12,22第二章推理與證明教材分析與教學(xué)建議

1-2，2-2一、地位與作用及日常生活中的作用，從而架起數(shù)學(xué)與生活的橋梁，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S和科學(xué)精神。二、內(nèi)容說明1-22-2中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位和作用．三、課標(biāo)要求合情推理與演繹推理理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．能運用它們進行一些簡單推理．通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．直接證明與間接證明合法的思考過程、特點．特點．?dāng)?shù)學(xué)歸納法（文科不做要求）四、本章重點與難點1．1）合情推理、演繹推理（2）直接證明與間接證明。2．1）演繹推理和反證法（）對數(shù)學(xué)歸納法的理解（只限理科五、教學(xué)內(nèi)容及課時安排理科課時安排（合情推理與演繹推理3課時，直接證明與間接證明2課時，數(shù)學(xué)歸納法2課時，小結(jié)8）節(jié)次2．1內(nèi)容合情推理和演繹推理課時32．1．1合情推理12．1．2演繹推理22．2直接證明與間接證明22．2．1分析法與綜合法12．2．2反證法12．3數(shù)學(xué)歸納法2本章小結(jié)1文課時安排（合情推理與演繹推理44210）節(jié)次節(jié)次2．12．1．1內(nèi)容合情推理和演繹推理合情推理課時422．1．2演繹推理22．2直接證明與間接證明42．2．1分析法與綜合法22．2．2反證法2本章小結(jié)2六、教材分析教學(xué)建議能有意識地使用它們，以培養(yǎng)言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣．（一）合情推理與演繹推理教學(xué)重點與難點用“三段論”進行一些簡單推理．教學(xué)難點：用歸納和類比進行推理，做出猜想；用“三段論”證明問題．教材分析合情推理和演繹推理是數(shù)學(xué)推理的兩種基本推理形式．“合情推理”是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的亮點之一．從解放后首次制定年）中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大1978年7月《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）中，強調(diào)在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論的作用，而且在教材中專門設(shè)置了合情推理的內(nèi)容．歸納推理和類比推理是合情推理的兩種常用的思維方法．歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，可靠，只能算是一種猜想．理是由特殊到特殊的推理，因此結(jié)論不一定可靠，只能算是一種猜想．合情推理具有兩大功能：一是探索一般結(jié)論，二是發(fā)現(xiàn)解題思路．演繹推理是由一般到特殊的推理（）大前提 已知的一般原理；小前提 所研究的特殊情況；結(jié)論 根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．

M是P，S是M∴S是P三段論可用右邊的格式來表示．用集合觀點就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)是MS中所有元素都具有性質(zhì)錯誤的結(jié)論．合情推理與演繹推理的聯(lián)系與差異：①從推理形式和推理所得結(jié)論的正確性上講，二者有差異．合情推理是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、（即演繹推理）是可靠的、無可置疑的和終決的．合情推理是冒險的、有爭議的和暫時的②從二者在認(rèn)識事物的過程中所發(fā)揮的作用的角度上講，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的．合情推理理可以為演繹推理提供方向和思路，演繹推理可以驗證合情推理的結(jié)論的正確性．（公式等）的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對事物的觀察、比較、歸納、類比等，即通過合情推理提出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯誤．對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，既要學(xué)會證明，也要學(xué)會猜想．教學(xué)建議要注意結(jié)合實際例子，使學(xué)生了解合情推理的含義；要通過學(xué)生學(xué)過的簡單的數(shù)學(xué)例子，讓學(xué)生掌握歸納推理和類比推理的基本方法；要通過數(shù)學(xué)史事，使學(xué)生認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；要通過學(xué)生學(xué)過的簡單的數(shù)學(xué)例子，讓學(xué)生掌握演繹推理的基本?！叭握摗蓖评砟Ｊ剑灰ㄟ^反例，讓學(xué)生理解演繹推理的前提與結(jié)論之間的蘊涵關(guān)系；又學(xué)會證明．（二）直接證明與間接證明教學(xué)重點與難點證明的一種基本方法——反證法；了解分析法、綜合法和反證法的思考過程、特點．教材分析出結(jié)論的一種證明方法．分析法的思維特征是：執(zhí)果索因．即從結(jié)論入手進行反推，看看需要知道什么，最后推出一個已證的命題（定義、公理、定理、公式等）這種方法進行思考的，有時也將綜合法和分析法結(jié)合起來使用．以考慮使用反證法．反證法證題的步驟可歸結(jié)為：反設(shè)—歸謬—結(jié)論．教學(xué)建議先講綜合法，后講分析法．綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決用，但學(xué)生在理解上顯然不如綜合法那樣容易．要突破分析法這一教學(xué)難點．分析法的主要困難有兩點：一是學(xué)生對這種證明方法的思考過程讓學(xué)生感受分析法證明的可靠性，以及“要證……只需證……”這種表達的必要性；二是將分析法與綜合法對比著進行講解］幫助學(xué)生加深對分析法思考過程及特點的理解．通過具體的數(shù)學(xué)實例，幫助學(xué)生形成既分析又綜合的思維方式，學(xué)會將分析法與綜合法結(jié)合起析法與綜合法結(jié)合起來，證明某些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題．結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，幫助學(xué)生了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的解．一是要提煉用反證法證題的基本模式．反證法證題的步驟可歸結(jié)為：反設(shè)—歸謬—結(jié)論．其中，正確（歸謬因此，在反證法教學(xué)前，宜先復(fù)習(xí)常用邏輯用語中的相關(guān)知識．二是總結(jié)反證法的適用范圍．反證法主要適用于以下兩種情形：①要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；種情形．（三）數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)重點與難點證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題．）對數(shù)學(xué)歸納法基本原理的理解（）系．教材分析的重點是用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，教科書安排了兩個例題，通過證明數(shù)學(xué)命題鞏固對數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種特殊的直接證明的方法．在證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）n形．用數(shù)學(xué)歸納法證題分為兩大步驟：第一步（歸納奠基：證明當(dāng)nn0

時命題成立，其中n0

是命題成立的初始值，不一定是自然數(shù)1．這一步是論證的基本保證，是遞推的基礎(chǔ)，必須保證其真實性．第二步（歸納遞推：假設(shè)nk(kn0

kN時命題成立，證明nk1時命題也成立．這一步是命題具有后續(xù)傳遞性的保證，是遞推的依據(jù)．由kk1時必須使用歸納假設(shè)，否則不算數(shù)學(xué)歸納法．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0

開始的所有正整數(shù)n都成立．法．教學(xué)建議通過遞推數(shù)列求通項問題，引發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的欲望，說明探索新的證明方法的必要性．分析“多米諾骨牌”全部倒下的原理—遞推思想．給出數(shù)學(xué)歸納法的基本原理．和“歸納遞推”兩個步驟缺一不可．向?qū)W生指明數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍．教學(xué)時要使學(xué)生明確，數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明某些與n（n取無限多個值）nknk1果問題中存在可利用的遞推關(guān)系，則數(shù)學(xué)歸納法有用武之地，否則使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難．讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并進一步熟悉數(shù)學(xué)歸納法．在教科書例2的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個問題：一是歸納猜想；二是歸納遞推，要注意從nk時的情形到nk1時的情形是怎樣過渡的．七、例題分析例1（歸納推理從1223432，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規(guī)律為 用數(shù)學(xué)表達式表示)解：n(n1)(n2) 2)(2n1)2例2（類比推理）1所c2

a2

b2設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖2所示的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN如果用S,S,S表示三個側(cè)面面積表示1 2 3 4截面面積，那么你類比得到的結(jié)論．圖1 圖2S

S2S

S24 1 2 3例3（假言推理）設(shè)a為實數(shù)，求證方程x

2axa20有相異的兩實根。x22axa20的判別式0，則這個方程有實根，而判別式4a22(2a1)270x22axa20有相異的兩實根。例4（三段論推理）已知空間四邊形ABCD中，點、F分別為AADE∥平面BC。AEAEFDC證明：連結(jié)BD。因為點E、F分別為AB、AD的中點所以EF∥BDEFBCD，BDBCDEF∥平面BCD例5（關(guān)系推理）已知abc, 求證：1 1 4 .bbcabab bc

abc

ab bc acacacabbcabbc2bcab

22 4ab bc ab bc ab bca

a

1 1 4 .ab bc ab bc ac6（完全歸納推理）f(x)x8x5x2x1的值恒為正值。 證明：當(dāng)x0時，f(x)的每一項均為正數(shù)，故函數(shù)f(x 當(dāng)0x1時，f(x)x8x5x2x1=x8x21x3 x0； x1f(x)x8x5x2x1x5x31xx1

10。綜上所述，函數(shù)f(x)x8x5x2x1的值恒為正值例7（綜合法）求證：a2b23ab 3(ab)?！遖2b22ab,a232 ,b232 ;將此三式相加得2(a2b23)2ab2 2 ,∴a2b23ab 3(ab).bbmb例8（分析法）已知ab,m0，求證： 。bm證明：ab0,m0，為了證明

am ab，b只需證明 mm只需證明 ambm只需證明 ab

am a因為ab成立，故原不等式成立。例9（反證法）若a,b,c均為實數(shù)，且 , , ,求證：，c中至少有一個大于0。

證明：假設(shè)a,b,c都小于0，則abcx2

2y y22z z22x x2

2y

3z

630與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立，所以a，b，c中至少有一個大于0。:1

1

... 1

1 1 1

...

1.由nk到2 3 4 2n1 2n n1 n2 2nnk+1時,兩邊應(yīng)同時加( D)1 1(A)2k1(B)-2k

(C)

12(k

(D)

1 11 2k - k21 例11．欲用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于足夠大的自然數(shù)n,總有2n

n3n,則（C）0(A) n=1 (B) n是大于1而小于10的某個整數(shù)(C) n 10 (D) n=2。0 0 0 0。3．正項數(shù)列n

a1

2，且滿足a

n1

n an1 求a2

,a,3

；a

的一個通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。n1 2 2 2 3 1 2解:(1)a2

a 1 ;a2 1 2 2

a ;a3 2 3

a 4 3 2 4(2)由此猜想,an

,:n①當(dāng)n1a1

1,公式成立2②假設(shè)當(dāng)nk時公式成立,即akk k 2 2

,則當(dāng)nk+1kak

ak1

= k1 k k1由①、②可知，對一切nN

*，公式都成立。八、練習(xí)題一、選擇題下列表述正確的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤“若pq，為，為真，是演繹推理中的（ ）A．假言推理 B．三段論推理 C．關(guān)系推理D．完全歸納推3.下面使用類比推理正確的是（ ）A.“若a3b3,則ab”類推出“若a0b0ab”“若(ab)cacbc”類推出“(ab)cacbc”“若(ab)cacbc”類推出“a

ab

（0”（abn

anbn”（a

c c canbn”4．觀察下列:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,中的值依次是( )A．42,，41，123 B．13，39，123 C．24，23，123 已知命題p:xR，sinx≤1，則（ ）Ａ．p:xR，sinx≥1Ｃ．p:xR，sinx1

Ｂ．p:xR，sinx≥1Ｄ．p:xR，sinx1函數(shù)yax21的圖像與直線yx相切，則a=( )18

14

12

1有一段演繹推理是這樣的b平面直線a平面直線b∥平面則直線b∥直線a的結(jié)論顯然是錯誤的這是因為（ ）A.大前提錯誤 小前提錯誤 推理形式錯誤 非以上錯誤有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)結(jié)論顯然是錯誤的，是因為( ) C大前提錯誤 小前提錯誤 推理形式錯誤 非以上錯誤用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設(shè)正確的是（ ）(A)假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度 (B)假設(shè)三內(nèi)角都大于60度(C)假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度 (D)假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度f0

(x)sinx,f1

(x)

'(x)，f0

(x)f'(x),1

,fn1

(x，n∈Nn

2007

(x)( )A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx拋物線x24y上一點A的縱坐標(biāo)為4，則點A與拋物線焦點的距離( )1A.2 B.3 C.4 D.5112.設(shè)f(x)x1||x|,則f[f()]( )212

10 C.2

D.1 已知向量a(x,b(2,x),且ab,則由x的值構(gòu)成的集合( )A.{2,3} B.{-1,6} C.{2} D.{6}有一段演繹推理是這樣的b平面，直線a平面，直線b∥平面，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為( )A.大前提錯誤 小前提錯誤 推理形式錯誤 非以上錯誤f(xg(x)都是定義在實數(shù)集Rxf[g(x)]0f[g(x．是(

1 1 1 1x

x

x

x C．x

D．x2 5 5 5 5若數(shù)列n

8項的值各異，且

n8

a對任意的nNn

都成立，則下列數(shù)列中，可取遍a的n前8項值的數(shù)列是（ ）

2k

B．

3k

C．

4k

D．

6k117．已知fx12f(),f(11（xN，猜想f(的表達式( )f(x)2A.f(x) 4 B.f2

C.f(x) 1

D.f(x) 22x2 2f(x)

x1

2x118.已知f(x1) ,f(1)1（xN，猜想f(的表達式( )f(x)24 2 1 2A.f(x) B.f(x) C.f(x) D.f(x)2x2 x1 x1 2x1{a}

S SS S T a a a19.設(shè)數(shù)列

的前n項和為n

，令T 1 2n n n

n，稱

為數(shù)列，n 1

，……，2

的“理想數(shù)”，n已知數(shù)列a1 2

，……，a500

的”2a1 2

，……，a500

的理想”（ ）A．2008 B．2004 C．2002 D．2000已知aa1

a 0，則使得(1ax)23 i

1(i1,2,3)都成立的x取值范圍是（）1A.（0， ）a1

2B.（0， ）a1

1C.（0， ）a3

2D.（0， ）a3下面的四個不等式：①a

b2

c2

abbcca；②a

；③a

2 ；④ a2b2c2

acbd

.其中不成立的有( )

4 b a個 B.2個 C.3個 D.4個數(shù)列中表示前n項和，且S成等差數(shù)列，通過計算S，S，猜想當(dāng)nn 1 n n n+1 1 1 2 3≥1時，S=（ ）n2n1A． 2n1

2n1B．2n1

n(nC．2n

1D．1－ 2n1二、填空題一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個依此規(guī)律繼續(xù)下得到一系列的那么在前120個圈中的●的個數(shù)。類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABCAB、ACAB

AC

BC2。若三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABCACDADB面積與底面積之間滿足的關(guān)系.25.從1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推廣到第n個等式.26.從1223432，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規(guī)律為 (用數(shù)學(xué)表達式表示)27.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān).設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n3)f(n)表示這ｎ條直線交點的個數(shù)，則f(4)；當(dāng)ｎ＞４時，f(n)（用含n的數(shù)學(xué)達式表示1所標(biāo)邊長，由勾c2

a2

b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖2所示的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN如果用S,S,S表示三個側(cè)面面積，S 表示截面面積那1 2 3 4么你類比得到的結(jié)論．12知數(shù){a滿足S＋a則a,a,a的值分別推測

的表達式.n n n 1 2 3 n3 5 3由數(shù)列的前四項：，1，，，……，歸納出通項公式a=

(n∈N*)．2 8 8 n

aa}，(n∈N*)是等差數(shù)則有數(shù)列b = 1 2n n

ann

(n∈N*)也是等差數(shù)列，類比上述(n∈N*)也是等比數(shù)列．

}是等比數(shù)列,且Cn

＞0(n∈N* )，則有d =nPrivateKeyCryptosystem原理如下圖：解密密鑰密碼加密密鑰密碼 發(fā)送解密密鑰密碼明文 密文 密文 明文現(xiàn)在加密密鑰為ylog (x2)，如上所示，明文6”通過加密后得到密文3，再發(fā)送，接受方通a過解密密鑰解密得到明文6．問：若接受方接到密文為，則解密后得明文 ．34．f(n)1111(nN

f(2)

3,f(4)2,f

5,f(16)3,f(32)

7，推測2 3 n

2 2 2當(dāng)n2時，．三、解答題35.求證：(1)a2b23ab 3(ab); (2)

6725+ >2 +6725536.證明：2, 3,5

不能為同一等差數(shù)列的三項.37．已知abc, 求證：1 1 4 .ab bc ac觀察以下各等式：3sin230cos260sin30cos60 43sin220cos250sin20cos50 343sin215cos245sin15cos45 34分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明。在△ABCsinAsinBsinC，判斷△ABCcosBcosC已知：空間四邊形ABCD分別為的中點，判斷直線EF與平面ABD結(jié)論.f(x)xxf(x△ABCabc的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：角B900. 1 1在各項為正的數(shù)列an

中，數(shù)列的前n項和S 滿足S n n

2anan（1）求aa1 2

,a（2）由1）猜想數(shù)列a3

（）求Sn44.18、設(shè)a，b，x，y∈R，且若a,b,c0。

, , ,求證：a，b，c中至少有一個大通過計算可得下列等式：22122113222221 4232231 ┅┅(n1)2n22n1將以上各式分別相加得：(n1)212223nn,即：123n

n(n2類比上述求法：請你求出12

22

32

n2的值.直角三角形的兩條直角邊的和為a，求斜邊的高的最大值。

xx

xx f(x)(xR0，x

Rf

fx

2f 1

2f 1

2恒1 2 1

2 2 2 成立.求證：f(x)是偶函數(shù).第二章推理與證明參考答案一、選擇題1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D 11.D12.D 13.C14.A 15.B 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.A 22.B二、填空題23.14 24. S2BCD

S2ABC

S2ACD

S225.14916...n1n2()n1123...n26.n(n1)(n2) 2)(2n1)21

27.f(2.5)>f(1)>f(3.5)3 7 15 128.5；（n+1）(n-2) 29.S2S2S2S2

30.a＝ ,a＝ ,a＝ ,a＝2－ 2 4 1 2

1 2 2 4 3 8 n 2n31.

n2 32.ncnccc

n233.14 34.f(2n)2三、解答題35.1）∵a2b22ab,a232 ,b232 ;將此三式相加得2(a2b23)2ab2 2 ,∴a2b23ab 3(ab).7254240（2）要證原不等式成立，72542406只需證（ +6

）2>（2

+ ）2，即證2

2 ?！呱鲜斤@然成立,23∴原不等式成.36．證明：假設(shè) 、 23

5為同一等差數(shù)列的三項，則存在整數(shù)m,n滿足53252= +md ① = +nd ②3252352①n-②m得： n- m=352

(n-m) 兩邊平方得：3n2+5m2-2

mn=2(n-m)215左邊為無理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)無理數(shù)15235所以，假設(shè)不正確。即 、 、 不能為同一等差數(shù)列的三.23537（綜合法）abcacacabbcabbc2bcab

22 4ab bc ab bc ab bcbcababc