導(dǎo)數(shù)中八大切線問題題型總結(jié)（解析版）

導(dǎo)數(shù)中八大切線問題題型總結(jié)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2.過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．【題型目錄】題型一：導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系題型二：在點(diǎn)處切線（此類題目點(diǎn)即為切點(diǎn)）題型三：過點(diǎn)的切線（此類題目點(diǎn)不一定為切點(diǎn)，需要設(shè)切點(diǎn)為）題型四：已知切線求參數(shù)問題題型五：切線的條數(shù)問題（判斷切線條數(shù)以及由切線條數(shù)求范圍）題型六：公切線問題題型七：切線平行、垂直、重合問題題型八：與切線相關(guān)的最值問題【典例例題】題型一：導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系【例1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)平均變化率的定義，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得表示切線斜率，表示切線斜率，又由平均變化率的定義，可得，表示割線的斜率，結(jié)合圖象，可得，即.故選：C.【例2】函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷【詳解】由圖象可知在上單調(diào)遞增，，故，即故選：B【題型專練】1.（2021·福建·泉州鯉城北大培文學(xué)校高三期中）（多選題）已知函數(shù)的圖象如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值的排序正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，記，，作直線AB，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AB的斜率，結(jié)合圖形即可得出.【詳解】由函數(shù)的圖象可知函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值都大于零，并且由圖象可知，函數(shù)圖象在處的切線斜率大于在處的切線斜率，所以；記，，作直線AB，則直線AB的斜率，由函數(shù)圖象，可知，即.故選：AB2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二期末）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圖象的變化趨勢(shì)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的定義有，即可得答案.【詳解】由圖知：，即.故選：A題型二：在點(diǎn)處切線（此類題目點(diǎn)即為切點(diǎn)）【例1】【2019年新課標(biāo)3卷理科】已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到方程關(guān)系．【例2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)數(shù)得出，結(jié)合奇函數(shù)定義得函數(shù)解析式，然后計(jì)算即可．【詳解】是奇函數(shù)，恒成立，所以，，，所以，，即，．故選：A．【例3】（2022·河南省浚縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））曲線在處的切線方程為（

）A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0【答案】B【解析】【分析】將代入曲線方程求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，利用直線方程點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋裕裕之?dāng)時(shí)，，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為．故選：B.【例4】過函數(shù)圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線領(lǐng)斜角范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】求得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，即切線的斜率，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)椋裕辞芯€的斜率，設(shè)切線的傾斜角為，則又因?yàn)椋曰颍辞芯€的傾斜角的范圍為.故選：B.【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，即可求得的值【詳解】由切點(diǎn)在曲線上，得①；由切點(diǎn)在切線上，得②；對(duì)曲線求導(dǎo)得，∴，即③，聯(lián)立①②③，解之得故選：A.【例6】（2022·江西·豐城九中高二期末（理））已知函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令先求出的值，再利用函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可求出,再利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義即可求出在處的切線方程.【詳解】由題意知：.所以;令，則.所以.又函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即.所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，.,;所以在處的切線方程為：.故選：A.【題型專練】1．【2018年新課標(biāo)1卷理科】設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】分析：利用奇函數(shù)偶次項(xiàng)系數(shù)為零求得，進(jìn)而得到的解析式，再對(duì)求導(dǎo)得出切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)可得，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時(shí)利用到結(jié)論多項(xiàng)式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項(xiàng)，偶函數(shù)不存在奇次項(xiàng)，從而求得相應(yīng)的參數(shù)值，之后利用求導(dǎo)公式求得，借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式求得結(jié)果.2.【2021年甲卷理科】曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．3．【2019年新課標(biāo)1卷理科】曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________．【答案】.【解析】【分析】本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤．求導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求．4．【2018年新課標(biāo)2卷理科】曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】【點(diǎn)睛】求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).

5．【2018年新課標(biāo)3卷理科】曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可．【詳解】解：則所以故答案為-3.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題題型三：過點(diǎn)的切線（此類題目點(diǎn)不一定為切點(diǎn)，需要設(shè)切點(diǎn)為）【例1】【2022年新高考2卷】曲線y=ln【答案】

y=1e【解析】【分析】分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為x0,lnx0【詳解】解：因?yàn)閥=ln當(dāng)x>0時(shí)y=lnx，設(shè)切點(diǎn)為x0,lnx0又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以?lnx0=1x0當(dāng)x<0時(shí)y=ln?x，設(shè)切點(diǎn)為x1,ln?x又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以?ln?x1=1x故答案為：y=1e【例2】（2022·四川·廣安二中二模（文））函數(shù)過點(diǎn)的切線方程為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求該切點(diǎn)上的切線方程，再由切線過代入求參數(shù)m，即可得切線方程.【詳解】由題設(shè)，若切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又切線過，則，可得或，當(dāng)時(shí)，切線為；當(dāng)時(shí)，切線為，整理得.故選：C【例3】（2022·四川省成都市郫都區(qū)第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切，則所有可能的切點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知，設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，然后把點(diǎn)代入方程，解出切點(diǎn)坐標(biāo)即可完成求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為：，將點(diǎn)代入得，即，解得或，所以切點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為故選：D.【例4】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二階段練習(xí)）直線與曲線相切，則的值為（

）A．2 B．-2 C．-1 D．1【答案】D【分析】求出，設(shè)切點(diǎn)，由求出，代入可得答案.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)，由，所以，代入，得．故選：D.【題型專練】1.（2022·陜西安康·高三期末（文））曲線過點(diǎn)的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)列方程，由此求出切點(diǎn)坐標(biāo)并求出切線的斜率，進(jìn)而可得切線方程.【詳解】由題意可得點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋运笄芯€的斜率，所以.因?yàn)辄c(diǎn)是切點(diǎn)，所以，所以，即.設(shè)，明顯在上單調(diào)遞增，且，所以有唯一解，則所求切線的斜率，故所求切線方程為.故選：B.2.（2022·廣東茂名·二模）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．e B．1 C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，寫出切線方程，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程，解出即可.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)，由，得，所以，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，又過（0，0），∴，解得，∴切點(diǎn)，縱坐標(biāo)為1．故選：B．3.過點(diǎn)(0，-1)作曲線的切線，則切線方程為A．x+y+1=0 B．x-y-1=0C．x+2y+2=0 D．2x-y-1=0【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)為，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即得切線的斜率，再寫出切線的方程即得解.【詳解】=lnx+1，設(shè)切點(diǎn)為，∴,∴=lnx0+1，∴x0lnx0+1=x0lnx0+x0，∴x0=1，∴y0=0，所以==1，∴切線方程為y=x-1，即x-y-1=0，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查曲線的切線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4.已知，則過點(diǎn)P(-1，0)且與曲線相切的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)為則切線方程為，將點(diǎn)代入解，即可求切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，切線斜率為所以切線方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)則解得或，所以切線方程為或故選：C題型四：已知切線求參數(shù)問題【例1】．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及給定傾斜角的范圍，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解a的范圍即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€在M處的切線的傾斜角，所以對(duì)于任意的恒成立，即對(duì)任意恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，所以a的取值范圍是．故選：D．【例2】（2022·廣東·石門高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線是曲線的切線，則________．【答案】2【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即可.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則，由點(diǎn)在切線上得，即，所以，解得，．故答案為：2【例3】（2022·陜西·千陽(yáng)縣中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則_____【答案】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由題中條件，列出方程，求解，即可得出，再由切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，又函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，可得，解得，又切點(diǎn)為，可得，即.故答案為：.【例4】（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．或1 B．或 C．或2 D．或【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)可得，根據(jù)切線的斜率為0建立方程求出即可得解.【詳解】由可得，因?yàn)?，所以，解?所以，故切線斜率，又，所以，解得或，所以或.故選：D【題型專練】1．（2022·云南·麗江市教育科學(xué)研究所高二期末）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為_________．【答案】【分析】由已知可得切線斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求解即可．【詳解】因?yàn)椋郧芯€的斜率為，而切線與直線垂直，所以，解得，故答案為：．2.（2022·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)（文））若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】的定義域?yàn)?，，由題意可得，即，解得，故選：A3.（2022·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知直線l的斜率為2，l與曲線：和圓：均相切，則（

）A．－4 B．－1 C．1 D．4【答案】D【解析】【分析】設(shè)曲線的切點(diǎn)，利用曲線的幾何意義可得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得切線方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑即可求得值.【詳解】設(shè)直線l：與曲線相切，切點(diǎn)為，因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，由，解得，所以切點(diǎn)為，代入得，所以切線方程為.將化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閘與圓相切，所以，解得.故選：D題型五：切線的條數(shù)問題（判斷切線條數(shù)以及由切線條數(shù)求范圍）【例1】（2022·河南洛陽(yáng)·三模（文））若過點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線方程，再根據(jù)點(diǎn)在切線上，即可代入切線方程，解得，即可得解；【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以，所以切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得或，所以過點(diǎn)作曲線的切線可以作2條，故選：C【例2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程，代入坐標(biāo)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，變形后轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的圖象后可得.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，因此切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，，設(shè)，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合圖像知，即.故選：D.【例3】【2021年新高考1卷】若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.【例4】（2022·河南洛陽(yáng)·三模（理））若過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知，設(shè)出切點(diǎn)，然后寫出切線方程，把點(diǎn)P帶入切線方程中，然后對(duì)式子進(jìn)行整理，分別設(shè)出兩個(gè)函數(shù)，與，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后作圖，看兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況即可完成求解.【詳解】由已知，曲線，即令，則，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程的斜率為，所以切線方程為：，將點(diǎn)代入方程得：，整理得，設(shè)函數(shù)，過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，可知兩個(gè)函數(shù)圖像與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又因?yàn)?，由，可得或，所以函?shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為，如圖所示，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn).故選：C.【例5】（2022·河北·高三階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】本題為過點(diǎn)的切線，切點(diǎn)為，可得切線方程，代入點(diǎn)P坐標(biāo)整理為，即與有三個(gè)交點(diǎn)．【詳解】由，則，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率則在點(diǎn)的切線方程為，代入點(diǎn)P坐標(biāo)得整理為，即這個(gè)方程有三個(gè)不等式實(shí)根，令，則，令則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故得，即，故選：D．【例6】（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末）過直線上一點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，再將方程的根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合圖象，即可得出答案.【詳解】解：由題意得，設(shè)切點(diǎn)為，，，，則過點(diǎn)的切線方程為，整理得，由點(diǎn)在切線上，則，即，因?yàn)檫^直線上一點(diǎn)可以作曲線兩條切線，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，時(shí)，；時(shí)，，則函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，，【題型專練】1.（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線C：相切，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為,過點(diǎn)P的切線方程為,代入點(diǎn)P坐標(biāo)，化簡(jiǎn)為，即這個(gè)方程有三個(gè)不等根即可.令,求導(dǎo)得：.令，解得：，所以在上遞增；令，解得：或，所以在和上遞增.要使方程有三個(gè)不等根即可.只需,即.故選：D2.（2022·廣東深圳·二模）已知，若過點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，整理得，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值，依題意有三個(gè)零點(diǎn)，即可得到不等式組，從而得解；【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，由，所以，所以，則，所以，令，則，因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，即，，依題意有三個(gè)零點(diǎn)，所以且，即；故選：B3.（2022·安徽·安慶市第二中學(xué)高二期末）若過點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及條件可得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】由題可得，設(shè)切點(diǎn)，則，整理得，由題意知關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，設(shè)，，由，得或，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，且，，函數(shù)的大致圖像如圖所示，因?yàn)榈膱D像與直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以，即.故選：D.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.4．（2022·山東棗莊·高二期末）已知函數(shù)，過點(diǎn)M（1，t）可作3條與曲線相切的直線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入切線方程，可得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，利用參變分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性和極值，則根據(jù)與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即可求出實(shí)數(shù)t的取值范圍【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)M（1，t）在切線上，所以，化簡(jiǎn)整理得，令，則，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上遞減，在上遞增，所以的極小值為，極大值為，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象如圖所示，因?yàn)檫^點(diǎn)M（1，t）可作3條與曲線相切的直線，所以的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以由圖象可得，故選：D5.（2022·山東濰坊·三模）過點(diǎn)有條直線與函數(shù)的圖像相切，當(dāng)取最大值時(shí)，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)分析的圖象可得，再設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由題可得有三根，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析圖象單調(diào)性與最值即可【詳解】由，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，結(jié)合圖象易得，過點(diǎn)至多有3條直線與函數(shù)的圖像相切，故.此時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得，存在三條切線即函數(shù)有三個(gè)不同的根，又，易得在上，，單調(diào)遞增；在和上，，單調(diào)遞減，畫出圖象可得當(dāng)，即時(shí)符合題意故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)解決切線的問題，同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，進(jìn)而確定根的個(gè)數(shù)與參數(shù)取值范圍的問題，屬于難題題型六：公切線問題【例1】（2023屆貴州省遵義市新高考協(xié)作體高三上學(xué)期入學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）若直線是曲線的切線，也是的切線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線與和的切點(diǎn)分別為，，分別求出切點(diǎn)處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到的值.【詳解】設(shè)直線與和的切點(diǎn)分別為，，則切線方程分別為，，，化簡(jiǎn)得，依題意上述兩直線與是同一條直線，所以，，解得，所以．故選：C．【例2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出各自曲線上的切點(diǎn)，得出兩個(gè)切線方程，由兩個(gè)切線方程可整理成關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，，切線的斜率為，則切線方程為，即設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，，切線的斜率為，則切線方程為，即所以有因?yàn)椋?，可得，，即，由可得：，所以，令，則，，設(shè)，則，所以在上為減函數(shù)，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求曲線過點(diǎn)的切線的方程的一般步驟是：（1）設(shè)切點(diǎn)（2）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)處的切線斜率；（3）構(gòu)建關(guān)系解得；（4）由點(diǎn)斜式求得切線方程.【例3】（2022·河北石家莊·高二期末）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值可能是（

）A．1.2 B．4 C．5.6 D．【答案】ABD【分析】分別設(shè)切點(diǎn)分別為，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別寫出切線方程，由題意切線方程相同，從而可得出，設(shè)由導(dǎo)數(shù)求出其值域即可.【詳解】由，則，由，則設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，則斜率為，所以切線方程為，即

①設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，則斜率為：，則切線方程為，即，②根據(jù)題意方程①，②表示同一條直線，則所以，令（），則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由題意.故答案為：ABD【例4】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線和曲線，若存在斜率為1的直線與，同時(shí)相切，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分別設(shè)直線與兩曲線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于斜率為1即導(dǎo)數(shù)值為1分別求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，可得切線方程，再根據(jù)切線方程系數(shù)相等得與的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求出b的取值范圍．【詳解】，，設(shè)斜率為的切線在，上的切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，由題知，∴，，兩點(diǎn)處的切線方程分別為和，故，即.故選：D.【例5】（2022·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，得到切線方程，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足曲線方程，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間、極值、最值即可得出a的取值范圍.【詳解】設(shè)切線：，即切線：，即，令在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以故選：A．【例6】（2022·重慶市育才中學(xué)高三階段練習(xí)）若直線（）為曲線與曲線的公切線，則l的縱截距（

）A．0 B．1 C．e D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為，，分別求出切線方程，再令切線方程相等；【詳解】設(shè)l與的切點(diǎn)為，則由，有.同理，設(shè)l與的切點(diǎn)為，由，有.故解得或則或.因，所以l為時(shí)不成立.故，故選：D.【例7】（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A． B．1 C．e D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求出，，根據(jù)斜率列出方程，得到，，構(gòu)造，利用函數(shù)單調(diào)性和圖象特征，求出，從而求出答案.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，則，且，所以，，且，所以，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，即，所以，所以，故故選：B【點(diǎn)睛】對(duì)于不知道切點(diǎn)的切線方程問題，要設(shè)出切點(diǎn)，再根據(jù)斜率列出方程，進(jìn)行求解.【題型專練】1.已知函數(shù)，．若經(jīng)過點(diǎn)存在一條直線l與曲線和都相切，則（

）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】先求得在處的切線方程，然后與聯(lián)立，由求解【詳解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲線在處的切線方程為，由得，由，解得．故選：B2.【2020年新課標(biāo)3卷理科】若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.3.（2022·河北省唐縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象都相切，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別得到、，再運(yùn)用基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)直線與函數(shù)，的圖象相切的切點(diǎn)分別為，.由，有，解得，.又由，有，解得，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“=”.故選：B4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)公切線與曲線的切點(diǎn)為，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求和上的切線方程，由所得切線方程的相關(guān)系數(shù)相等列方程求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)公切線與曲線和的交點(diǎn)分別為，，其中，對(duì)于有，則上的切線方程為，即，對(duì)于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故，即.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求兩條曲線的含參切線方程，由公切線對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到相關(guān)參數(shù)方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)范圍.5.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若僅存在一條直線與函數(shù)（）和的圖象均相切，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分別求出函數(shù)上切點(diǎn)處的切線方程和上切點(diǎn)處的切線方程，消去，得，該問題轉(zhuǎn)化為有唯一的值時(shí)，求值，即可通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)直線與的切點(diǎn)為，由可知，該直線的斜率為，即該直線的方程為，即為，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，由可知，該直線的斜率為，即該直線的方程為，即為，∵僅存在一條直線與函數(shù)（）和的圖象均相切，∴，∴即，令，則，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得最大值，，圖像為∵切線只有一條，即的值唯一，∴只有，故選：.6.若曲線與曲線：有公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．+ B．- C．+ D．+【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩曲線在切點(diǎn)的切線方程，可得，整理得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)在曲線上的切點(diǎn)為，則切線斜率為，在曲線上的切點(diǎn)為，切線斜率為，所以切線方程分別為、，即、，有，整理得，設(shè)，則，令，令，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上，如圖，由圖可知，即k的最大值為.故選：C.題型七：切線平行、垂直、重合問題【例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求答案.【詳解】函數(shù)存在與直線平行的切線，即在上有解，而，所以，因?yàn)?，所以，所以．所以的取值范圍是．?dāng)直線就是的切線時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，可得，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：．故選：B．【例2】（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））對(duì)于三次函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處點(diǎn)的切線重合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由得，然后求得，由求得，設(shè)，由得及，再由得，解得后可得．【詳解】設(shè)，，設(shè)，則，即……①又，即……②由①②可得，.故選：B.【例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線為，曲線在點(diǎn)處的切線為，則下列結(jié)論：①，使得；②當(dāng)時(shí)，取得最小值；③的最小值為2；④最小值小于．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求得兩條切線方程，令,可知，故存在零點(diǎn)，①正確；，通過求導(dǎo)討論單調(diào)性可知有最小值，進(jìn)而可以判斷最小值范圍，可以判斷②正確，③錯(cuò)誤，④正確.【詳解】解：由直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)可知：曲線上點(diǎn)坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，可知切線：.曲線上點(diǎn)坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率.令，則，令，，由零點(diǎn)存在定理，使，即，使，即，故①正確.，令，由同理可知有，使，令，在處取最小值，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，故②正確.是對(duì)勾函數(shù)，在上是減函數(shù)，，故③錯(cuò)誤，④正確.故選：C【題型專練】1.（2022·山西太原·二模（理））已知函數(shù)圖象上存在兩條互相垂直的切線，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件用換元法令，利用導(dǎo)數(shù)及三角函數(shù)的差的正弦公式即可得出導(dǎo)函數(shù)的范圍，根據(jù)已知條件得出，再利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，令，由，得，所以由題意可知，存在，使得，只需要，即，所以，，所以的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是用換元思想，再利用存在兩條互想垂直的直線進(jìn)而得出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象在點(diǎn)A(x1，f(x1))與點(diǎn)B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)處的切線互相垂直，則x2－x1的最小值為（

）A． B．1C． D．2【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由切線垂直斜率乘積為得的關(guān)系，計(jì)算，用基本不等式求最小值得結(jié)論．【詳解】因?yàn)閤1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，所以f′(x)＝2x＋2，所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)A，B處的切線的斜率分別為f′(x1)，f′(x2)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，所以f′(x1)f′(x2)＝－1．所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，所以x2－x1＝[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，當(dāng)且僅當(dāng)－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－，x2＝－時(shí)等號(hào)成立．所以x2－x1的最小值為1．故選：B．3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)在點(diǎn)、處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出，判斷單調(diào)性，可得出的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，，，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，當(dāng)，或時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)，處的切線方程為：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)，處的切線方程為．兩直線重合的充要條件是①，②，由①及得，由①②令，則，且，記導(dǎo)數(shù)為，且在恒成立，則函數(shù)在為減函數(shù)，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B題型八：與切線相關(guān)的最值問題【例1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出平行于直線且與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】設(shè)平行于直線且與曲線相切的切線對(duì)應(yīng)切點(diǎn)為，由，則，令，解得或（舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故點(diǎn)P到直線的最小值為：.故選：A.【例2】（2022·山東省淄博第一中學(xué)高三開學(xué)考試）動(dòng)直線分別與直線，曲線相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)處的切線和直線平行時(shí)，的值最小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和解析式求得點(diǎn)，再由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)﹐點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)處的切線和直線平行時(shí)，這兩條平行線間的距離的值最小﹐因?yàn)橹本€的斜率等于，曲線的導(dǎo)數(shù)，令，可得或(舍去)，故此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故選：A.【例3】（2022·河南·許昌高中高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線l對(duì)稱，若P，Q分別為它們圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由于為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為