《水力學(xué)》課件-第十章 有壓管道中的非恒定流動(dòng)

第十章

有壓管道中的非恒定流動(dòng)?

主要針對(duì)水擊和調(diào)壓系統(tǒng)液面振蕩問題討論有壓管道中的非恒定流動(dòng)。非恒定流動(dòng)增加了時(shí)變因素，比恒定流動(dòng)復(fù)雜得多，即使是一維情況，基本方程也不再是常微分方程了。第十章

有壓管道中的非恒定流動(dòng)§10—1一維非恒定流動(dòng)的基本方程§10—2水擊現(xiàn)象§10—3調(diào)壓系統(tǒng)的液面振蕩§10—1一維非恒定流動(dòng)的基本方程一.連續(xù)方程t+dt在管道中取出一段長度為

ds

的控制體微元，容易寫出密度ρ和斷面面積A

均可隨時(shí)間變化的連續(xù)ts方程??s?(ρAv)

+

(ρA)=

0?tds??s?A(Av)

+

=

0?t特殊地，若ρ=const，則Av

=

f

(t)若再有A=A(s)

，則二.運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)重力、壓差力、摩擦力和慣性力的平衡，可直接寫出處于漸變流段中長度為ds的控制體微元的流體運(yùn)動(dòng)方程?

?p??ut?u?s?

Ad

s

?τ

χd

s

?

ρ

d

s∫∫(

+

u

)d

A

=0?s0At+dt其中τ0為流段濕周的平均切應(yīng)力。忽略被積量在斷面上的不均勻影響，則可近似寫成：ts?z

1

p

1

v???vτ

χ+

(

+

v

)

+

0

=

0?s

γ

?

s

g

?

t

?s

γA+ds三.能量方程對(duì)運(yùn)動(dòng)方程?z

1

p

1

v???vτ

χ+

(

+

v

)

+

0

=

0?s

γ

?

s

g

?

t

?s

γA+從斷面s

至斷面s

積分1222s

?1

vs

τ

χp

v1

γp

v2

γ22z

+

1

+

1

=

z

+

2

+

2

+

∫

d

s

+

∫

0

d

s2g2g

g

t?γAss11s

τ

χ2∫0d

sγA單位重量流體所受壁面摩擦力在斷面s1s1至斷面s2間所作的功，記為hw1-2s

?1

v2h

=

∫

d

s

非恒定流動(dòng)新增的水頭，稱為慣性水頭i?g

ts1s

?1

v2h

=

∫

d

si?g

t慣性水頭是單位重量流體流經(jīng)該流段時(shí)，當(dāng)?shù)貢r(shí)s1變慣性力作的功，是蘊(yùn)藏在水流中的慣性能量，由機(jī)械能平衡，只有在非恒定流動(dòng)時(shí)才表現(xiàn)出來，并參與同機(jī)械能之間的相互轉(zhuǎn)換。非恒定總流的能量方程非恒定總流的水頭線由于多了一個(gè)慣性水頭，所以水頭線也多了一條。把原來的總水頭線叫做

E-E

線（機(jī)械能線），加上慣性水頭后的水頭線叫做i-i

線。由于慣性水頭有正有負(fù)，i-i

線可能會(huì)低于E-E

線。i-i線必沿程下降，E-E

線有可能沿程上升。另外，如今水頭線有瞬時(shí)性。慣性水頭為正，水流加速ihwEhiiv2/2gEp/γ測壓管水頭線z慣性水頭為負(fù)，水流減速Eihw

E-hiv2/2gip/γ測壓管水頭線z§10—2水擊現(xiàn)象水擊現(xiàn)象是一種典型的有壓管道非恒定流問題，在水擊現(xiàn)象中，由于壓強(qiáng)變化急劇，必須考慮流體的壓縮性及管道的彈性。水擊現(xiàn)象的大致描述：由于流動(dòng)的慣性，造成壓強(qiáng)大幅波動(dòng)流速突變有壓管道流動(dòng)的流量突變流體的壓縮性和管道的彈性使波動(dòng)在管道中以有限的速度傳播以閥門突然關(guān)閉為例，將有一個(gè)增壓、增密度、增管道斷面積、減流速的過程從閥門向上游傳播，壓強(qiáng)、流速、密度、管道斷面積的間斷面在管道中運(yùn)動(dòng)，這就是水擊波。Δp一.水擊波的壓強(qiáng)增值在已知水擊波速度傳播c

的條件下，分析壓強(qiáng)增量Δp

與流速增量Δv的關(guān)系。c單位時(shí)間水擊波通過的流體域的動(dòng)量增量為cρAΔv

，

受

力

為AΔp，這里，我們都略去了高階小量的影響。根據(jù)動(dòng)量定律，容易得ΔvΔpscΔt到Δp=-cρΔv二.水擊波的傳播速度單位時(shí)間水擊波通過的流體域中質(zhì)量增量為

cAΔρ+cρΔA，因流速增量造成的流出該區(qū)域的質(zhì)量流量為ρAΔv，根據(jù)質(zhì)量守

恒

原

理

，

易

知

Δ

v

=

-c(Δρ/ρ+ΔA/A)

，

即

Δ

p

=ρc2(Δρ/ρ+ΔA/A)，寫成極限形式，則有cΔvΔpscΔtK為液體的體ρ

d

p

K

積彈性系數(shù)1

d

ρ

1=式中1

d

A反映管壁的彈性A

d

p1

d

A

D=A

d

p

Eδ對(duì)于直徑為D的圓管E為管壁材料的彈性系數(shù)，δ為管壁厚度C0

=

K

/

ρ為

聲

波

速

度(水中約為1435

m/s).可見若忽略管壁的彈性，即認(rèn)為E

=

∞

，則c=c0水電站引水管D/δ

≌100，c≌1000m/s三.水擊現(xiàn)象的分析為了更清晰地說明水擊波傳播、反射、疊加的發(fā)展過程，考察上游水庫與閥門間的長度為L的直圓管（BA）中因閥門A突然完全關(guān)閉發(fā)生的水擊現(xiàn)象，認(rèn)為彈性力與慣性力起主要作用，忽略水頭損失和流速水頭。在理解了水擊波在A處的正反射和B處的負(fù)反射之后，可以列出

0<t<L/c，L/c<t<2L/c，2L/c<t<3L/c，3L/c<t<4L/c四個(gè)階段水擊現(xiàn)象的物理特性。ABL全管原壓強(qiáng)水頭hΔh0cΔv=-v0h0Δp=cρv0Δh=cv0/gv0v=0

ABL速度變化水擊波傳播方向階段

時(shí)段流速方向

壓強(qiáng)變化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

液體狀態(tài)(a)v0→0Δ水庫→閥門

增高

p

閥門→水庫

減速增壓

壓縮0<t<L/cΔh=cv0/gh0Bv=0AL水擊波水頭

到達(dá)全管壓強(qiáng)時(shí)刻

全管速度液體狀態(tài)h0+Δh壓縮t=L/cv=0B點(diǎn)Δh=cv0/g時(shí)刻t=L/ch0Bv=0AL由于B點(diǎn)壓強(qiáng)水頭保持為常數(shù)h0

，水擊波到達(dá)B點(diǎn)后無法再向上游傳播，壓差Δh轉(zhuǎn)化為流向水庫的流速v0而形成一個(gè)減速（速度以水庫流向閥門為正）減壓的過程，由B傳向A，水擊波反向，并由增壓波變?yōu)闇p壓波。在減壓波傳播過程中，管壁和液體密度復(fù)原，提供流向水庫的水量。Δh=cv0/gch0v0v=0

ABL速度變化水擊波傳播方向階段

時(shí)段流速方向

壓強(qiáng)變化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

液體狀態(tài)(b)L/c<t<2L/c

0→-v0閥門→水庫

恢復(fù)原狀

水庫→閥門

減速減壓

恢復(fù)原狀h0v0ABL水擊波全管壓強(qiáng)水頭

到達(dá)時(shí)刻

全管速度液體狀態(tài)h0復(fù)原t=2L/cv=-v0A點(diǎn)時(shí)刻h0t=2L/cv0ABL由于閥門已經(jīng)關(guān)閉，減速減壓的水擊波到達(dá)A點(diǎn)后無法再繼續(xù)向前傳播。因?yàn)楦鶕?jù)連續(xù)方程，A點(diǎn)流速必須為零，若A點(diǎn)處也要形成流向水庫的流速，則液體沒有補(bǔ)充的來源。而此時(shí)管中其它斷面上的流速卻是

-v0

，于是在

t=2L/c

時(shí)刻，在A點(diǎn)形成增速、減壓、減密度、減斷面面積的水擊波，由A傳向B，水擊波反向，但減壓波仍轉(zhuǎn)為減壓波。Δh=cv0/gh0cv0v=0ABL速度變化水擊波傳播方向階段

時(shí)段流速方向

壓強(qiáng)變化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

液體狀態(tài)(c)-v0→02L/c<t<3L/c閥門→水庫Δ

閥門→水庫減低

p增速減壓

膨脹Δh=cv0/gh0Bv=0AL水擊波水頭

到達(dá)全管壓強(qiáng)時(shí)刻

全管速度液體狀態(tài)h0-

Δh膨脹t=3L/cv=0B點(diǎn)Δh=cv0/g

時(shí)刻h0t=3L/cBv=0AL由于B點(diǎn)壓強(qiáng)水頭保持為常數(shù)h0

，水擊波到達(dá)B點(diǎn)后無法再向上游傳播，壓差-Δh轉(zhuǎn)化為流向閥門的流速v0而形成一個(gè)增速（速度以水庫流向閥門為正）增壓的過程，由B傳向A，水擊波反向，并由減壓波變?yōu)樵鰤翰?。在增壓波傳播過程中，管壁和液體密度復(fù)原，吸納從水庫進(jìn)入的水量。Δh=cv0/gh0cv0v=0ABL速度變化水擊波傳播方向階段

時(shí)段流速方向

壓強(qiáng)變化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

液體狀態(tài)(d)3L/c<t<4L/c

0→v0

水庫→閥門恢復(fù)原狀

水庫→閥門

增速增壓

恢復(fù)原狀等同于閥門突然關(guān)閉瞬時(shí)狀態(tài)h0v0ABL水擊波全管壓強(qiáng)水頭

到達(dá)時(shí)刻

全管速度液體狀態(tài)h0復(fù)原t=4L/cv=v0A點(diǎn)速度變化水擊波傳播方向階段

時(shí)段流速方向壓強(qiáng)變化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

液體狀態(tài)(a)v0→0Δ水庫→閥門

增高

p

閥門→水庫

減速增壓

壓縮0<t<L/c(b)(c)(d)L/c<t<2L/c

0→-v0閥門→水庫

恢復(fù)原狀

水庫→閥門減速減壓

恢復(fù)原狀-v0→02L/c<t<3L/c閥門→水庫Δ

閥門→水庫減低

p增速減壓

膨脹3L/c<t<4L/c

0→v0

水庫→閥門恢復(fù)原狀

水庫→閥門增速增壓

恢復(fù)原狀分析水擊現(xiàn)象的要點(diǎn)水庫邊界條件(p

=

const)決定了水擊波的負(fù)反射閥門邊界條件(v

已知)

決定了水擊波的正反射Δv和Δρ及ΔA按照連續(xù)原理平衡Δv和Δp按照動(dòng)量原理平衡例如t=2.5L/cΔp用疊加法分析任意時(shí)刻管中的壓強(qiáng)增量分布BA1/2LLL在(c)段在(b)段在(a)段ΔpBABAΔp任意斷面水擊增壓隨時(shí)間的變化規(guī)律ΔpA斷面1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12t/L/cΔpB斷面1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12t/L/cΔpΔp距A2/3L斷面1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12t/L/c23A斷面實(shí)際增壓1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12t/L/c相長、直接水擊和間接水擊將2L/c稱為水擊的相長，從閥門A處開始的水擊波傳到上游B處，經(jīng)負(fù)反射回來的減壓波又傳到A處，所須時(shí)間為相長?？梢婇y門A處持續(xù)壓力最大增值的時(shí)間最長，為一個(gè)相長。如果逐漸關(guān)閉閥門，那么將會(huì)有一系列水擊波在不同的時(shí)刻由A處出發(fā)，假如經(jīng)過一個(gè)相長之后，閥門尚未完全關(guān)閉，此時(shí)已經(jīng)有早先發(fā)出的水擊波成為減壓波傳回來，這樣A處的增壓就不會(huì)達(dá)到閥門突然完全關(guān)閉時(shí)的水擊增壓，這種水擊叫間接水擊，否則叫直接水擊。用疊加法分析閥門逐漸關(guān)閉情況下任意時(shí)刻管中的壓強(qiáng)增量分布關(guān)閉時(shí)間TS水擊增壓波波前形狀關(guān)閉方式流速、壓強(qiáng)變化規(guī)律例如T

=1.0L/c，關(guān)閉方式：流速線性減小，S從v

減至零。壓強(qiáng)從零線性增至Δp=cρv00Δp水擊增壓波波前形狀L用疊加法分析閥門逐漸關(guān)閉情況下任意時(shí)刻管中的壓強(qiáng)增量分布承前頁例，t=2.5L/cΔpBA1/2LLL在(c)段在(b)段在(a)段ΔpBABA四.水擊壓強(qiáng)的確定水擊計(jì)算的主要目的是確定最大水擊增壓值。最大水擊壓強(qiáng)一定發(fā)生在閥門斷面A處，而且只可能發(fā)生在關(guān)閉時(shí)間段內(nèi)的各相末。如果是直接水擊，A處在第一相末的水擊壓強(qiáng)即為最大水擊壓強(qiáng)。間接水擊的最大水擊壓強(qiáng)可能發(fā)生第一相末，稱為第一相水擊；也可能發(fā)生在關(guān)閉時(shí)間段內(nèi)的最后一相末，稱為末相水擊。取決于閥門的關(guān)閉規(guī)律。閥門的關(guān)閉規(guī)律實(shí)際上就是A斷面處的邊界條件，關(guān)閉規(guī)律給出該處流速隨時(shí)間的變化vA(t)，根據(jù)Δh

=

Δp/γ=

-cΔv/g可知水擊波在無限長管道中向上游傳播時(shí)，A斷面處的水頭增量ΔhA(t)

，在此基礎(chǔ)上再考慮水擊波在上游水庫斷面B處的負(fù)反射（原因是B處的邊界條件為ΔhB(t)≡0

），以及A斷面處的正反射，用疊加法確定A斷面在各相末的水頭增量ΔhiA§10—3調(diào)壓系統(tǒng)的液面振蕩一.U形管中的液面振蕩等直徑U形管中的液面22振蕩是非恒定管道流動(dòng)最z00簡單的一種情況。重力和慣性力的相互作用，造成管中液面的振蕩，阻力則使振幅衰減。由于運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化并不劇烈，可認(rèn)為流體不可壓縮。11連續(xù)方程顯然為v=F(t)，在如圖坐標(biāo)系