二重積分的概念與性質(zhì)26115

節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、問(wèn)題的提出二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)思考題2021/5/91復(fù)習(xí)和總結(jié)（1）定積分是用來(lái)解決哪一類問(wèn)題？（2）解決這一類問(wèn)題采用了什么思想方法？定積分答：求非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問(wèn)題

被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間答：“分割,取近似,求和,取極限”

（3）如何計(jì)算定積分？2021/5/92現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問(wèn)題推廣所計(jì)算的量與多元函數(shù)及平面或空間區(qū)域有關(guān)被積函數(shù)積分范圍二元函數(shù)平面區(qū)域二重積分三元函數(shù)空間區(qū)域三重積分一段曲線曲線積分一片曲面曲面積分問(wèn)題:積分類型2021/5/93柱體體積=底面積×高【特點(diǎn)】平頂.柱體體積=？【特點(diǎn)】曲頂.曲頂柱體1．曲頂柱體的體積一、問(wèn)題的提出——引例2021/5/94類似定積分解決問(wèn)題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,取近似,求和,取極限”解法2021/5/95步驟如下②取近似、③求和：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，①分割：先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，得曲頂柱體的體積④取極限：2021/5/962．求平面薄片的質(zhì)量⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，⑶求和：所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量分析

=常數(shù)時(shí)，質(zhì)量=·，其中為面積.⑷取極限：得薄片總質(zhì)量若為非常數(shù)，仍可用“分割,取近似,求和,取極限”解決.2021/5/97兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)

解決問(wèn)題的步驟相同(2)

所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割,取近似,求和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:2021/5/98二、二重積分的定義及可積性1.定義將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),2021/5/992.【對(duì)二重積分定義的說(shuō)明】(3)f(x,y)在D上有界是二重積分存在的必要條件.代替？不能連續(xù)是二重積分存在的充分條件用(1)積分存在時(shí)，其值與區(qū)域的分法和點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)(證明略)2021/5/9103.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.1)若表曲頂柱體體積的負(fù)值.2)若3)若表區(qū)域D的面積.幾個(gè)特殊結(jié)果體積的代數(shù)和2021/5/911[注]1.重積分與定積分的區(qū)別：

重積分中d0,定積分中dx可正可負(fù).2.根據(jù)分割的任意性，當(dāng)二重積分存在時(shí)，在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D故二重積分可寫(xiě)為D則直角坐標(biāo)系下面積元素為引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:2021/5/912性質(zhì)1性質(zhì)2（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)逐項(xiàng)積分線性性質(zhì)可以推廣至有限個(gè)函數(shù)的情形。線性性質(zhì)2021/5/913性質(zhì)3對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)4若為D的面積，性質(zhì)5若在D上特殊地則有比較性質(zhì)2021/5/914性質(zhì)6性質(zhì)7二重積分中值定理二重積分估值不等式曲頂柱體的體積等于一個(gè)平頂柱體的體積幾何意義2021/5/915證明以下僅證性質(zhì)7（中值定理）由估值性質(zhì)得據(jù)有界閉域上的連續(xù)函數(shù)的介值定理變形后【得證】2021/5/916比較下列積分的大小:其中積分域D的邊界為圓周它與x

軸交于點(diǎn)(1,0),而區(qū)域D位從而于直線的上方,故在D上作業(yè)題、課后習(xí)題見(jiàn)作業(yè)答案解法或有關(guān)習(xí)題解答例1解Ⅰ解Ⅱ2021/5/917例2解2021/5/918解課后習(xí)題例32021/5/919機(jī)動(dòng)被積函數(shù)相同,且非負(fù),由它們的積分域范圍可知1.

比較下列積分值的大小關(guān)系:練習(xí)解[提示]

被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域D的大小.2021/5/9202.設(shè)D

是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)因0<y<1,故故在D上有提示區(qū)域D相同，則比較被積函數(shù)的大小2021/5/921D

位于x軸上方的部分為D1,在D上1.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù),D關(guān)于x

軸對(duì)稱,則則[補(bǔ)充]在分析問(wèn)題和計(jì)算二重積分時(shí)常用的對(duì)稱奇偶性當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時(shí)有類似結(jié)果.2.若D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,(1)(2)D2為y軸右方的部分2021/5/922[例如]在第一象限部分,則有利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化運(yùn)算時(shí)要特別考慮兩方面①被積函數(shù)的奇偶性②積分區(qū)域的對(duì)稱性說(shuō)明2021/5/923二重積分的定義二重積分的性質(zhì)（7條）二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（積分和式的極限）四、小結(jié)二重積分的物理意義（平面薄片的質(zhì)量）[二重積分的比較大小]1.若區(qū)域D相同，則比較被積函數(shù)的大小；2.若被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域D的大小.2021/5/9242021/5/925一利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二小結(jié)思考題§10.2二重積分的計(jì)算法（一）2021/5/926復(fù)習(xí)與回顧(2)回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積為

在點(diǎn)x處的平行截面的面積為:

(1)二重積分2021/5/927其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分(1)［X－型域］[X—型區(qū)域的特點(diǎn)]

穿過(guò)區(qū)域且平行于y

軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).1.[預(yù)備知識(shí)]2021/5/928(2)［Y－型域］[Y—型區(qū)域的特點(diǎn)]穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).2021/5/929(3)[既非X－型域也非Y－型域]

在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別都是X－型域(或Y—型域)則必須分割.由二重積分積分區(qū)域的可加性得2021/5/930(1)若積分區(qū)域?yàn)閄－型域：2.【二重積分公式推導(dǎo)】根據(jù)二重積分的幾何意義以及計(jì)算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法來(lái)求.方法2021/5/931即得公式12021/5/932幾點(diǎn)小結(jié)定限口訣后積先定限(投影)限內(nèi)劃條線(穿線)

先交下限寫(xiě)后交上限見(jiàn)aboxyDx(后積變量上下限必為常數(shù))該線平行于坐標(biāo)軸且同向投影穿線法2021/5/9333.【二重積分的計(jì)算步驟可歸結(jié)為】①畫(huà)出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程；②根據(jù)積分域特征，確定積分次序；③根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計(jì)算。公式22021/5/934(1)使用公式1必須是X－型域，公式2必須是Y－型域.(2)

若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分次序,必要時(shí)還可交換積分次序.

(見(jiàn)后續(xù)補(bǔ)充例題)(3)

若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域（或Y-型域）[說(shuō)明]2021/5/9354.【例題部分】例1解Ⅰ看作X－型域12oxy

y=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解Ⅱ看作Y－型域2021/5/936例2解D既是X—型域又是—Y型域法1－111xoy=xDxy2021/5/937法2注意到先對(duì)x的積分較繁，故應(yīng)用法1較方便－111yoy=xD－1xy注意兩種積分次序的計(jì)算效果！2021/5/938例3解D既是X—型域又是Y—型域先求交點(diǎn)2021/5/939法1法2視為X—型域計(jì)算較繁本題進(jìn)一步說(shuō)明兩種積分次序的不同計(jì)算效果！2021/5/940小結(jié)以上三例說(shuō)明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為簡(jiǎn)便見(jiàn)需恰當(dāng)選擇積分次序；既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性(易積)2021/5/9415.【簡(jiǎn)單應(yīng)用】例4求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積V.解

設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為2021/5/942例5解據(jù)二重積分的性質(zhì)4（幾何意義）交點(diǎn)與定積分元素法相同2021/5/9436.【補(bǔ)充】改變二次積分的積分次序例題補(bǔ)例1解2021/5/944隨堂練習(xí)1.計(jì)算其中D

是由直線y=x及拋物線y2

=x所圍成.解積不出的積分，無(wú)法計(jì)算。課本P154

第5題第6題練習(xí)2021/5/945解當(dāng)被積函數(shù)中有絕對(duì)值時(shí)，要考慮積分域中不同范圍脫去絕對(duì)值符號(hào)。分析補(bǔ)例2作業(yè):－1

x12021/5/946計(jì)算其中D由所圍成.令(如圖所示)顯然,利用對(duì)稱性與奇偶性補(bǔ)例3分析解課本P154

第3題與積分變量無(wú)關(guān)補(bǔ)例4與積分變量無(wú)關(guān)與積分變量無(wú)關(guān)2021/5/947分部積分法(略).(05/06學(xué)年第一學(xué)期考試題A卷)化為二次積分,交換積分次序原式=原式補(bǔ)例5解Ⅰ解Ⅱ2021/5/948二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結(jié)［Y－型］［X－型］課本P153

習(xí)題10-2練習(xí)2021/5/9492021/5/950一利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二小結(jié)思考題§10.2二重積分的計(jì)算法（一）2021/5/951復(fù)習(xí)與回顧(2)回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積為

在點(diǎn)x處的平行截面的面積為:

(1)二重積分2021/5/952其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分(1)［X－型域］[X—型區(qū)域的特點(diǎn)]

穿過(guò)區(qū)域且平行于y

軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).1.[預(yù)備知識(shí)]2021/5/953(2)［Y－型域］[Y—型區(qū)域的特點(diǎn)]穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).2021/5/954(3)[既非X－型域也非Y－型域]

在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別都是X－型域(或Y—型域)則必須分割.由二重積分積分區(qū)域的可加性得2021/5/955(1)若積分區(qū)域?yàn)閄－型域：2.【二重積分公式推導(dǎo)】根據(jù)二重積分的幾何意義以及計(jì)算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法來(lái)求.方法2021/5/956即得公式12021/5/957幾點(diǎn)小結(jié)定限口訣后積先定限(投影)限內(nèi)劃條線(穿線)

先交下限寫(xiě)后交上限見(jiàn)aboxyDx(后積變量上下限必為常數(shù))該線平行于坐標(biāo)軸且同向投影穿線法2021/5/9583.【二重積分的計(jì)算步驟可歸結(jié)為】①畫(huà)出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程；②根據(jù)積分域特征，確定積分次序；③根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計(jì)算。公式22021/5/959(1)使用公式1必須是X－型域，公式2必須是Y－型域.(2)

若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分次序,必要時(shí)還可交換積分次序.

(見(jiàn)后續(xù)補(bǔ)充例題)(3)

若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域（或Y-型域）[說(shuō)明]2021/5/9604.【例題部分】例1解Ⅰ看作X－型域12oxy

y=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解Ⅱ看作Y－型域2021/5/961例2解D既是X—型域又是—Y型域法1－111xoy=xDxy2021/5/962法2注意到先對(duì)x的積分較繁，故應(yīng)用法1較方便－111yoy=xD－1xy注意兩種積分次序的計(jì)算效果！2021/5/963例3解D既是X—型域又是Y—型域先求交點(diǎn)2021/5/964法1法2視為X—型域計(jì)算較繁本題進(jìn)一步說(shuō)明兩種積分次序的不同計(jì)算效果！2021/5/965小結(jié)以上三例說(shuō)明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為簡(jiǎn)便見(jiàn)需恰當(dāng)選擇積分次序；既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性(易積