【典例例題】命題方向一：根本不等式及其應(yīng)用【通性通解總結(jié)】熟記根本不等式成立的條件，合理選擇根本不等式的形式解題，要留意對(duì)不等式等號(hào)是否成立進(jìn)行驗(yàn)證．例1．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕?幾何原本?卷2的幾何代數(shù)法〔以幾何方法討論代數(shù)問題〕成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，許多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如下圖圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，那么該圖形可以完成的無字證明為〔

〕A． B．C． D．例2．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕?幾何原本?其次卷中的幾何代數(shù)法〔以幾何方法討論代數(shù)問題〕成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，許多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為無字證明．現(xiàn)有如下圖的圖形，點(diǎn)在半圓上，且，點(diǎn)在直徑上運(yùn)動(dòng)．作交半圓于點(diǎn)．設(shè)，，那么由可以直接證明的不等式為〔

〕A． B．C． D．例3．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕假設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b滿意，那么以下不等式肯定成立的是〔

〕A． B． C． D．變式1．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕以下不等式的證明過程正確的選項(xiàng)是〔

〕A．假設(shè)，那么B．假設(shè)，那么C．假設(shè)那么D．假設(shè)，且，那么變式2．〔2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考〕以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔

〕A．有最小值2 B．有最小值2C．時(shí)，有最大值2 D．時(shí)，有最小值2命題方向二：直接法求最值【通性通解總結(jié)】直接利用根本不等式求解，留意取等條件．例4．〔2023·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬猜測(cè)〕假設(shè)，，，那么的最小值為〔

〕A． B． C．1 D．2例5．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕，，，那么的最大值為〔

〕A． B． C． D．例6．〔2023·云南·高三馬關(guān)縣第一中學(xué)校校考階段練習(xí)〕正數(shù)滿意,那么的最大值是〔

〕A． B． C． D．變式3．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕假設(shè)實(shí)數(shù)，滿意，那么的最大值是〔

〕．A． B． C． D．1變式4．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，那么ab的最小值是〔〕A．4 B．8 C．16 D．32變式5．〔2023·廣西柳州·高三柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)〕假設(shè)，，那么的最小值為〔

〕A． B．2 C． D．4命題方向三：常規(guī)湊配法求最值【通性通解總結(jié)】1、通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、留意驗(yàn)證取得條件．例7．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕函數(shù)的最小值是〔

〕A． B．C． D．例8．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕假設(shè)，且，那么的最小值為〔

〕A．3 B． C． D．例9．〔2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)〕假設(shè)，那么函數(shù)的最小值為___________.命題方向四：消參法求最值【通性通解總結(jié)】消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用根本不等式進(jìn)行求解．解題過程中要留意“一正，二定，三相等〞這三個(gè)條件缺一不行！例10．〔2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中〕實(shí)數(shù)，滿意且，那么的最小值是______.例11．〔2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考競(jìng)賽〕正實(shí)數(shù)a，b，c滿意，且，那么c的最大值為___________.例12．〔2023·浙江·高三專題練習(xí)〕假設(shè)正實(shí)數(shù)，滿意，那么的最大值為______．命題方向五：雙換元求最值【通性通解總結(jié)】假設(shè)題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對(duì)于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2、留意驗(yàn)證取得條件．例13．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕，，，那么取到最小值為________．例14．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕設(shè)，且，那么的最小值是__________.命題方向六：“1〞的代換求最值【通性通解總結(jié)】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后到達(dá)運(yùn)用根本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特殊留意等價(jià)變形．1、依據(jù)條件，湊出“1〞，利用乘“1〞法．2、留意驗(yàn)證取得條件．例15．〔2023·貴州黔東南·凱里一中?？既！痴龜?shù)滿意，假設(shè)不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍__________.例16．〔2023·上海金山·統(tǒng)考二?！痴龑?shí)數(shù)滿意,那么的最小值為__________.例17．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕實(shí)數(shù)，，且，那么的最小值是___________.變式6．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕假設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿意，那么的最小值為_______．變式7．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕都是正數(shù)，且，那么的最小值為__________．變式8．〔2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模〕設(shè)，假設(shè)，那么的最小值是___________.變式9．〔2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三?！硨?shí)數(shù)，且，那么的最小值為___________.變式10．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕正實(shí)數(shù)滿意，那么的最小值為___________.變式11．〔2023·天津·高三校聯(lián)考期末〕，那么的最小值為__________.變式12．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕假設(shè)三個(gè)正數(shù)滿意，那么的最小值為______.變式13．〔2023·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試〕，那么的最小值為___________.變式14．〔2023·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)〕正實(shí)數(shù)，滿意，那么的最小值為______.命題方向七：齊次化求最值【通性通解總結(jié)】齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用根本不等式進(jìn)行求解．例18．〔2023·江蘇·高一專題練習(xí)〕，，那么的最大值是______.例19．〔2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)〕實(shí)數(shù)，假設(shè)，那么的最小值為〔

〕A．12 B． C． D．8例20．〔2023·天津南開·高三統(tǒng)考期中〕正實(shí)數(shù)a，b，c滿意，那么的最大值為____________．命題方向八：利用根本不等式證明不等式【通性通解總結(jié)】類似于根本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用根本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明．例21．〔2023·貴州·高三校聯(lián)考期中〕，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．例22．〔2023·廣西南寧·統(tǒng)考二?！砤，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)假設(shè)，那么；(2).例23．〔2023·貴州黔西·?？家荒！吃O(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．變式15．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕證明：假如、，那么．變式16．〔2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)〕都是正數(shù)，且，證明：(1)；(2).命題方向九：利用根本不等式解決實(shí)際問題【通性通解總結(jié)】1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題．2、留意定義域，驗(yàn)證取得條件．3、留意實(shí)際問題隱蔽的條件，比方整數(shù)，單位換算等．例24．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕某工廠的產(chǎn)值其次年比第一年的增長(zhǎng)率是，第三年比其次年的增長(zhǎng)率是，而這兩年的平均增長(zhǎng)率為，在為定值的狀況下，的最大值為___________〔用?表示〕例25．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕蘄春縣內(nèi)有一路段A長(zhǎng)325米，在某時(shí)間內(nèi)的車流量y〔千輛/小時(shí)〕與汽車的平均速度v〔千米/小時(shí)〕之間的函數(shù)關(guān)系為，門利用大數(shù)據(jù)，采納“信號(hào)燈不再固定長(zhǎng)短，交通更加智能化〞策略，紅燈設(shè)置時(shí)間T〔秒〕＝路段長(zhǎng)×，那么在車流量最大時(shí)，路段A的紅燈設(shè)置時(shí)間為___________秒.例26．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕某校生物愛好小組為開展課題討論，分得一塊面積為32的矩形空地，并方案在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗(yàn)區(qū)〔如下圖〕.要求試驗(yàn)區(qū)四周各空，各試驗(yàn)區(qū)之間也空.那么每塊試驗(yàn)區(qū)的面積的最大值為___________.變式17．〔2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二?！衬硨W(xué)校開展勞動(dòng)教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個(gè)2平方米的矩形植物種植園，矩形的一條邊為圍墻，如圖．那么至少需要___________米柵欄．變式18．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)?全面建成小康社會(huì)的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)〞作為十年來對(duì)和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)樂觀響應(yīng)國(guó)家的號(hào)召，對(duì)某經(jīng)濟(jì)欠興旺地區(qū)實(shí)施幫扶，生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定本錢為200萬元，每生產(chǎn)萬件，需可變本錢萬元，當(dāng)產(chǎn)量缺乏50萬件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，.每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過市場(chǎng)分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤(rùn)為__________萬元.變式19．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕一扇形的圓心角為〔〕，扇形的周長(zhǎng)是肯定值〔〕，當(dāng)為______弧度時(shí)，該扇形面積取得最大值.變式20．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕設(shè)計(jì)用的材料制造某種長(zhǎng)方體外形的無蓋車廂，按門的規(guī)定車廂寬度為，那么車廂的最大容積是〔

〕A．〔38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3命題方向十：利用權(quán)方和不等式求最值【通性通解總結(jié)】假設(shè)，那么成立．當(dāng)?shù)臅r(shí)，等號(hào)成立．例27．為正實(shí)數(shù)，假設(shè)，那么的最小值為例28．設(shè)，假設(shè)，那么的最小值為〔〕A．B．6C．D．例29．實(shí)數(shù)滿意且，那么的最小值是變式21．，那么的最小值是．變式22．，那么的最小值是．變式23．且，那么的最小值是．命題方向十一：與、和有關(guān)問題的最值【通性通解總結(jié)】利用根本不等式變形求解例30．〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·廣東惠州·統(tǒng)考一?！臣僭O(shè)，那么〔

〕A． B．C． D．例31．〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·山東聊城·統(tǒng)考一?！吃O(shè)，，且，那么〔

〕A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為例32．〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬猜測(cè)〕設(shè)，，滿意，以下說法正確的選項(xiàng)是〔

〕A．a(chǎn)b的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為1變式24．〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)〕，，且，那么以下不等式肯定成立的有〔

〕A． B． C． D．變式25．〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一?！吃O(shè)正實(shí)數(shù)滿意，那么〔

〕A．有最小值4 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值變式26．〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·江蘇·統(tǒng)考一?！痴龜?shù)a，b滿意，那么〔

〕A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為變式27．〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·全國(guó)·模擬猜測(cè)〕假設(shè)，，那么〔

〕A． B． C． D．變式28．〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·湖南·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)〕，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔

〕A．的最大值為 B．的最大值為1C．的最小值為 D．的最小值為3命題方向十二：待定系數(shù)法求最值例33．〔2023·全國(guó)·高三競(jìng)賽〕設(shè)，，，是不全為零的實(shí)數(shù)，且滿意.那么的最小值是_________.例34．〔2023·全國(guó)·高三競(jìng)賽〕設(shè)x、y、z是不全是0的實(shí)數(shù).那么三元函數(shù)的最大值是_____.例35．〔2023·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)〕假設(shè)實(shí)數(shù)滿意，那么的最大值為________.變式29．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕正數(shù)，那么的最大值為_________．變式30．〔2023·浙江·校聯(lián)考模擬猜測(cè)〕實(shí)數(shù)，，不全為，那么的最小值是___，最大值是___．命題方向十三：法求最值例36．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕假設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，那么〔

〕A．4 B．6C．7 D．8例37．〔2023·山東青島·統(tǒng)考模擬猜測(cè)〕實(shí)數(shù)a，b滿意，那么的最小值是__________.例38．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕設(shè)，，假設(shè)，且的最大值是，那么___________.變式31．〔2023·江蘇·高三專題練習(xí)〕假設(shè)正實(shí)數(shù)滿意，那么的最大值為________．變式32．〔2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)〕假設(shè)x，y為實(shí)數(shù)且滿意，試分別求x、y的最值.【過關(guān)測(cè)試】一、單項(xiàng)選擇題1．〔2023·喀什·高三統(tǒng)考期末〕，且，那么的最小值為〔

〕A． B． C．1 D．22．〔2023·河南·校聯(lián)考模擬猜測(cè)〕正實(shí)數(shù)，，點(diǎn)在直線上，那么的最小值為〔

〕A．4 B．6 C．9 D．123．〔2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M猜測(cè)〕實(shí)數(shù)，滿意，那么的最小值為〔

〕A． B． C． D．4．〔2023·廣西南寧·統(tǒng)考二?！衬硢挝粸樘嵘谫|(zhì)量，花費(fèi)3萬元購進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為萬元，使用年的修理總費(fèi)用為萬元，那么該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為〔

〕A．7 B．8 C．9 D．105．〔2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)〕，，且，那么的最小值是〔

〕A．4 B．5 C．7 D．96．〔2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)〕以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是〔

〕A． B．C．的最小值為 D．的最小值為7．〔2023·全國(guó)·模擬猜測(cè)〕為非零實(shí)數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，那么的最大值為〔

〕A． B． C． D．8．〔2023·河南開封·統(tǒng)考三模〕，，且，，那么以下不等式成立的是〔

〕A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題9．〔2023·黑龍江大慶·大慶中學(xué)?？寄M猜測(cè)〕，且，假設(shè)不等式恒成立，那么的值可以為〔

〕A．10 B．9 C．8 D．710．〔2023·山西·校聯(lián)考模擬猜測(cè)〕正實(shí)數(shù)a，b滿意，那么〔

〕A． B． C． D．11．〔2023·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試〕實(shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，那么以下說法中正確的有〔

〕A．有最小值 B．a(chǎn)2+b2有最小值C．4a+2b有最小值8 D．lna+lnb有最小值ln212．〔2023·全國(guó)·模擬猜測(cè)〕，，且.那么以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是〔

〕A