矩陣地相抵、合同、相似

莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系“高等代數(shù)選講”課程論文題目：矩陣的相抵、合同、相似一些關(guān)于這三種等價關(guān)系的聯(lián)系、差別和不變量姓名：阮超英學(xué)號：21041132數(shù)學(xué)系2002級本科（1）班2005年6月23日矩陣的相抵、合同、相似一些關(guān)于這三種等價關(guān)系的聯(lián)系、差別和不變量[摘要]矩陣的相抵、合同、相似這三種等價關(guān)系之間既包含著聯(lián)系，又蘊涵著差別，以及矩陣在各自關(guān)系下的不變量。[關(guān)鍵詞]相抵；合同；相似；等價關(guān)系；不變量首先介紹矩陣的相抵、合同及相似概念的引入及其定義以及等價關(guān)系的證明。1.1矩陣相抵矩陣的相抵是在矩陣的初等變換的基礎(chǔ)上引入的，故先了解一下初等變換下的初等矩陣。定義1由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。顯然，初等矩陣是方陣，每個初等變換都有一個與之相應(yīng)的初等矩陣。eq\o\ac(○,1)互換矩陣的行與行的位置eq\o\ac(○,2)把矩陣的行乘以一非零數(shù)（為數(shù)域中數(shù)）eq\o\ac(○,3)把矩陣的行的倍加到行，有同樣可以得到與列變換相應(yīng)的初等矩陣，不難看出，初等矩陣是可逆的，且逆矩陣還是初等矩陣。定義2矩陣與相抵（記為或稱為等價）是指對進(jìn)行行和列的有限次的初等變換后可得到，亦即存在初等矩陣顯然，矩陣的相抵是一種等價關(guān)系，它滿足對稱性若與相抵,則與相抵；因為由定義2，有：，這樣可得到：反身性若和本身相抵；因為：傳遞性若和相抵，和相抵，則和相抵。由于：故：而矩陣相抵的一個重要方面就是矩陣的相抵。的多項式，以下三種變換稱為對的“初等行變換”：1．交換矩陣的兩行；2．把矩陣的某行乘以一非零數(shù)3．把矩陣的一行乘以一多項式加到另一行上去。類似可以定義列的初等變換。定義3若，都是矩陣且經(jīng)過初等變換后可變?yōu)?，則稱矩陣與相抵。與數(shù)字矩陣一樣，矩陣的相抵關(guān)系是一種等價關(guān)系。即<1>與自身相抵;<2>若與相抵,則與相抵;<3>若與相抵,與相抵,則與相抵。矩陣的合同經(jīng)過一個非退化的線性替換,二次型還是變成二次型.但是,替換后的二次型與原來的二次型之間有什么關(guān)系,即找出替換后的二次型的矩陣與原二次型的矩陣之間的關(guān)系。設(shè)：〈1〉是一個二次型，作非退化線性替換〈2〉我們得到一個的二次型現(xiàn)在來看矩陣與的關(guān)系把〈2〉帶入〈1〉，有易看出矩陣也是對稱的，事實上由此，即得這就是前后兩個二次型的矩陣的關(guān)系，與之相應(yīng)，我們引入定義4數(shù)域上矩陣成為合同的，如果有數(shù)域上可逆的矩陣，使。合同是矩陣之間的一個關(guān)系，不難看出合同關(guān)系具有<1>反身性<2>對稱性由即得<3>傳遞性因之，合同是一種矩陣之間的等價關(guān)系，而且經(jīng)過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型矩陣是合同的。1.3矩陣的相似引入：定理1設(shè)線性空間中線性變換在兩組基〈3〉〈4〉下的矩陣分別為從基〈3〉到〈4〉的過渡矩陣是，于是證明：已知于是由此即得由此我們引進(jìn)相似的定義定義5設(shè)，為數(shù)域上兩個級方陣，如果可以找到數(shù)域上的級可逆矩陣，使得，就說相似于。記作。相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有下面三個性質(zhì)：<1>反身性，這是因為<2>對稱性如果，那么。如果，那么有X使，令，就有所以。<3>傳遞性如果，，那么。已知有，使令就有2一些關(guān)于矩陣的相抵、合同、相似的充要條件及其證明定理2矩陣與相抵當(dāng)且僅當(dāng)二者的行列式因子組相同或者不變因子組相同。證明：我們只需證行列式因子在任意一種初等變換下不變就可以了。eq\o\ac(○,1)對第一種初等變換，變換矩陣的任兩行，顯然的階子式最多改變一個符號，因此行列式因子不變。eq\o\ac(○,2)對第二種初等變換，的階子式與變換后矩陣的階子式最多差一個非零常數(shù)，因此行列式因子也不改變。eq\o\ac(○,3)對第三種初等變換，記變換后的矩陣為，則與的階子式可能出現(xiàn)以下3種情形：子式完全相同；子式中的一行（或一列）等于中相應(yīng)子式的同一行（列）加上該子式中某一行（列）與某個多項式之積；子式的某一行（或列）等于中相應(yīng)子式的同一行（列）加上不在該子式中的某一行與某一個多項式之積。在前面兩種情形，行列式的值不變，因此不影響行列式因子，現(xiàn)在來討論第三種情形。設(shè)為的階子式，相應(yīng)的的階子式記為，則由行列式性質(zhì)得其中由的行與列組成，因此它與的階子式最多差一個符號。是乘以某一行的那個多項式，于是的行列式因子|，|，故|，這說明可整除的所有階子式，因此可整除的階行列式因子。但也可用第三種初等變換變成，于是|，由于及都是首一的多項式，因此必有。證畢定理3兩個復(fù)數(shù)對稱矩陣合同的充要條件是它們的秩相同。證明：由于任意一個復(fù)系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的。換個說法既是，任一復(fù)數(shù)的對稱矩陣合同于一個形式為的對角陣，從而有，兩個復(fù)數(shù)對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相同。定理4數(shù)域上的階矩陣，則與相似的充要條件是它們的特征矩陣與具有相同的行列式因子或不變因子。證明：顯然不變因子被行列式因子唯一確定，反之，行列式因子也被不變因子唯一確定，由定理2及定理：“設(shè)，是數(shù)域上的矩陣，則與相似的充要條件是矩陣與相抵”證畢3基于上述幾個定理，進(jìn)一步探討矩陣的相抵、合同、相似之間的一些聯(lián)系及差別。(1)為了把數(shù)域上矩陣的相似關(guān)系歸結(jié)為矩陣的相抵關(guān)系,先介紹一個定理。定理5設(shè)，是數(shù)域上的矩陣，則與相似的充分必要條件是矩陣與相抵。證明：若與相似，則存在上非異陣使于是〈3〉把看成是常數(shù)矩陣，〈3〉式表明與相抵。反過來，若與相抵，即存在及，使〈4〉其中與都是有限個初等矩陣之積，因而都是可逆陣。因此可將〈4〉式寫為：〈5〉又可設(shè)〈6〉代入〈5〉式經(jīng)整理得：〈7〉〈7〉式的左邊是一次的矩陣多項式，因此〈7〉式中括號內(nèi)的部分必須是零次的，也即必是一個常數(shù)矩陣，設(shè)為。于是〈8〉〈8〉式又可整理為再次比較次數(shù)得現(xiàn)只須證明是一個非異陣即可。由假設(shè)將上式兩邊右乘并移項得：但因此〈9〉又設(shè)代入〈9〉式并整理得比較次數(shù)即知上式左邊方括號內(nèi)的矩陣必須為零。因此，即是非異陣。證畢推論1設(shè)是復(fù)數(shù)域上的兩個數(shù)域且，若是上的兩個矩陣，則在上相似的充要條件是它們在上相似。證明：若在上相似，由于，它們當(dāng)然在上相似，反之，若在上相似，則與在上有相同的不變因子，也就是說它們有相同的法式，但在求法式的過程中只涉及多項式的加、減、乘及數(shù)的加、減、乘及數(shù)乘下也封閉。因此法式中的不變因子多項式仍是上的多項式，與初等變換相對應(yīng)的初等矩陣也是上矩陣，也就是說存在上可逆鉅陣使，因此，與在上相抵，從而，在上相抵。證畢例1設(shè)，，它們相似嗎？解法1：所以與等價，故。解法2：所以與等價，故。此題將相似關(guān)系轉(zhuǎn)化為等價關(guān)系，相似關(guān)系難以處理，但等價關(guān)系就可以用初等變換，這樣問題就變得比較具體，同時還可以求出相似變換矩陣。事實上，由上可知即，于是，從而，這里（2）合同與相似之間的聯(lián)系由于一個二次型經(jīng)變量代換后得到的二次型的相伴對稱矩陣與原二次型相伴的對稱矩陣是合同的，又因為含平方項的二次型其相伴對稱矩陣是一個對角陣，因此，化二次型為平方項等價于對對稱矩陣尋找非異陣，使是一個對角陣。這一情形于矩陣相似關(guān)系頗為類似，在相似關(guān)系下我們希望找到一個非異陣，使成為簡單形式的矩陣（如標(biāo)準(zhǔn)型）?，F(xiàn)在我們要找一個非異陣，使為對角陣，因此把二次型化為平方項相當(dāng)于尋找合同關(guān)系下的標(biāo)準(zhǔn)型。矩陣的相抵、合同、相似關(guān)系下的不變量及全系不變量秩是兩個（同階）矩陣在相抵關(guān)系下的不變量，反之，若兩個矩陣的秩相同，則它們必相抵，這是因為基于以下定理6任意一個矩陣都與一形式為的矩陣等價，它稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，主對角線上1的個數(shù)等于的秩（1的個數(shù)可以是零）。證明：如果，那么它已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)形了，以下無妨假定，經(jīng)過初等變換一定可以變成一左上角元素不為零的矩陣。當(dāng)時，把其余的行減去第一行的倍，其余的列減去第一列的倍。然后，用乘第一行，就變成是一個的矩陣，對再重復(fù)以上的步驟。這樣下去便可得出所要的標(biāo)準(zhǔn)形。顯然，標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的秩就等于它主對角線上1的個數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以1的個數(shù)也就是矩陣的秩。而矩陣和相抵的充要條件是有初等矩陣使故秩是兩個（同階）矩陣在相抵關(guān)系下的不變量。相似矩陣的不變量，這些不變量不僅在相似關(guān)系下保持不變而且足以判斷兩個矩陣是否相似，我們稱這樣的不變量為全系不變量。相似關(guān)系比相抵關(guān)系更為復(fù)雜一些，它的全系不變量也比秩復(fù)雜。我們知道，矩陣的特征多項式（從而特征根）是相似不變量。但它并不是全系不變量，因為我們很容易舉出例子來證明這一點，比如下面兩個矩陣的特征多項式相同但不相似：的特征多項式與的特征多項式都是，但，決不相似。人們經(jīng)過研究終于發(fā)現(xiàn)，兩個矩陣與之間的相似與的相抵有著密切的聯(lián)系：這樣我們可以把數(shù)域上矩陣的相似關(guān)系歸結(jié)為矩陣的相抵關(guān)系，又由定理2知行列式因子組或不變因子組是矩陣矩陣與相抵的不變量，而由定理4知數(shù)域上的階矩陣與相似，則它們的特征矩陣與具有不變的行列式因子或不變因子。（3）秩是矩陣合同關(guān)系下的一個不變量我們已經(jīng)知道，任意一個實對稱陣必相合于一個對角陣：，其中顯然。因此秩是矩陣合同關(guān)系下的一個不變量。如同相似標(biāo)準(zhǔn)型一樣，我們要找出實對稱矩陣在合同關(guān)系下的全系不變量。由于合同關(guān)系是等價關(guān)系，我們不妨設(shè)實對稱矩陣已具有下列對角陣的形狀：由：“設(shè)是數(shù)域上的非零對稱矩陣，則必存在非異陣，使的第（1，1）元素不等于零”知道，任意調(diào)換的主對角線上的元素得到的矩陣仍與合同。因此，我們可把零放在一起，把正項和負(fù)項放在一起，即可設(shè)所代表的二次型為eq\o\ac(○,1)令則eq\o\ac(○,1)式變?yōu)閑q\o\ac(○,2)這等價于說合同于下列對角陣：eq\o\ac(○,3)現(xiàn)在我們要證明eq\o\ac(○,2)式中的數(shù)及是一個不變量。定理7設(shè)是一個元實二次型，可化為兩個標(biāo)準(zhǔn)型：其中；則必有證明：用反證法，設(shè)，由前面的說明知道可設(shè)及均為+1或-1，因此eq\o\ac(○,4)又設(shè)其中，，，于是。令則因為，因此齊次方程組必有非零解（個未知數(shù)，個方程式）令其中一個非零解為把這組解代入eq\o\ac(○,4)式左邊得到，但這時，故eq\o\ac(○,4)式右邊將小于等于零，這就引出了矛盾。同理可證也為不可能。證畢現(xiàn)引入符號差的定義：定義6設(shè)是一個實二次型，若它能化為形如eq\o\ac(○,2)式的形狀，則稱是二次型的秩，是的正慣性指數(shù)，是的負(fù)慣性指數(shù)，稱為的符號差。定理8秩與符號差是實對稱矩陣合同關(guān)系下的全系不變量。證明：由上面的定理知道，秩與符號差是實對稱矩陣合同關(guān)系下關(guān)系的不變量。反之，若階實對稱矩陣的秩為，符號差都是，則它們都合同于其中個1，個-1及個零。因此與合同。證畢對于復(fù)二次型要比實二次型更簡單。因為下列復(fù)二次型均可化為其，因此復(fù)對稱矩陣的合同關(guān)系只有一個全系不變量，那就是秩。參考文獻(xiàn)：[1]北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.《高等代數(shù)》（第三版）.高等教育出版社.[2]李師正，張玉芬，李桂榮等