中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化突破練習(xí)專題八 與圓有關(guān)的證明與計算(教師版)

專題八與圓有關(guān)的證明與計算類型1與圓有關(guān)的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算1．在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，A，B，C三點的坐標(biāo)分別為A(2，0)，B(4，0)，C(0，5)，點D在第一象限內(nèi)，且∠ADB＝45°.線段CD的長的最小值為__5－eq\r(2)__．2．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求證：CB∥PD；(2)若BC＝3，sinP＝eq\f(3,5)，求⊙O的直徑．解：(1)證明：∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P.∴CB∥PD.(2)連接AC.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).∴∠P＝∠CAB，∴sin∠CAB＝eq\f(3,5)，即eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5).又知，BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O直徑為5.類型2與圓的切線有關(guān)的證明與計算3．已知：如圖，P是⊙O外一點，過點P引圓的切線PC(C為切點)和割線PAB，分別交⊙O于A，B，連接AC，BC.(1)求證：∠PCA＝∠PBC；(2)利用(1)的結(jié)論，已知PA＝3，PB＝5，求PC的長．解：(1)證明：連接OC，OA，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO.∵PC是⊙O的切線，C為切點，∴PC⊥OC.∴∠PCO＝90°，∠PCA＋∠ACO＝90°.在△AOC中，∠ACO＋∠CAO＋∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠PBC，∴2∠ACO＋2∠PBC＝180°.∴∠ACO＋∠PBC＝90°.∵∠PCA＋∠ACO＝90°，∴∠PCA＝∠PBC.(2)∵∠PCA＝∠PBC，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB.∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(PB,PC)，即PC2＝PA·PB.∵PA＝3，PB＝5，∴PC＝eq\r(3×5)＝eq\r(15).4．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O(圓心O在△ABC內(nèi)部)經(jīng)過B、C兩點，交AB于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點F.延長CO交AB于點G，作ED∥AC交CG于點D.(1)求證：四邊形CDEF是平行四邊形；(2)若BC＝3，tan∠DEF＝2，求BG的值．解：(1)連接CE，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵EF是⊙O的切線，∠FEO＝90°，∴∠EOC＝2∠B＝90°，∴EF∥OD，又∵DE∥CF，∴四邊形CDEF是平行四邊形；(2)過G作GN⊥BC于N，∴△GMB是等腰直角三角形，∴MB＝GM，∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴∠FCD＝∠FED，∵∠ACD＋∠GCB＝∠GCB＋∠CGM＝90°，∴∠CGM＝∠ACD，∴∠CGM＝∠DEF，∵tan∠DEF＝2，∴tan∠CGM＝eq\f(CM,GM)＝2，∴CM＝2GM，∴CM＋BM＝2GM＋GM＝3，∴GM＝1，∴BG＝eq\r(2)GM＝eq\r(2).5．已知：如圖，AC是⊙O的直徑，圓心為點O，過A，C兩點分別作⊙O的切線，過圓心O的直線分別交這兩條切線于B，D兩點．(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若AB，CD分別過⊙O上的點E，F(xiàn)，判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論；(3)若⊙O的半徑為3，BC＝2eq\r(3)，求圖中四邊形ABCD被⊙O割后余下圖形(陰影部分)的面積．解：(1)證明：∵AC為⊙O的直徑，∴OA＝OC，∵BC，AD分別是⊙O的切線，∴∠OCB＝∠OAD＝90°，∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；(2)四邊形AECF是矩形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CF∥AE，∴∠ACF＝∠CAE，∵AC＝AC，∴△AFC≌△CEA，∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC是直徑，∴∠AEC＝90°，∴四邊形AECF是矩形；(3)連接EO.∵⊙O的半徑為3，∴AC＝6，∵BC＝2eq\r(3)，∴∠BAC＝30°，∴∠COE＝60°，所以S陰影＝2(S△ABC－S△AOE－S扇形OBC)＝