第14章-虛位移原理課件

第十四章虛位移原理§14-1基本概念§14-2虛位移原理§14-3虛位移原理的應用§14-4討論與結論研究對象——質點系的平衡問題

（質點、剛體、剛體系是質點系的特例）1、約束方程

把對質點系位置或速度的限制條件用數學方程表示，此方程為約束方程。yxM(x,y)oL擺桿為剛性桿擺桿換為不可伸長的柔索擺長長度可變§14-1基本概念2、約束方程的類型完整約束與非完整約束

（關于約束方程中是否包含坐標對時間的導數）單側約束與雙側約束

（關于單側方向或者雙側方向限制質點運動的約束）定常約束與非定常約束

（關于是否顯含時間t的約束）

3、自由度與廣義坐標廣義坐標

確定系統(tǒng)位置的獨立參數為廣義坐標。自由度

對于雙側完整約束的質點系，確定系統(tǒng)位置的獨立坐標數為系統(tǒng)的自由度數。

k=3n-syxM1M2φ1φ2曲柄滑塊機構

自由度為1四連桿機構自由度為1純滾動的圓輪自由度為1M1M2xyφv4、虛位移

給定瞬時，質點、質點系約束所允許的任何無限小的位移,稱為質點或質點系的虛位移。5、虛功

作用在質點或質點系上的力在虛位移上所作的功稱為虛功。6、理想約束

質點或質點系的約束力在虛位移上所做虛功之和為零的約束稱為理想約束。FNFNFNF具有雙側、定常、完整、理想約束的質點系，其平衡的充分必要條件是：該質點系所有主動力在任何虛位移上所做虛功之和為零。證明：必要條件的證明

即：若質點系平衡，主動力的虛功之和必為零。

因為：質點系平衡，所以每個質點必平衡。

所以有：§14-2虛位移原理給定一組虛位移充分條件的證明

反證法

設質點系不平衡，但質點系的主動力虛功之和為零。

對于不平衡質點，有：則有：質點由靜止進入運動因為質點系是理想約束，所有約束反力的虛功之和為零。所以：即：若質點系不平衡，質點系所有主動力的虛功之和將不為零。充分性、必要性得證。虛位移原理的數學表示——

虛功方程：1、各質點虛位移關系的確定（1）分析法建立坐標系用廣義坐標寫出各個質點的坐標對各個質點的坐標求變分自由度數與獨立變分數相同§14-3虛位移原理的應用以曲柄滑塊機構為例單自由度機構

以φ為廣義坐標寫出各個質點的坐標。rlABφψxy首先畫出各點的虛位移

按速度的關系確定虛位

移的關系

（2）幾何法（虛速度法）各點虛位移之比等于虛速度之比rlABφψ例、求平衡時主動力P與Q之關系AC=CF=BC=EC=ED=FD=

l解：建立坐標系xyQPABCDEFθ例、求壓榨機構的壓榨力P已知：M=50NmOA=r=0.1mBD=CD=ED=l=0.3m∠OAB=900α=150解：給出各點的虛位移oABCDEαMPδrAδrDδrCδrB建立虛功方程δφ建立虛位移的關系：例、均質桿AB長2l，一端靠在光滑的鉛垂墻壁上，另一端放在固定光滑曲面的DE上。欲使桿能在鉛垂平面任何位置上平衡，曲面DE應是什么曲線?解：1、分析此問題的特點，

因為：作用在桿上的主動力只有桿的自重，

平衡時其虛功為零。

所以：重力與其作用點的虛位移必相互垂直。

故可以判斷質心只能有水平方向的虛位移。2、建立直角坐標系并寫出A點的坐標DE為橢圓曲線ABφPxyo虛位移原理求內力例、求桁架結構中1桿的約束力(桿長為a)解：解除1桿約束，用反力代之1ABGHEFDPP確定各點的虛位移δφ1δrGδrEδrFδrHS1S1代入求解得：1ABGHEFDPP建立虛功方程δφ1δrGδrEδrFδrHS1S1例、求復合梁的約束反力

已知：P1=5kN,P2=4kN,P3=3kN,M=2kN.m畫出虛位移圖解除固定端約束MAFAy●建立虛功方程P1P2P3M2m1m2m1m3mδφδyA●求鏈桿約束處的約束反力P1P2P3M2m1m2m1m3mδφ＊分布力q的虛功計算FBACB以廣義力表示的虛功方程＊主動力的坐標用廣義坐標表示(q1q2、、、

qk)k=3n-s

主動力作用點坐標的變分Qk為廣義力虛功方程因為每一個廣義坐標的變分是獨立的，所以虛功方程等價于k個廣義力分別等于零。（2）、根據定義計算

給質點系一組廣義虛位移δqk≠0，δqj=0，j≠k廣義力的計算（1）、直接根據公式計算對于保守系統(tǒng)，廣義力等于零是具有雙側、定常、完整、理想約束質點系平衡的充分必要條件。＞0系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)＜0系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)例、雙擺擺長分別為l1與l2,質量分別為m1與m2。在擺端作用一水平力F。求平衡時雙擺的位形。解：雙擺的自由度數是2選擇廣義坐標φ1，φ2計算廣義力第一組虛位移（δφ1≠0

δφ2=0）第二組虛位移（δφ

1=0δφ2≠0）yxABφ1φ2Fmg1mg2計算廣義力Q1（δφ1≠0

δφ2=0）yxAB