抽象集合與新定義集合歸類

新定義集合與抽象集合歸類所謂“新定義集合”，就是在現(xiàn)有的運(yùn)算法則和運(yùn)算規(guī)律的基礎(chǔ)上，定義一種新的運(yùn)算?！俺橄蠹稀敝唤o出集合元素滿足的性質(zhì)，探討集合中的元素屬性，要求有較高的抽象思維和邏輯推理能力。由于此類題目編制角度新穎，突出能力立意，突出學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查，特別能夠考查學(xué)生“現(xiàn)場(chǎng)做題”的能力，并且在近幾年高考模擬試題和高考試題中出現(xiàn)頻繁出現(xiàn)，甚至將大學(xué)集合論中的有關(guān)概念移植到考題中，例如08年福建：數(shù)域的判斷，06年四川：融洽集判斷。下面選取幾例進(jìn)行分類歸納，解題時(shí)應(yīng)時(shí)刻牢記集合元素的三要素：確定性，互異性，無(wú)序性。一、新運(yùn)算問(wèn)題例1定義集合A與B的運(yùn)算：A0B={xlxUA,或xUB,且x纟AGB},已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7}，則(A?B)?B為( )(A){1,2,3,4,5,6,7} (B) {1,2,3,4}(C){1,2} (D){3,4,5,6,7}解法一利用韋恩圖，知(AOB)OB為陰影所示部分，即為{1,2,3,4}，而選(B).解法二直接由新運(yùn)算分步計(jì)算，由新定義，得AOB={1,2,5,6,7},則(AOB)OB={1,2,5,6,7}O{3,4,5,6,7}={1,2,3,4},而選(B).例2設(shè)M,P是兩個(gè)非空集合，定義M與P的差集為M—P={xlxUM且x纟P},則M-(M—P)等于()(A)P(B)MAP(C)MUP(D)M分析這是集合新定義題，“M-P”是學(xué)生在中學(xué)不曾學(xué)過(guò)的一種集合運(yùn)算，應(yīng)緊扣集合中元素的屬性來(lái)解題.解當(dāng)MAPH0時(shí)，由韋恩圖知,M—P為圖形中的陰影部分，則M-(M-P)顯然為MAP.當(dāng)MAP=0時(shí)，M-P=M，則M-(M-P)=M-M={xlx^M且xM}=0.綜上，應(yīng)選(B).二、元素或集合的個(gè)數(shù)問(wèn)題例3設(shè)P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定義戶※Q={(a,b)la^P,b^Q},貝I」戶濟(jì)0中元素的個(gè)數(shù)為( )(A)3 (B)4 (C)7 (D)12解理解新定義集合戶濟(jì)0的特征是平面上的點(diǎn)集，橫坐標(biāo)為P集合中元素，而縱坐標(biāo)為Q集合中元素.則由分類計(jì)數(shù)原理知戶濟(jì)0中元素的個(gè)數(shù)為3X4=12，選(D).例4設(shè)M,P是兩個(gè)非空集合，定義M與P的差集為M-P={xlx￡M且xP}.已知A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則集合A_B的子集個(gè)數(shù)為( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解由題意，集合A-B={1,7}，因此A-B的子集個(gè)數(shù)為4,選(D).三、元素的和問(wèn)題例5定義集合A,B的一種運(yùn)算：A*B={xlx=x+x，其中xUA,xUB},若A={1,2,12123},B={1,2},則A*B中的所有元素之和為()(A)9 (B)14 (C)18 (D)21解A*B={2,3,4,5}，因此A*B中的所有元素之和為14.故選(B).例6對(duì)集合A={1,2,3,…，2001}及每一個(gè)非空子集，定義一個(gè)唯一確定的“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集,然后從最大的數(shù)開始,交替的減或加后繼的數(shù)所得的結(jié)果。例如,集合{1,2,4,7,10}的“交替和”為10-7+4-2+1=6,集合{7,10}的“交替和”為10-7=3,{5}的“交替和”為5,等等，試求A的所有子集的“交替和”的總和.解：集合A={1,2,3,…，2001}的子集中，除了集合{2001},還有22001-2個(gè)非空子集.將其分為兩類,第一類是含2001的子集,第二類是不含2001的子集,而且這兩類各自所含子集的全體相互構(gòu)成一一映射，從而這兩類所含子集的個(gè)數(shù)相同.因?yàn)槿鬉是第二類的，則必有AUii{2001}是第一類的集合；如果B.是第一類的集合，則B.中除2001夕卜，還應(yīng)用1,2,3,?,2000ii中的做其元素，即B.中除2001外是非空的，而是第二類的集合；令A(yù).與AiU{2001}對(duì)應(yīng)，則這i i i1種“成對(duì)的”的集合的“交替和”都為2001,從而可得A的所有子集的“交替和”的總和為2(22001-2)X2001+2001=22000X2001.四、集合的分拆問(wèn)題例7若集合A]、A2滿足A1UA2=A，則稱(A1，A2)為集合A的一個(gè)分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2時(shí)，(A],A2)與(A2，A])為集合A的同一種分拆，則集合A={a1?a2，a3}的不同分拆種數(shù)1是2 1221(12)3A27B26C9D8()121(a%(b)3 (c()121(a%(b)3 (c)邁集合N的“長(zhǎng)度”是￡，由集合M、N是｛xlO時(shí)，集合MHN的“長(zhǎng)度”最小,11+3—1=12，故選(c)?111提示:0WmW4，3WnW1,當(dāng)M={x4WxW1},N={x|WxW3}時(shí),43MQN={x|土WxW1},*-■ '41、11_1 33412【解】集合A的子集為0,{a},{a},{a},{a,a},{a,a},{a,a},{a,a,a}共8個(gè),123121323123集合A的一個(gè)分拆可以列表如下：A10}{a}{“3}A.{a,a,a}{a,a},{a,a,a}{a,a},{a,a,a}{a,a},{a,a,a}乙 12 3 2 3 12 3 13 12 3 1 2 12 3A1{a,a}{a,a},{a,a}{a,a,a}A212{a}, {a,a},{a:a}{a,a,a}2 3 1 2 31 3{a}, {a,a},{a：a},{a,a,a}2 3 1 2 32 3{a},{a,a}{a,a},{a:a,a}1 3 1 2 30,{a},{a},{a},{a,a}：{a,a {a,a},12/13 [23{a,a,a}1―2―3共有27個(gè)，選A五、集合長(zhǎng)度問(wèn)題31例8設(shè)數(shù)集M=｛xlmWxWm+4｝，N=｛xln—3WxWn｝，且M、N都是集合｛xIOWxW1｝的子集，如果把b~a叫做集合｛xlaWxWb｝的“長(zhǎng)度”那么集合MQN的“長(zhǎng)度”的最小值是5（D）—12解由題意，知集合M的“長(zhǎng)度”是4WxW1｝的子集，知當(dāng)且僅當(dāng)MUN=｛xlOWxW1｝六、理想配集問(wèn)題例9設(shè)I=｛1,2,3,4｝，A與B是I的子集，若AB=｛1,3｝，則稱（A、B）為一個(gè)“理想配集”.那么符合此條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)是（規(guī)定（A、B）與