線性方程組解的判定

線性方程組解的判定第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

用消元法解線性方程組得知，線性方程組解的情況有三種：無窮多解、唯一解和無解．歸納求解過程，實際上就是對方程組(2.6.1)的增廣矩陣2.7線性方程組解的情況判定返回1/28下一頁下一頁上一頁上一頁第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回2/28上一頁上一頁下一頁下一頁

進行初等行變換，將其化成如下形式的階梯形矩陣：2.7線性方程組解的情況判定第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回3/28上一頁上一頁下一頁下一頁，(2.7.1)2.7線性方程組解的情況判定第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三其中，或．(2.7.2)返回4/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

由定理2.6.1可知，階梯形矩陣(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程組與方程組(2.6.1)是同解方程組，于是由矩陣(2.7.1)和(2.7.2)可得方程組(2.7.1)的解的結(jié)論:

1.當(dāng)時，階梯形矩陣(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程組中的第個方程

“”是一個矛盾方程，因此，方程

組(2.6.1)無解．返回5/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

2.當(dāng)時，方程組(2.6.1)有解．

并且解有兩種情況：

(1)如果，則階梯形矩陣(2.7.1)表示的方程組為，，．返回6/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

用回代的方法，自下而上依次求出，，，的值．因此，方程組(2.6.1)

有唯一解.(2)如果，則階梯形矩陣(2.7.1)表

示的方程組為，，．返回7/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三將后個未知量項移至等號的右端，得，，，其中，，為自由未知量．因此，方程組(2.6.1)有無窮多解．返回8/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

定理2.7.1(線性方程組有解判別定理)

線性方程組(2.6.1)有解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等．即．

推論1

線性方程組(2.6.1)有唯一解的充分必要條件是．返回9/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

推論2

線性方程組(2.6.1)有無窮多解的充分必要條件是．

推論3

齊次線性方程組(2.6.2)只有零解的充分必要條件是．

推論4

齊次線性方程組(2.6.2)有非零的充分必要條件是．返回10/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

特別地，當(dāng)齊次線性方程組(2.6.2)中，方程個數(shù)少于未知量個數(shù)時，必有．這時方程(2.6.2)一定有非零解.返回11/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

例1

判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無窮多解？(1)，，，；返回12/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三(2)，，，；(3)，，，．返回13/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

解

(1)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即返回14/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

因為，，兩者不等，所以方程組無解．.返回15/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

(2)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

因為，所以方程組有無窮多解．返回16/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

(3)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

因為，所以方程組有唯一解．．返回17/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三例2

判別下列齊次方程組是否有非零解？，，，．返回18/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

解

用初等行變換將系數(shù)矩陣化成階梯形矩陣，即返回19/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

因為，所以齊次方程組只有零解．．返回20/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

例3

問，取何值時，下列方程組無解？有唯一解？有無窮多解？，，．返回21/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三解

由．返回22/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

當(dāng)時，，故方程組有唯一解；

當(dāng)而時，，故方程組有無窮多解．

當(dāng)而時，，，故方程組無解；返回23/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三例4

已知總成本是產(chǎn)量的二次函數(shù)．根據(jù)統(tǒng)計資料，產(chǎn)量與總成本之間有如表2-1所示的數(shù)據(jù)．試求總成本函數(shù)中的，，．返回24/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三表2-1某廠某階段產(chǎn)量與總成本統(tǒng)計表時期產(chǎn)量(千臺)總成本(萬元)第1期第2期第3期61041016020370返回25/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

解

將，，代入已知二次函數(shù)模型中，得方程組，，．

利用初等行變換將其增廣矩陣化成行簡化階梯形矩陣，再求解．即返回26/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回27/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三．方程組的解為：，，．因此

總成本函數(shù)為．返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁課堂小結(jié)齊次線性方程組非齊次線性方程組有無窮多解.bAx=第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁課堂練習(xí)1、判斷下列方程解的情況(1)(2)(3)第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三解：(1)所以方程組有無窮多解．第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁解：(2)第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁

因為，，兩者不等，所以方程組無解．第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁解：(3)第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁

因為，所以方程組有唯一解．第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三

2、問，取何值時，下列方程組無解？有唯一解？有無窮多解？第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁解

由第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁

當(dāng)而時，，，故方程組無解；

當(dāng)時，，故方程組有唯一解；

當(dāng)而時，，故方程組有無窮多解．第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁作業(yè)P79習(xí)題2.71（2）（3）