二重積分的計算方法44062

節(jié)二重積分的計算法計算二重積分的方法:二重積分累次積分(即兩次定積分).2021/5/91

在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為一、利用直角坐標系計算二重積分2021/5/92(2)如果積分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).［X－型］2021/5/93回憶：平行截面面積為已知的立體的體積立體體積此方法關鍵是求2021/5/94計算截面面積(紅色部分即A(x0))＊以D為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積.應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法.用二重積分的幾何意義說明其計算法:是區(qū)間為曲邊的曲邊梯形.為底,曲線2021/5/95A(x0)先對y后對x的二次積分(累次積分)2021/5/96(2)

積分區(qū)域為：先對x后對y的二次積分也即其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).［Y－型］2021/5/971.當D既不是X-型區(qū)域也不是Y-型區(qū)域時,將D分成幾部分，使每部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域.注意：2.當D既是X-型區(qū)域也是Y-型區(qū)域時,可以用兩個公式進行計算.ⅠⅡⅢyx0yx0cdabD2021/5/98特殊地即等于兩個定積分的乘積.D為矩形域:則則a≤x≤b,c≤y≤d2021/5/99二重積分是化為兩次定積分來計算的，關鍵是確定積分限.定限要注意的問題：1.上限>下限.2.內(nèi)層積分的上，下限應為外層積分變量的函數(shù).3.外層積分上，下限應為常數(shù)(后積先定限).4.二重積分的結果應為常數(shù).2021/5/910例

計算其中D是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域.解法1：先y后x

··xyx012y=xy=1x=22021/5/911解法2：先x后yyx012y=xx=2··y2021/5/912解例計算(1,1)2021/5/913選取積分次序,不僅要看區(qū)域的特點,而且要看被積函數(shù)的特點.凡遇如下形式積分:等等,一定要放在后面積分.2021/5/914解積分區(qū)域如圖例改變積分的次序.2021/5/915例交換積分次序：解原式=2021/5/916例交換積分次序：解積分區(qū)域:原式=2021/5/917例求證

左邊的累次積分中,提示不能直接計算，是y的抽象函數(shù),證畢.要先交換積分次序.證明2021/5/918例

求兩個底圓半徑為R,且這兩個圓柱面的方程分別為及

解

求所圍成的立體的體積.2021/5/919解曲面圍成的立體如圖.例

求由下列曲面所圍成的立體體積，2021/5/9202021/5/921例解2021/5/922補充輪換對稱性結論:若D關于x,y滿足輪換對稱性(將D的邊界曲線方程中的x與y交換位置,方程不變),則2021/5/923證所以,

例2021/5/924二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）小結［Y－型］［X－型］（1）化二重積分為二次積分；（2）交換積分次序；題型2021/5/925作業(yè)習題8-2(1)(77頁)3.(1)(3)(4)4.5.6.(1)