含參變量的積分

*第五節(jié)一、被積函數(shù)含參變量的積分二、積分限含參變量的積分含參變量的積分

第十章2021/5/91一、含參變量積分的連續(xù)性是變量在上的一個一元連續(xù)函數(shù),設(shè)函數(shù)是在矩形上的連續(xù)函數(shù).在上任意確定的一個值,于是從而積分存在,這個積分的值依賴于取定的值.當(dāng)?shù)闹蹈淖儠r,一般來說這個積分的值也跟著改變.這個積分確定一個定義在上的的函數(shù),

我們把它記作即2021/5/92定理1如果函數(shù)在矩形上連續(xù)，那么由積分確定的函數(shù)在上也連續(xù).

證設(shè)和是上的兩點，則這里變量在積分過程中是一個常量，通常稱它為參變量.2021/5/93由于在閉區(qū)域上連續(xù)，從而一致連續(xù).因此對于任意取定的,存在,使得對于內(nèi)的任意兩點及,只要它們之間的距離小于,即就有因為點與的距離等于,所以當(dāng)

時,就有于是由（1）式有2021/5/94所以在上連續(xù).定理得證注

既然函數(shù)在上連續(xù),那么它在上的積分存在,這個積分可以寫為右端積分式函數(shù)先對后對的二次積分.2021/5/95定理1表明,定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運算與積分運算的順序是可交換的.同理可證,續(xù),則含參變量的積分由連續(xù)性定理易得下述可積性定理:2021/5/96定理2如果函數(shù)在矩形上連續(xù),則公式（2）也可寫成2021/5/97下面考慮由積分(*)確定的函數(shù)的微分問題.定理3如果函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形上連續(xù),那么由積分(*)確定的函數(shù)在上可微分,并且2021/5/98證因為為了求，先利用公式(1)作出增量之比由拉格朗日中值定理，以及的一致連續(xù)性，我們有2021/5/99其中，可小于任意給定的正數(shù)，只要

小于某個正數(shù).因此這就是說綜上所述有令取上式的極限，即得公式（5）.此定理說明,被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在閉矩形域上連續(xù)時,求導(dǎo)與求積運算是可以交換順序的.2021/5/910

我們在實際中還會遇到對于參變量的不同的值，積分限也不同的情形，這時積分限也是參變量的函數(shù).這樣,積分也是參變量的函數(shù).下面我們考慮這種更為廣泛地依賴于參變量的積分的某些性質(zhì).2021/5/911定理4如果函數(shù)在矩形上連續(xù)，又函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù)，并且則由積分（3）確定的函數(shù)在上也連續(xù).證設(shè)和是上的兩點，則2021/5/912當(dāng)時，上式右端最后一個積分的積分限不變，2021/5/913根據(jù)證明定理1時同樣的理由，這個積分趨于零.又其中是在矩形上的最大值.根據(jù)與在上連續(xù)的假定，由以上兩式可見，當(dāng)時，（4）式右端的前兩個積分都趨于零.于是，當(dāng)時，所以函數(shù)在上連續(xù).定理得證2021/5/914定理5如果函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在則由積分(3)確定的函數(shù)在上可微，并且矩形上連續(xù)，又函數(shù)與在區(qū)間上可微，并且三、萊布尼茨公式2021/5/915證由(4)式有

當(dāng)時，上式右端的第一個積分的積分限不變，則2021/5/916對于(8)右端的第二項，應(yīng)用積分中值定理得其中在與之間.當(dāng)時,2021/5/917類似地可證,當(dāng)時,因此，令，取(8)式的極限便得公式(7).公式(7)稱為萊布尼茨公式.于是2021/5/918應(yīng)用萊布尼茨公式，得例1設(shè)求解2021/5/919例2

求解這里函數(shù)在矩形上連續(xù)，根據(jù)定理2，可交換積分次序，由此有2021/5/920例3

計算定積分

考慮含參變量的積分所確定的函數(shù)顯然，根據(jù)公式(5)得解2021/5/921把被積函數(shù)分解為部分分式,得到于是2021/5/922上式在上對積分,得到即從而2021/5/923例4.分小時,函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)存在,且證:令

在原點的某個閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),由定理5可得2021/5/924即同理