2022年云南省昆明市高考數(shù)學(xué)三診一模試卷（文科）（5月份）含答案解析版

2022年云南省昆明市高考數(shù)學(xué)三診一模試卷（文科）（5月份）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）（2022?昆明一模）已知集合/={-2,-1,0,1,2},集合8={x||x|<2},則始口=（

）

A.{0,1}{-1,0,1}{-2,-1,0,1}D.{-2,-I,0,1

2）

2.（5分）（2022?昆明一模）已知命題p:V"eN",n2+n^2,則->/?為（）

A.V”走N*,n2+n<2/+〃<2c.3H任N*,

<23nwN",n2+n<2

3.（5分）（2022?昆明一模）已知復(fù)數(shù)z滿足z+三=2,且（z-5）,i=4,貝！J|z|=（）

A.72D.V?

4.（5分）（2022?昆明一模）已知點(diǎn)。在A48c的邊上，且49=28。，在A48c內(nèi)隨

機(jī)取一點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸取在ADBC內(nèi)的概率為（）

A.-B.-C.-D.1

432

5.（5分）（2022?昆明一模）已知數(shù)列缶“}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且4,2%，4%成等

差數(shù)列，則“5=（）

A.-B.-C.—D.—

281632

6.（5分）（2022?昆明一模）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的S=0,A=1,則輸出的k=（

）

第1頁（共26頁）

A.4B.5C.6D.7

7.（5分）（2022?昆明一模）梯形/BCD中，AB=2DC,設(shè)施=所，AD=n,貝lj^+麗=（

）

A.--m+2nB.-m-2nC.m-2iiD.-m+2n

22

8.（5分）（2022?昆明一模）若函數(shù)f（x）=a&+lnx的圖象在x=4處的切線方程為y=x+6,

則（）

A.。=3,b=2+/〃4B.a=3fb=—2+ln4

33

C.a,b=—\+ln4D.a=—,b=l+/〃4

22

9.（5分）（2022?昆明一模）函數(shù)y占部分圖象大致為（）

第2頁（共26頁）

10.（5分）（2022?昆明一模）雙曲線C:[-4=im>0力>0）的左，右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,

ab~

4是。上一點(diǎn)，滿足|彳月|=|月工|,且cosN4F；K=’,則。的離心率為（）

8

A.V2B.2C.A/3D.5/5

11.（5分）（2022?昆明一模）一個(gè)球體被兩個(gè)平行平面所截，夾在兩平行平面間的部分叫

做“球臺(tái)”，兩平行平面間的距離叫做球臺(tái)的高.如圖1,西晉越窯的某個(gè)“臥足杯”的外

形可近似看作球臺(tái)，其直觀圖如圖2,已知杯底的直徑為2括cvn,杯口直徑為4底加，杯的

12.（5分）（2022?昆明一模）已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為P,

過點(diǎn)F的直線與C交于4,B兩點(diǎn),且仁”，設(shè)直線的斜率為《，則|%|=（）

4

414

A.-B.-C.-D.2

523

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

第3頁（共26頁）

x-y+1^0

13.（5分）（2022?昆明一模）已知x,y滿足<x+y—320,貝Uz=》一'的最小值為.

在3

14.（5分）（2022?昆明一模）若"x<2”是的必要不充分條件，則a的值可以

是—.（寫出滿足條件a的一個(gè)值即可）

15.（5分）（2022?昆明一模）數(shù)列｛（-1）〃（2〃+〃）｝的前10項(xiàng)和等于.

16.（5分）（2022?昆明一模）已知函數(shù)〃x）=F'：對(duì)，若關(guān)于x的方程/'。）=四、有兩

[-X,x<0

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（-）必考題：共60

分.

17.（12分）（2022?昆明一模）已知A48c的內(nèi)角力,B,C所對(duì)的邊分別為a",c,a=M,

b=3>c=2.

（1）求A48c面積；

（2）設(shè)8C邊的中點(diǎn)為。，求ZC.

18.（12分）（2022?昆明一模）如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面/8CD為平行四邊形，E、

F、G分別是棱48、AP、尸。的中點(diǎn).

（1）證明：PC//平面EFG：

（2）PC=PD=CD=2y[2,AC=AD=AP=2,求點(diǎn)C到平面EFG的距離.

19.（12分）（2022?昆明一模）《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見》提

出“構(gòu)建智慧高效的生態(tài)環(huán)境管理信息化體系”，下一步，需加快推進(jìn)5G、物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、

云計(jì)算等新信息技術(shù)在生態(tài)環(huán)境保護(hù)領(lǐng)域的建設(shè)與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)生態(tài)環(huán)境管理信息化、數(shù)字化、

智能化.某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產(chǎn)品，已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出1件預(yù)計(jì)利潤為0.4

第4頁（共26頁）

萬元，當(dāng)月未售出的環(huán)保產(chǎn)品，每件虧損0.2萬元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需

求量在［155,205］內(nèi)取值，將月需求量區(qū)間平均分成5組，畫出頻率分布直方圖如下.

（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需求量的平均值5和方差$2.

（2）若該環(huán)保產(chǎn)品的月產(chǎn)量為185件，x（單位：件，155（vW205,XGN*）表示該產(chǎn)品一

個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)需求量，y（單位：萬元）表示該公司生產(chǎn)該環(huán)保產(chǎn)品的月利潤.

①將少表示為x的函數(shù)；

②以頻率估計(jì)概率，標(biāo)準(zhǔn)差s精確到1,根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)xe叵-s,5+s］且夕不

少于68萬元的概率.

20.（12分）（2022?昆明一模）已知函數(shù)/.（X）=包上，xe（04）.

ex

（1）討論/（幻的單調(diào)性；

（2）若方程〃幻="有兩個(gè)實(shí)數(shù)解再，看,證明：xt+x2>^.

21.（12分）（2022?昆明一模）已知橢圓C:=+4=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F,,

ab

左頂點(diǎn)為z（-2,o）,離心率為e.

2

（1）求C的方程；

（2）若直線/:夕=A（X+1）（AH0）與C交于點(diǎn)。，E,線段49,/E的中點(diǎn)分別為尸，。.設(shè)

過點(diǎn)耳且垂直于X軸的直線為/',若直線OP與直線r交于點(diǎn)S,直線00與直線r交于點(diǎn)T,

求率用.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.并用2B鉛筆在答題卡選考

題區(qū)域內(nèi)把所選的題號(hào)涂黑.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方

程I

22.（10分）（2022?昆明一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線￡的參數(shù)方程為

第5頁（共26頁）

[x=l+cosq夕為參數(shù))，直線的&普通方程為x+卜=3,以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極

[y=sin/

軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求G與的極坐標(biāo)方程：

(2)在極坐標(biāo)系中，射線。=a(0<a<9與G,G分別交于點(diǎn)Z，B(異于極點(diǎn))，若

\OA\-\OB\=3,求a的值.

[選修4-5：不等式選講]

23.(2022?昆明一模)設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=l.

(1)求1+/一的最小值；

ah+c

(2)證明：J1—a+—b+Jl-.

第6頁(共26頁)

2022年云南省昆明市高考數(shù)學(xué)三診一模試卷（文科）（5月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）（2022?昆明一模）已知集合力={-2,-1,0,1,2},集合8={x||x|<2},則第8=（

）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,

2）

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】求出集合8,由此能求出”「p.

【解答】解：?.?集合”={-2,-1,0,1,2）,

^B={x\\x\<2}={x]-2<x<2},

附8={-1,0,1）.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2022?昆明一模）已知命題p:V〃eN*,n2+,則->P為（）

A.V”任N*,n1+n<2B.YnwN*,n2+n<2C.BniN',

n2+n<2D.BneN*,n2+n<2

【考點(diǎn)】命題的否定

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)題意，由全稱命題和特稱命題的關(guān)系，分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，命題p是全稱命題，

則—為三〃eN*,n2+n<2；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，涉及全稱命題和特稱命題的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2022?昆明一模）已知復(fù)數(shù)z滿足z+7=2,且（z-力1=4,則|z|=（）

第7頁（共26頁）

A.y/2B.73C.2D.y/5

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共物復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：設(shè)z=a+6i,a,beR,

則5=a-bi,

z+z=a+bi+a—bi=2a=2,解得a=1>

v（z-z）-z=4,

;.2bi-i=-2b=4,解得b=-2,

z=1-2i,

|Z|=#+（_2）2=0

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共施復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2022?昆明一模）已知點(diǎn)。在A48c的邊上，且/￡）=28。，在A4BC內(nèi)隨

機(jī)取一點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸取在A。8c內(nèi)的概率為（）

A.-B.-C.-D.1

432

【考點(diǎn)】幾何概型

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用幾何概型的面積比能求出點(diǎn)P取在AOBC內(nèi)的概率.

【解答】解：點(diǎn)。在A48C的邊力8上，且49=28。，在A45C內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)尸，

設(shè)C到N8的距離為〃，

則點(diǎn)P取在AZMC內(nèi)的概率為：

弋—xAxBD1

\DBC_2-------」.

P=V=1?

MBC—X力XAB

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型的概率計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2022?昆明一模）已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且q,2a,,4%成等

第8頁（共26頁）

差數(shù)列，則牝=（）

A1R1c1D1

281632

【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：等差數(shù)列與等比數(shù)列：邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列，求解公比，然后求解即可.

【解答】解：設(shè)公比為q,數(shù)列｛《,｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且囚，2%，4%成等差數(shù)歹U，

可得4x1xq=1+4x1x4?,

解得q=

所以％==A.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的求法，是基礎(chǔ)題.

6.（5分）（2022-昆明一模）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的S=0,A=1,則輸出的％=（

A.4B.5C.6D.7

【考點(diǎn)】程序框圖

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；算法和程序框圖；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量出的值,

模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】解：由題意可得，S=0+l=l,不滿足S>20,A=l+1=2,

第9頁（共26頁）

5=14-2=3,不滿足S>20,A:=1+2=3,

S=3+3=6,不滿足S>20,左=3+1=4,

S=6+4=10,不滿足S>20,A=4+1=5,

S=10+5=15,不滿足S>20,A=5+1=6,

5=15+5=21,滿足S>20,退出循環(huán)，輸出％=6.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正

確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2022?昆明一模）梯形48CD中，AB=2DC,設(shè)方=玩，近=萬，則配+麗=（

）

A.—rn+lnB.—m-2nC.fn-2nD.-in+2n

22

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理求解即可.

【解答】解：?.?梯形N8CD中，AB=2DC,設(shè)方=比，AD=n,

AC=AD+DC=ii+—in,BD=AD-AB=n-in,

2

AC+BD=n+-m+n-m=2n--m,

22

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2022,昆明一模）若函數(shù)f（x）=a4x+lnx的圖象在x=4處的切線方程為y=x+b,

則（）

A.。=3,b=2+/〃4B.〃=3,b=—2+。4

33

C.a=-fb=-1+伍4D.a=—b=1+/w4

22f

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

【專題】方程思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=4時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，再由導(dǎo)數(shù)值為1求得切點(diǎn)橫

坐標(biāo)，進(jìn)一步求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程即可求解6.

第10頁（共26頁）

【解答】解：由/（X）="4+/"x,得r（x）=3x2+J.,

2x

f（4）=￡?9+；=1,解得°=3,則/（X）=34+/”X,

:.f（4）=6+2加2,切點(diǎn)坐標(biāo)為（4,6+2歷2）,

把切點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x+b,^b=y-x=6+2ln2-4=2+ln4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是基礎(chǔ)題.

9.（5分）（2022?昆明一模）函數(shù)夕=不匕部分圖象大致為（）

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

第11頁（共26頁）

【分析】根據(jù)特值/（O）,/（；）排除錯(cuò)誤選項(xiàng)求解.

【解答】解：*.*x4—1#0,，xw±1,/'（X）的兩條漸近線為工=±1,

?.?/（0）=-1,.?.排除8、。選項(xiàng)，又〃g）=-1|<-l=/（O），而4選項(xiàng)中/（；）>/（0），.??

排除X選項(xiàng)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.

V2V2

10.（5分）（2022?昆明一模）雙曲線C:--彳=1（〃>0力>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),

ab2

7

力是C上一點(diǎn)，滿足|/月|=|大6I,且C0SN4耳用=上,則。的離心率為（）

8

A.72B.2C.也D.y[5

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】分類討論/的位置，根據(jù)雙曲線的定義和余弦定理列式可求出結(jié)果.

【解答】解：當(dāng)工在雙曲線左支上時(shí)，|4丹|-M耳|=2〃，

又|力耳HEBI=2C，所以|/￡|=2a+2c,

所以iW

即Z_4/+4，-(2Q+2C)2

,整理得3c2+4/+8。。=0,此方程不成立;

'8"2?2c?2c

當(dāng)/在雙曲線右支上時(shí)，|/月|-|"鳥|=2°,

又|=|耳￡|=2c,所以|Z￡|=2c-2a,

所以―瑪=四瑞陶?

即工=4廣上4小二（2"24）一,整理得3c2+4.8改=0,得（3c-2a）（c-2。）=0,

8222

所以￡=2或￡=2（舍去），

aa3

所以C的離心率為2.

故選：B.

第12頁（共26頁）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的定義和余弦定理，屬于中檔題.

11.（5分）（2022?昆明一模）一個(gè)球體被兩個(gè)平行平面所截，夾在兩平行平面間的部分叫

做“球臺(tái)”，兩平行平面間的距離叫做球臺(tái)的高.如圖1,西晉越窯的某個(gè)“臥足杯”的外

形可近似看作球臺(tái)，其直觀圖如圖2,已知杯底的直徑為2后杯口直徑為4辰加，杯的

深度為氐加，則該臥足杯側(cè)面所在球面的半徑為（）

D.4

2

【考點(diǎn)】球的體積和表面積

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；球；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】作出“球臺(tái)”的軸截面，利用勾股定理得到方程組，解得即可.

【解答】解：如圖所示，作出“球臺(tái)”的軸截面，

設(shè)球心為。，過。作。交于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)尸，

依題意AB=2點(diǎn)cm,CD=4y[Scm,EF=-J5cm,

設(shè)球的半徑為Rem,貝IR2=DF2+OF2且*=AE2+OE2,

22

Bn\R=(2^+OF]R=5

即1I—9

R2=(V5)2+(y/5+OF)2,[OF=V5

即球面的半徑為5cm.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球中截面的計(jì)算，屬于中檔題.

12.（5分）（2022?昆明一模）已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為P,

過點(diǎn)F的直線與C交于4,3兩點(diǎn)，且仁上，設(shè)直線PN的斜率為《，則|%|=（）

4

414

A.-B.-C.-D.2

523

【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算

第13頁（共26頁）

【分析】設(shè)直線的方程為冗=叩+1,4（$,必），B（x2,為），必＜必，將其與拋物線

的方程聯(lián)立，再結(jié)合拋物線的定義，求得點(diǎn)Z的坐標(biāo)，得解.

【解答】解：設(shè)直線Z8的方程為x=/wy+l,力區(qū)，必），B（X2,%），必＜丁2，

fx=W+l,口〉

聯(lián)“＜，得y_4my-4=0,

[y?=4x

所以必+必=4〃7，乂?外=一4，

所以X+W=加（必+%）+2=4m2+2,

7517

因?yàn)閨AB|=—=Xj+x2+2,所以$+々=]，

所以4加？+2=口，解得加=±3,

44

3

當(dāng)〃?=*時(shí)，M+為=3,M?%=-4,所以弘=一1,必=4，

所以芭=（,x2=4,即點(diǎn)/（；,-1）?

所以|左|=|『-1」-0_|=）一43=42.

4-（-1）33

4

同理可得，當(dāng)加=—3時(shí)，|幻=3.

45

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，熟練掌握拋物線的定義，直線與拋物線聯(lián)立解

決問題的思想是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x—歹+120

13.（5分）（2022,昆明一模）已知x,y滿足?x+y-3^0,貝!Jz=x-y的最小值為—-1—.

在3

【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃

第14頁（共26頁）

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用Z的幾何意義進(jìn)行求解即可.

x-y+120

【解答】解：作出x,y滿足x+y-320,對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

x<3

由2=》-了，得y=X-Z表示，斜率為1縱截距為-Z的一組平行直線，

平移直線夕=工-2,當(dāng)直線y=x-z和直線x-y=-1重合時(shí)，

直線y=x-z的截距最大，此時(shí)z最小，此時(shí)

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用z的幾何意義是解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵，

注意利用數(shù)形結(jié)合來解決.

14.（5分）（2022?昆明一模）若"x<2”是“x〈a”的必要不充分條件，則a的值可以是

2_.（寫出滿足條件。的一個(gè)值即可）

【考點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件

【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；簡易邏輯；邏輯推理；直觀想象

【分析】若“x<2”是“x<a”的必要不充分條件，則若"x<2”表示的范圍比“x<a”

表示的范圍大，以此可解決此題.

【解答】解：因?yàn)椤皒<2”是“x<a”的必要不充分條件，所以“x<2”表示的范圍比

“x<a”表示的范圍大，

當(dāng)a=0時(shí)滿足.

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分、必要條件的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

第15頁（共26頁）

15.(5分)(2022?昆明一模)數(shù)列{(-1)"(2"+〃)}的前10項(xiàng)和等于687.

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)分組求和法和等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.

【解答】解：數(shù)列{(-1)"(2"+?)}的前10項(xiàng)和等于

2345610

S10=-(2'+1)+(2+2)-(2+3)+(2+4)-(2+5)+(2+6)—-?+(2+10)

=-2'+22-23+24----+2'<,+(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+(-7+8)+(-9+10)

-2[1-(-2尸]

+5=687

1-(-2)

故答案為：687.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的分組求和問題，屬于基礎(chǔ)題.

16.(5分)(2022?昆明一模)已知函數(shù)/'(x)={''2/，若關(guān)于x的方程/(x)=ae、有兩

[-%,x<0

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

e

【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】分類討論。，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求出結(jié)果.

【解答】解：當(dāng)。〉0時(shí)，因?yàn)榉匠?在(-8,0)上無實(shí)數(shù)根，所以方程/(x)=ae”在

[0,+8)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即。*在[0,+00)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

令g(x)=,

e

則g，(x)="二手=」,

S(ex)e*

令g，(x)>0,得0令<1,令g?)<0,得x>l,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)遞減，

所以g(x),w=g⑴=1,又當(dāng)X趨近于正無窮時(shí)，g(x)趨近于0,

e

所以g(x)的圖象為:

第16頁(共26頁)

當(dāng)。=0時(shí).，方程/(x)=a，有且僅有一個(gè)實(shí)根，不合題意，

當(dāng)”0時(shí),因?yàn)榉匠獭皒)=ae*在［0,+8)上無實(shí)數(shù)根,所以方程“x)=ae，在(-0,0)上有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即“=-0在(-8,0)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

e

r2

令h{x)=--,x<0,

e

貝h\x)=_2.e,=X(x-2)>o恒成立，

(e')2e*

r2

所以〃(x)為增函數(shù)，a=-0在(7,0)上有最多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意.

e~

綜上所述：0<a<L,即ae(0」).

ee

故答案為：(0」).

e

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60

分.

17.(12分)(2022?昆明一模)已知A48c的內(nèi)角Z,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=M,

6=3,c=2.

(1)求A/18C面積；

(2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)為。，求力￡).

【考點(diǎn)】正弦定理

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想：解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】(1)利用余弦定理求出角/的余弦，再結(jié)合同角公式、三角形面積定理即可計(jì)算

第17頁(共26頁)

作答.

（2）在A48Z）與中利用余弦定理建立方程，解方程作答.

【解答】解：（1）因?yàn)锳4BC的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=曬,6=3,

c=2,

所以由余弦定理得：cos/=4+cT=+22TM1

2bc2x3x22

所以sin4=\/\-COS2A=—,

2

所以AJ8C面積為S=—/><?sin=—x3x2x—=.

2222

（2）因?yàn)橛深}意可知。為8。邊的中點(diǎn)，

在A48O中，由余弦定理可得：c2=AD2+（1）2-2AD-1-cosZ.ADB,

在A4co中，由余弦定理可得：=AD2+（-）2-2AD^cosZ.ADC,

又因?yàn)閏os/ADC=cos（萬-/ADB）=-cosZADB,

2

所以計(jì)算可得：。2+/=2/02+幺，

2

進(jìn)而可得“加="￡—

244

解得/。=五.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理，同角公式、三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查

了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.（12分）（2022?昆明一模）如圖，在四棱錐P-/BC。中，底面48co為平行四邊形，E、

F、G分別是棱N8、AP,尸。的中點(diǎn).

（1）證明：尸C//平面EFG：

(2)若PC=PD=CD=2C,AC=AD=AP=2,求點(diǎn)C到平面EFG的距離.

【考點(diǎn)】直線與平面平行；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

第18頁（共26頁）

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】（1）依題意可得EF//8P,GFHAD,即可得到EF//平面尸8C,再由Z8CD為

平行四邊形得到GF//BC,從而得到GF//平面尸8C,即可得到平面FEG//平面EFG,

可證結(jié)論；

（2）取/C的中點(diǎn)，，連接廠”，HE,依題意可得=S4M”利用勾股定理逆定理可

WPAVAD,同理可得「41/C,DALAC,從而可證NCJ■平面平面/PC,

求出％切，Sm設(shè)“到平面MG的距離為d,由匕-￡?；=%_“＜；，可求得d，由，為NC

的中點(diǎn)，即4,C到平面EFG的距離相等，從而得解.

【解答】（1）證明：???E、F、G分別是棱49、AP,尸。的中點(diǎn).

所以EF//BP,GFHAD,又EFy平面PBC,BPu平面PBC,所以￡尸//平面尸8C,

又由為平行四邊形，所以4D//BC,所以GE//8C,

GFU平面PBC,8Cu平面PBC,所以GF//平面尸8C,

又因?yàn)镚F|nEF=F,GF,EFu平面EFG,所以平面FEG//平面斯G,

又尸Cu平面P8C,所以尸C//平面EFG；

（2）解：取2C的中點(diǎn)4,連接尸4,HE,所以EH"CBUAD,且EF=FG,

所以可得S^FH=S.FG,

因?yàn)槭?2近，AD=AP=2,所以P》=心+止,即尸

同理可得尸/_L/IC,D4_L/C,又PA^\AD=A,PA,ADu平面PAD，所以/C_L平面APD,

又"「（4。=力，PA'4Cu平面P/C,4D_L平面/PC,

所以平面/PC,HFu平面H4C,所以EH1HF,

因?yàn)?c=1,FH=-PC=y/2,

22

所以=1x1x0=且，=-^FFG=-xlxl=i,HA=-AC=\,

aix/irtj22ckAr^j2222

設(shè)A到平面EFG的距離為d,由VA_EFG=VE_AFC,

所以;S44m,"4="SAWG,解得d=*,

又因?yàn)椤盀?C的中點(diǎn)，即4,C到平面EFG的距離相等，

第19頁（共26頁）

所以C到平面EFG的距離為Y2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用面面平行證線面平行，求點(diǎn)到面的距離，屬中檔題.

19.（12分）（2022?昆明一模）《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見》提

出“構(gòu)建智慧高效的生態(tài)環(huán)境管理信息化體系”，下一步，需加快推進(jìn)5G、物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、

云計(jì)算等新信息技術(shù)在生態(tài)環(huán)境保護(hù)領(lǐng)域的建設(shè)與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)生態(tài)環(huán)境管理信息化、數(shù)字化、

智能化.某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產(chǎn)品，已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出1件預(yù)計(jì)利潤為0.4

萬元，當(dāng)月未售出的環(huán)保產(chǎn)品，每件虧損0.2萬元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需

求量在［155,205］內(nèi)取值，將月需求量區(qū)間平均分成5組，畫出頻率分布直方圖如下.

（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需求量的平均值方和方差S?.

（2）若該環(huán)保產(chǎn)品的月產(chǎn)量為185件，x（單位：件，1554cW205,xeN*）表示該產(chǎn)品一

個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)需求量，y（單位：萬元）表示該公司生產(chǎn)該環(huán)保產(chǎn)品的月利潤.

①將V表示為x的函數(shù)；

②以頻率估計(jì)概率，標(biāo)準(zhǔn)差s精確到1,根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)xe叵-s,于+s］且y不

少于68萬元的概率.

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖

【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析

【分析】（1）用每組的中點(diǎn)值乘以該組的頻率再相加可得亍，用每組的中點(diǎn)值減去的平方和

再除以組數(shù)可得,/；

第20頁（共26頁）

(2)①分類討論需求量x與產(chǎn)量的大小關(guān)系，可求出、關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)于、s、

y不少于68萬元，求出x的范圍，再根據(jù)直方圖可求出概率.

【解答】解：(1)

x=160x0.005x10+170x0.020x10+180x0.040x10+190x0.030x10+200x0.005x10=181,

§=(160-⑻『X0.005+(170-181)2x0.2+(180-⑻了x0.4+(190-181)2x0.3+(200-181/x().05=89

(2)①當(dāng)185WX(205,xeN?時(shí)，y=0.4x185=74萬元；

當(dāng)155令<185,xeN*時(shí)，y=0.4x-(185-x)x0.2=0.6x-37萬元，

[0.6x-37,155^x<185,xeN'

助r■以ry=〈.，

'[74,185WxW205,xeN

②$=病=9,X-5=181-9=172,x+5=181+9=190,所以xe[172,190],

當(dāng)185W》W205時(shí)，y=74>68萬元，

當(dāng)155令<185時(shí),由y=0.6x—37》68得175令<185,

故當(dāng)y268萬元時(shí)，xe[175,205],

綜上所述：xe[175,190],

所以尸(175<x(90)=0.04xl0+0.03x5=0.55.

所以估計(jì)XG[F-S,三+s]且y不少于68萬元的概率為0.55.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.

20.(12分)(2022?昆明一模)已知函數(shù)/(x)=包芋，xe(0,^-).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若方程/(X)="?有兩個(gè)實(shí)數(shù)解項(xiàng)，X2,證明：X,+X2>y.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【專題】函數(shù)思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令其導(dǎo)函數(shù)大于0,即可找出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2),由⑴可得“X)在(0,()單調(diào)遞增，在(卜)單調(diào)遞減，不妨設(shè)0<%<?<々，從

而將原不等式轉(zhuǎn)化為/(X,)</(y-X,),再構(gòu)造函數(shù)證明即可.

第21頁(共26頁)

【解答】解：(I)/1X)=—包竺，令/口)>0,即cosx>sinx,

ex

又因?yàn)楣ぁ?0,乃)，由三角函數(shù)圖像解得：0<x<?，

故/(x)在(03)單調(diào)遞增，在(工/)單調(diào)遞減；

44

(2)證明：由(1)有：/⑴在(0二)單調(diào)遞增，在(乙,萬)單調(diào)遞減，

44

故/(%)=加有兩個(gè)實(shí)數(shù)根修，x29不妨設(shè)0<玉<?<工2，

要證芭+/>|-即證明：x2>1-x,,

c冗冗冗

0<x,<一，「.---X.>一,

'42'4

又因?yàn)?⑴在0+00)單調(diào)遞減，故要證/吟-王，即證明/(4)〈嗎-王)，

又因?yàn)?(王)=/(冗2)，故僅需證明：/(演)</('一王)，

構(gòu)造函數(shù)力(X)=/(X)-/(]—%)，XG(0,^),

cos(---x)—sin(---x)11

[,/、cosX-sinX22,?、/11

h(x)=----------+--------------------=(cosx-smx)(———--)x,

ex-xex-x

02

當(dāng)xw(0,X)時(shí),cosx>sinx,1--L>o,

4

e-

故l(x)>0在xc(0,()恒成立，又因?yàn)閱?=0,

故/?(X)<O在X￡(O,2)恒成立，故/(X)-/(y-X)<0,

即/3)</(、一士)，得證?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性從而證明不等式，屬于中檔題.

22

Xv

21.(12分)(2022?昆明一模)已知橢圓C：/+3=im>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為石、F2,

左頂點(diǎn)為4-2,0),離心率為學(xué).

(1)求C的方程;

(2)若直線/:y=A(x+l)(%wO)與C交于點(diǎn)。，￡,線段4。，4E的中點(diǎn)分別為產(chǎn)，。.設(shè)

過點(diǎn)片且垂直于x軸的直線為I',若直線。尸與直線/'交于點(diǎn)S,直線。。與直線I'交于點(diǎn)7,

第22頁(共26頁)

求郎月7.

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯推理：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】（1）由題意得到關(guān)于a,b,C的方程組，解得a,b,c即可；

（2）設(shè)。（西，乂），￡（（X2,%），聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出

直線O尸即可得到S的坐標(biāo)，同理得到尸的坐標(biāo)，從而表示出求百?百，根據(jù)數(shù)量積的坐

標(biāo)運(yùn)算即可得出所求的答案.

【解答】解：（1）由題意可知：

a=2

Cy/2

<e=-=—，

a2

c2=a2-b2

a=2

解得，b=>/2,

c=V2

所以橢圓的方程為：工+匕=1;

42

（2）設(shè)￡>（苞,必）,￡（（X2,y2）,

則尸（"，"。（三，爭，

y=k（x+1）

由f2消去》整理得：

—+—=1

42

(2k1+l)x2+4k2x+2女2-4二0,

-4k22k-

所以石+々=,

2p7T再々2F+1

由于直線。尸：歹=—^—x,r：x=-五,

x.-2

所以S（-近，也與，

%1—2

同理可得7（-0,3左）,

x,-2

第23頁（共26頁）

又因?yàn)轼B(、歷，0),

所以所=(-2&,及均，F(xiàn)J=(-2V2,4也),

xl~2%2—2

所以石.郎=8+也^^k

%—2x?-2

2

o,2弘力o,2Z:(x,+l)(