《水力學(xué)》課件-第六章 量綱分析與相似理論

第六章

量綱分析與相似理論?

量綱分析法是用于尋求一定物理過(guò)程中，相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對(duì)于正確地分析、科學(xué)地表達(dá)物理過(guò)程是十分有益的。?

兩個(gè)規(guī)模不同的流動(dòng)相似是流體力學(xué)試驗(yàn)時(shí)必須面對(duì)的問(wèn)題。?

本章在量綱分析法的基礎(chǔ)上探討流動(dòng)的相似理論，對(duì)流體力學(xué)試驗(yàn)研究有重要的指導(dǎo)意義。第六章

量綱分析與相似理論§6—1量綱分析§6—2相似理論§6—1量綱分析一.量綱、無(wú)量綱量?

量綱是指物理量所包含的基本物理要素及其結(jié)合形式，表示物理量的類別，是物理量的質(zhì)的特征。?

在量度物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)（單位）確定之后，一個(gè)具體的物理量就對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)值，有了比較意義上的大小，這是物理量的量的特征。?

基本量綱具有獨(dú)立性，比如與溫度無(wú)關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可選取長(zhǎng)度[L]、時(shí)間[T]和質(zhì)量[M]為基本量綱?；玖烤V誘導(dǎo)量綱?

量綱?

誘導(dǎo)量綱可由量綱公式通過(guò)基本量綱導(dǎo)出=

αβγα

,

β

,

γ稱為量綱指數(shù)如[x]

[L

T

M

]α

≠

0

,

β

=

0

,

γ

=

0α

≠

0,

β

≠

0

,

γ

=

0α

≠

0

,

β

≠

0

,

γ

≠

0則x

為幾何學(xué)的量則x

為運(yùn)動(dòng)學(xué)的量則x

為動(dòng)力學(xué)的量[ν

]

=

[L2T

?1]μ

=

?1

?1[

]

[L

T

M]運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)動(dòng)力粘性系數(shù)?

無(wú)量綱（量綱為一）量相同量綱量的比值如角度，三角函數(shù)定義：物理量的所有量綱指數(shù)為零幾個(gè)有量綱量通過(guò)乘除組合而成p

?

p∞Cp

=如壓力系數(shù)1ρU2∞2二.量綱和諧原理?

正確反映客觀物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，其各項(xiàng)的量綱指數(shù)都分別相同。?

任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式，其數(shù)學(xué)形式不隨單位制變換而改變形式。?

客觀物理規(guī)律必定可以通過(guò)無(wú)量綱量之間的關(guān)系式來(lái)表達(dá)。三.Π

定理?

物理過(guò)程涉及n

個(gè)物理量，其中有m

個(gè)物理量的量綱是互相獨(dú)立的，選這些量綱為基本量綱，可組成

n-m

個(gè)無(wú)量綱量，物理過(guò)程則可由這

n-m

個(gè)無(wú)量綱量的關(guān)系式描述。否則就違反了量綱和諧原理。?

物理過(guò)程的有量綱表達(dá)形式為，其中

m

個(gè)物f

(x

,

x

,",

x

)

=012n理量的量綱被選為基本量綱，余下n-m

個(gè)物理量可各自與這mΠ

,Π

,",Π，Π定理的結(jié)論是：物理n?m個(gè)物理量組合成無(wú)量綱量12過(guò)程的無(wú)量綱表達(dá)形式為

Π

ΠF(

,

,

,"Π=)

012n?m例初速為零的自由落體運(yùn)動(dòng)位移ss～g,tg,t選為基本量綱三個(gè)量只能組成一個(gè)無(wú)量綱量s/gt2初速為零的自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律s/gt2

=C做一次實(shí)驗(yàn)測(cè)得C=1/2，就不用再做類似實(shí)驗(yàn)，包括在月球上做實(shí)驗(yàn)。?

從無(wú)量綱表達(dá)看，似乎物理過(guò)程涉及的因素減少了，其實(shí)涉及的物理量并未減少，只是這些物理量組合成了若干無(wú)量綱量相互關(guān)聯(lián)。比起有量綱表達(dá)來(lái)，無(wú)量綱表達(dá)更接近于相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的實(shí)質(zhì)，也更具普遍性。?

應(yīng)用Π

定理要點(diǎn)（也是難點(diǎn)）在于：確定物理過(guò)程涉及的物理量時(shí)，既不能遺漏，也不要多列?！?—2相似理論一.流動(dòng)相似概念?

本節(jié)在量綱分析基礎(chǔ)上，討論兩個(gè)規(guī)模不同的不可壓流體流動(dòng)的相似問(wèn)題。這是進(jìn)行有關(guān)流體力學(xué)模型試驗(yàn)時(shí)必須面對(duì)的問(wèn)題。?

幾何相似：流場(chǎng)幾何形狀相似，相應(yīng)長(zhǎng)度成比例，相應(yīng)角度相等。幾何相似還可認(rèn)為包括流場(chǎng)相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。λ

l

=lp

/lm長(zhǎng)度比尺?

運(yùn)動(dòng)相似：以幾何相似為前提。流體質(zhì)點(diǎn)流過(guò)相應(yīng)的位移所用時(shí)間成比例。在對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流場(chǎng)速度圖相似，即相應(yīng)點(diǎn)速度大小成比例，方向相同。λ

=長(zhǎng)度比尺

l

/l

時(shí)間比尺λ

=

t

/tlpmtpm?

動(dòng)力相似：在對(duì)應(yīng)位置和對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流場(chǎng)中各種成分的力（時(shí)變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力）矢量圖都相似，即相應(yīng)點(diǎn)力的大小成比例，方向相同。并且五種成分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。λ

=長(zhǎng)度比尺

l

/llpmλ

=時(shí)間比尺

t

/ttpmλ

F

=Fp

/

Fm作用力比尺二.相似準(zhǔn)則?

不可壓流體的流動(dòng)都受N-S方程的控制，那么我們?cè)鯓觼?lái)保證兩個(gè)不同規(guī)模的流動(dòng)是相似的呢？?jī)蓚€(gè)相似的不可壓流體流動(dòng)的無(wú)量綱解應(yīng)是相等的，這意味著控制流動(dòng)的無(wú)量綱方程和無(wú)量綱邊界條件和初始條件應(yīng)是完全一樣的。?

在兩個(gè)相似流動(dòng)中，對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱量是相同的。?

用流動(dòng)的時(shí)間、~

~

~(x,

y,

z)

=

(Lx

,

Ly

,

Lz

)~長(zhǎng)度、流速和壓強(qiáng)t

=

T

t特征量

T,L,U,P

，~u

=

Uu帶

～

的量成為無(wú)量綱量?！?/p>

’將方程的自變量和應(yīng)變量無(wú)量綱化：~p

=

Pp?

將無(wú)量綱變量代入連續(xù)方程??u=0?u1ρ+

??

=

?g

?

?

p

+ν?(u

)uk2uN-S方程?

t~~??u=0得到無(wú)量綱方程和~~??2P

~νU

~2LU

u

U~~

~~~+(u

)u??

=

?g

?

?

p

+

?k2uT

t

LρL???~其中?

≡

(

i

+

j+

k)~~~?

x

?

y

?

z?

另一方面，也要將定解條件無(wú)量綱化，即給出在無(wú)量綱邊界上的邊界條件及在無(wú)量綱時(shí)間初值時(shí)的初始條件。接著再將無(wú)量綱N-S方程對(duì)流項(xiàng)前的系數(shù)歸一，得到~L

?ugLP

~ν

~~~

~~~+

??

=

?(u

)uk??

p

+?

2u~?U2ρU2LUTU

t?

相似流動(dòng)的無(wú)量綱方程和邊界條件、初始條件應(yīng)該完全一L

gL

P

ν2

ρ

2TU

U

U

LU樣，所以兩個(gè)相似流動(dòng)對(duì)應(yīng)的,

,,必須相等。它們都是無(wú)量綱量，分別反映了時(shí)變慣性力、重力、壓差力和粘性力在流動(dòng)的動(dòng)力平衡中相對(duì)于位變慣性力的重要性。?

根據(jù)上面得到的四個(gè)無(wú)量綱量（有的作了取倒數(shù)、開(kāi)方等改形）得到流動(dòng)的相似準(zhǔn)數(shù)：?弗勞德數(shù)?歐拉數(shù)UFr

≡gLP?

斯特勞哈爾數(shù)≡En?雷諾數(shù)ρU2ULνUTRe

≡St

≡L它們分別是時(shí)變慣性力、重力、壓差力、粘性力相似的準(zhǔn)數(shù)。?雷諾數(shù)?

斯特勞哈爾數(shù)位變慣性力時(shí)變慣性力UL表征UTRe

≡表征νSt

≡L位變慣性力粘性力?歐拉數(shù)?弗勞德數(shù)P≡UEn表征Fr

≡表征ρU2gL位變慣性力重力壓差力位變慣性力?

流動(dòng)的特征量一般應(yīng)取流動(dòng)中容易測(cè)量到的、能顯著體現(xiàn)流動(dòng)特征，或者對(duì)流動(dòng)起到重要控制作用的量。如?L

取為繞流物體的特征長(zhǎng)度或圓管直徑?U

取為無(wú)窮遠(yuǎn)方來(lái)流速度?

T取為周期?P

取為與無(wú)窮遠(yuǎn)方的壓差性運(yùn)動(dòng)的周期這些特征量常取在邊界處，使相似準(zhǔn)數(shù)中自然融進(jìn)邊界條件的相似。?

相似準(zhǔn)則：粘性相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等重力相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等非恒定相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的斯特勞哈爾數(shù)相等壓差力相似，即歐拉數(shù)相等往往是兩現(xiàn)象動(dòng)力相似的結(jié)果?

如何進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?三.相似理論的應(yīng)用在什么條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?在相似的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)應(yīng)該測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)果無(wú)量綱表達(dá)式包含的所有物理量應(yīng)該測(cè)量哪些物理量?實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)整理成以相似準(zhǔn)數(shù)和其它無(wú)量綱量來(lái)表示的函數(shù)關(guān)系式或繪制成曲線；實(shí)驗(yàn)結(jié)果只能應(yīng)用于相似現(xiàn)象之間。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何應(yīng)用??

在相似的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)完全相似例如嚴(yán)格地要求四個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)都相同ulFr

p

=

Frmpp==λu

=

λg相同ν相同lumlm難于做到u1