柯西不等式與排序不等式及其應用 教學設計

柯西不等式與排序不等式及其應用學習目標：1、認識二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式和三角形式，理解它們的幾何意義，掌握它們之間的關(guān)系．

2、認識柯西不等式的一般形式，理解它的幾何意義，能夠利用柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值.

3、了解排序不等式，會利用排序不等式證明有關(guān)的問題并掌握一些簡單應用．重點：

柯西不等式及排序不等式的應用.

難點：

利用柯西不等式求最值和排序不等式證明不等式

學習策略：

這部分內(nèi)容是新增內(nèi)容，是數(shù)學競賽中的熱點考點，隨著數(shù)學素養(yǎng)的提高，高考可能會涉及。學習時掌握好二維形式的柯西不等式的數(shù)組特點，理解好有序的數(shù)組的構(gòu)造方法。

知識要點梳理

知識點一：柯西不等式

1．二維形式的柯西不等式：

（1）向量形式：

設是兩個向量，則

（當且僅當是零向量或存在實數(shù)k，使時，等號成立）。

（2）代數(shù)形式：

①若a、b、c、d都是實數(shù)，則（當且僅當ad=bc時，等號成立）

②若a、b、c、d都是正實數(shù)，則

（當且僅當ad=bc時，等號成立）

③若a、b、c、d都是實數(shù)，則

（當且僅當ad=bc時，等號成立）

注意：柯西不等式的代數(shù)形式可以看作是向量形式的坐標化表示；

（3）三角形式：

設，則。

2.三維形式的柯西不等式（代數(shù)形式）：

若都是實數(shù)，

則，當且僅當或存在實數(shù)k，使得時，等號成立。

3.一般形式的柯西不等式（代數(shù)形式）：

若都是實數(shù)，則

，

當且僅當或存在實數(shù)k，使得時，等號成立。

知識點二：排序不等式（又稱排序原理）

設為兩組實數(shù)，是的任一排列，稱為這兩個實數(shù)組的順序積之和簡稱順序和；稱為這兩個實數(shù)組的反序積之和簡稱反序和或逆序和；稱為這兩個實數(shù)組的亂序積之和簡稱亂序和；則

≤≤

即：反序和≤亂序和≤順序和．

當且僅當時，反序和等于順序和。

注意：

學習排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義：兩實數(shù)序列同方向單調(diào)(同時增或同時減)時所得兩兩乘積之和最大．反之，反方向單調(diào)(一增一減)時所得兩兩乘積之和最小，注意等號成立條件是其中一個序列為常數(shù)序列．

規(guī)律方法指導

（1）柯西不等式是一個非常重要的不等式，其結(jié)構(gòu)和諧，應用靈活廣泛，靈活巧妙的運用它，可以使

一些較為困難的問題迎刃而解，并且柯西不等式本身的證明方法也值得在不等式證明中借鑒。

（2）使用一些方法構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，繼而達到使用柯西不等式解決有關(guān)的問題。

（3）利用柯西不等式求最值的關(guān)鍵在于將式子進行恰當?shù)摹皽悺弊冃巍?/p>

（4）排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義：兩實數(shù)序列同方向單調(diào)(同時增或同時減