我眼中的數(shù)學

我眼中的數(shù)學第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學的發(fā)展數(shù)學，起源于人類早期的生產(chǎn)活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數(shù)學的演進大約可以看成是抽象化的持續(xù)發(fā)展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數(shù)學，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。除了認知到如何去數(shù)實際物質(zhì)的數(shù)量，史前的人類亦了解如何去數(shù)抽象物質(zhì)的數(shù)量，如時間－日、季節(jié)和年。算術(shù)也自然而然地產(chǎn)生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。

第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學的發(fā)展從歷史時代的一開始，數(shù)學內(nèi)的主要原理是為了做稅務和貿(mào)易等相關(guān)多計算，為了了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學對數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及時間方面的研究。第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學的發(fā)展到了16世紀，算術(shù)、初等代數(shù)、以及三角學等初等數(shù)學已大體完備。17世紀變量概念的產(chǎn)生使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換。在研究經(jīng)典力學的過程中，微積分的方法被發(fā)明。隨著自然科學和技術(shù)的進一步發(fā)展，為研究數(shù)學基礎而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始慢慢發(fā)展。

數(shù)學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，并使兩者都得到好處。數(shù)學在歷史上有著許多的發(fā)現(xiàn)，并且直至今日都還不斷地發(fā)現(xiàn)中。依據(jù)MikhailB.Sevryuk于美國數(shù)學會通報2006年1月的期刊中所說，“存在于數(shù)學評論數(shù)據(jù)庫中論文和書籍的數(shù)量自1940年現(xiàn)已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部分為新的數(shù)學定理及其證明?！钡谒捻?，共三十九頁，編輯于2023年，星期三歐幾里得歐幾里得，古希臘數(shù)學家，被稱為“幾何之父”。他活躍于托勒密一世（公元前323年－前283年）時期的亞歷山大里亞，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學的基礎，提出五大公設，發(fā)展歐幾里得幾何，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學及數(shù)論的作品，是幾何學的奠基人。阿基米德阿基米德（Archimedes

公元前287年—公元前212年），古希臘哲學家、數(shù)學家、物理學家。出生于西西里島的敘拉古。阿基米德到過亞歷山大里亞，據(jù)說他住在亞歷山大里亞時期發(fā)明了阿基米德式螺旋抽水機。后來阿基米德成為兼數(shù)學家與力學家的偉大學者，并且享有“力學之父”的美稱。阿基米德流傳于世的數(shù)學著作有10余種，多為希臘文手稿。阿基米德曾說過：給我一個支點，我可以翹起地球。這句話告訴我們：要有勇氣去尋找這個支點，要用于尋找真理。第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三卡爾·弗里德里克·高斯

數(shù)學天才──高斯（C.F.Gauss）高斯是德國數(shù)學家、物理學家和天文學家。高斯一生下來，就對一切現(xiàn)象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出。7歲那年，高斯第一次上學了。在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數(shù)加起來的算術(shù)題，布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899。說完高斯也算完并把寫有答案的小石板交了上去，當時只有他寫的答案是正確的。數(shù)學史家們傾向于認為，高斯當時已掌握了等差數(shù)列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發(fā)現(xiàn)這一數(shù)學方法實屬很不平常。高斯的學術(shù)地位，歷來被人們推崇得很高。他有“數(shù)學王子”、“數(shù)學家之王”的美稱。第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三艾薩克·牛頓牛頓（IsaacNewton

）是英國較為著名的物理學家和數(shù)學學家。

艾薩克·牛頓在學校里，牛頓是個古怪的孩子，就喜歡自己設計、自己動手，做風箏、日晷、滴漏之類器物。他對周圍的一切充滿好奇，但并不顯得特別聰明。1665～1666年嚴重的鼠疫席卷了倫敦，劍橋離倫敦不遠，為恐波及，學校因此而停課，牛頓于1665年6月離校返鄉(xiāng)。一天在樹下閑坐，看到一個蘋果落在地上，便開始捉摸，這種將蘋果往下拉的力會不會也在控制著月球。由此牛頓推導出物體的下落速度改變率與重力的大小成正比，而重力大小與距地心距離的平方成反比。后來牛頓的棱鏡實驗也使他一舉成名。牛頓最卓越的數(shù)學成就是創(chuàng)立了微積分，此外對解析幾何與綜合幾何都有比較顯著的貢獻。

第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三萊布尼茨戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨（GottfriedWilhelmvonLeibniz，1646年7月1日～1716年11月14日）德國最重要的自然科學家、數(shù)學家、物理學家、歷史學家和哲學家，一位舉世罕見的科學天才，和牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日）同牛頓為微積分的創(chuàng)建人。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不朽的貢獻。萊昂哈德·歐拉萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler

，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士數(shù)學家和物理學家。他被一些數(shù)學史學者稱為歷史上最偉大的兩位數(shù)學家之一（另一位是卡爾·弗里德里克·高斯）。歐拉是第一個使用“函數(shù)”一詞來描述包含各種參數(shù)的表達式的人，例如：y=F(x)(函數(shù)的定義由萊布尼茲在1694年給出)。他是把微積分應用于物理學的先驅(qū)者之一。第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學發(fā)展史

中國古代數(shù)學的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準、繩等作圖與測量工具。據(jù)《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬；與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學發(fā)展史公元前一世紀的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子?！抖Y記·內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數(shù)目和記數(shù)方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數(shù)的訓練，作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開始成為專門的課程。春秋戰(zhàn)國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數(shù)法已使用十進位值制，這種記數(shù)法對世界數(shù)學的發(fā)展是有劃時代意義的。這個時期的測量數(shù)學在生產(chǎn)上有了廣泛應用，在數(shù)學上亦有相應的提高。戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數(shù)學的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學有關(guān)。名家認為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題。而墨家則認為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學體系的形成秦漢是封建社會的上升時期，經(jīng)濟和文化均得到迅速發(fā)展。中國古代數(shù)學體系正是形成于這個時期，它的主要標志是算術(shù)已成為一個專門的學科，以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學著作的出現(xiàn)?！毒耪滤阈g(shù)》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學成就來說，堪稱是世界數(shù)學名著。例如分數(shù)四則運算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數(shù)運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾數(shù)的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數(shù)加減法則在世界數(shù)學發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學完全不同的獨立體系?！毒耪滤阈g(shù)》有幾個顯著的特點：采用按類分章的數(shù)學問題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應用，缺乏理論闡述等。

第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學體系的形成這些特點是同當時社會條件與學術(shù)思想密切相關(guān)的。秦漢時期，一切科學技術(shù)都要為當時確立和鞏固封建制度，以及發(fā)展社會生產(chǎn)服務，強調(diào)數(shù)學的應用性。最后成書于東漢初年的《九章算術(shù)》，排除了戰(zhàn)國時期在百家爭鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當時生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學問題及其解法，這與當時社會的發(fā)展情況是完全一致的。《九章算術(shù)》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當時的數(shù)學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度以及阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數(shù)學的全新發(fā)展第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的發(fā)展魏、晉時期出現(xiàn)的玄學，不為漢儒經(jīng)學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經(jīng)》，漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學體系奠定了理論基礎。趙爽是中國古代對數(shù)學定理和公式進行證明與推導的最早的數(shù)學家之一。他在《周髀算經(jīng)》書中補充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學文獻。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，在中國古代數(shù)學發(fā)展中占有重要地位。第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的發(fā)展劉徽約與趙爽同時，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想，主張對一些數(shù)學名詞特別是重要的數(shù)學概念給以嚴格的定義，認為對數(shù)學知識必須進行“析理”，才能使數(shù)學著作簡明嚴密，利于讀者。他的《九章算術(shù)》注不僅是對《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為157/50和3927/1250。

劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。

東晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟文化南移以后，南方數(shù)學發(fā)展的具有代表性的工作，他們在劉徽注《九章算術(shù)》的基礎上，把傳統(tǒng)數(shù)學大大向前推進了一步。他們的數(shù)學工作主要有：計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖暅原理；提出二次與三次方程的解法等。第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的發(fā)展

據(jù)推測，祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎上，算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個結(jié)果。他又用新的方法得到圓周率兩個分數(shù)值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計算方面，比西方領(lǐng)先約一千年之久；祖沖之之子祖暅總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的發(fā)展

隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進了數(shù)學的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數(shù)學的情況。王孝通在不用數(shù)學符號的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為后來天元術(shù)的建立打下基礎。此外，對傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國子監(jiān)設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂注釋《算經(jīng)十書》，作為算學館學生用的課本，明算科考試亦以這些算書為準。李淳風等編纂的《算經(jīng)十書》，對保存數(shù)學經(jīng)典著作、為數(shù)學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由于歷法的需要，天算學家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國古代數(shù)學的內(nèi)容。第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的發(fā)展算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點，但也存在布籌占用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術(shù)上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五升十進與位值制的優(yōu)點，又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點，優(yōu)越性十分明顯。但由于當時乘除算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應用。唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用于籌算，也適用于珠算。第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的繁榮60年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學技術(shù)突飛猛進，火、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，1213年鮑搟之又進行翻刻。這些都為數(shù)學發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。從11～14世紀約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學家和數(shù)學著作，如賈憲的《黃帝九章算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領(lǐng)域都達到古代數(shù)學的高峰，其中一些成就也是當時世界數(shù)學的高峰。第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的繁榮從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現(xiàn)這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數(shù)學發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負的情形)解法的是劉益。《楊輝算法》中“田畝比類乘除捷法”卷，介紹了原書中22個二次方程和1個四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的繁榮秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數(shù)書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，秦九韶把常數(shù)項規(guī)定為負數(shù)，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數(shù)時，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母，常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù)部分，這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第二位數(shù)時，秦九韶還提出以一次項系數(shù)除常數(shù)項為根的第二位數(shù)的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問題。秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法(他們稱為招差術(shù))，朱世杰得到一個四次函數(shù)的內(nèi)插公式。第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的繁榮用天元(相當于x)作為未知數(shù)符號，立出高次方程，古代稱為天元術(shù)，這是中國數(shù)學史上首次引入符號，并用符號運算來解決建立高次方程的問題?，F(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測圓海鏡》。從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學家的又一項杰出的創(chuàng)造。留傳至今，并對這一杰出創(chuàng)造進行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎上發(fā)展起來的，他把常數(shù)放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個一元高次方程式，然后應用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復這一步驟便可消去其他未知數(shù)，最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展，比西方同類方法早400多年。第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的繁榮勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展，朱世杰在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術(shù)》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內(nèi)容。已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個解球面直角三角形的問題，傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會圓術(shù)和天元術(shù)解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結(jié)果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的，從數(shù)學意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三中國古代數(shù)學的繁榮中國古代計算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術(shù)書目，其數(shù)量遠比唐代為多，改革的主要內(nèi)容仍是乘除法。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應該說它最后完成于元代。宋元數(shù)學的繁榮，是社會經(jīng)濟發(fā)展和科學技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果，是傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展的必然結(jié)果。此外，數(shù)學家們的科學思想與數(shù)學思想也是十分重要的。宋元數(shù)學家都在不同程度上反對理學家的象數(shù)神秘主義。秦九韶雖曾主張數(shù)學與道學同出一源，但他后來認識到，“通神明”的數(shù)學是不存在的，只有“經(jīng)世務類萬物”的數(shù)學；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的“用假象真，以虛問實”則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對縱橫圖結(jié)構(gòu)進行研究，揭示出洛書的本質(zhì)，有力地批判了象數(shù)神秘主義。所有這些，無疑是促進數(shù)學發(fā)展的重要因素。第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三我眼中的數(shù)學首先，我覺得興趣是最好的老師。當你覺得數(shù)學很有趣之后你才會主動去接觸它，而非被動接受，我覺得這是學好數(shù)學的前提，但同樣適合其它學科。這讓我想到了一句域外箴言

“如果你一心要做成某件事，你總會找到辦法。如果你非常不愿做某事，你總會找到借口

”！所以不要為逃避數(shù)學找理由，因為這一切都不是理由。這時有人很自然的問到怎樣才能培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣呢？我覺得答案有三：第一，多做適合自己能力的練習題，增強學習數(shù)學的自信心。如果你認為自己有能力學好數(shù)學，這說明你已經(jīng)成功了一半了。所以在你還沒有確認自己是一個數(shù)學白癡之前沒有人能看不起你。第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三第二，多和同學討論數(shù)學問題，這是一個把自己的觀點傳播給別人和吸收觀點的好方法，你會發(fā)現(xiàn)這樣你回學到很多新知識。把它裝到自己腦里，即豐富了自己又增強了和同學的交流，一舉兩得，何樂而不為之！第三，多和老師老師交流，老師的經(jīng)驗一般情況下都比學生豐富，他可以給我們指導方法和糾正錯誤。如果你對某些問題有自己的觀點不妨給老師交流，如果老師覺得你的觀點有道理就會對你大加贊揚一番，這會讓老師對你刮目相看，即增強了自信心又提高了興趣，也達到了和老師交流的目的。第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三其次要把書吃透，書本知識都沒弄懂就算你做再多的題也沒用，這是我的個人看法。你必須知道每一個數(shù)學公式是怎樣來的，拿來有什么用，怎樣用等。只有把一個公式的精髓懂了才能真正懂怎樣用，以前我給一個高中生補課，他的成績不是很好，但是他喜歡問學每個公式的用處，我覺得這很好?，F(xiàn)在有很多學生都并非真正了解一個公式的來龍去脈，只知道拿公式去套題，但只要稍微遇到一些綜合性強一點的題就不會做了。第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三再次就是練題。數(shù)學只看書不練題是也是不行的，否則考試你遇到的都是一些陌生題，感覺很簡單，但是就是不會做，練題好處有三：第一是可以加快做題速度。當你練題到一定程度后，你的做題速度回明顯加快，一看到問題你腦子里就會迅速閃出怎樣做又快又準。第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三第二，可以更加具體的認識書本知識。書上的概念都是抽象的，只有通過練題才能深化對書本的認識。第三可以加深對數(shù)學的興趣。當你完成了一道你自認為比較難的題后，你的數(shù)學榮譽就會迅速提高，然后你就會加入新的挑戰(zhàn)中，興趣和進步就會悄然溜進你的數(shù)學生活。

第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三最后就是數(shù)學思維，這是和數(shù)學興趣同等重要的東西。不過要我具體定義什么叫數(shù)學思維，我也說不大上，感覺就是拿到一道題你就知道大概該怎樣做就形成數(shù)學思維了，數(shù)學思維不是一朝一夕就能形成的，只有通過大量的練習，看書，總結(jié)后慢慢積累起來的。練題上面已經(jīng)說了，這兒就不再多說了?，F(xiàn)在我主要想說說數(shù)學思考，我一直堅持“山不在高有仙則靈，題不再多進步就行”的觀點。比如一個高中生只知道成天蒙著頭練題而不去思考總結(jié)，即使你練再多也不會有很大的進步，高考也注定要失敗。第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三我與數(shù)學

每個學生都花了很多年學習數(shù)學，但是有多少人真正去思考過學習它的意義呢？我用了10年來學習數(shù)學，10年后才真正開始認識它對于我的意義。我是幸運的,數(shù)學對于我而言，就像親人，不離不棄，我與數(shù)學之間有故事，我討厭它，喜愛它，或許它也討厭過我，喜歡過我。第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學，對于我而言，10年前。它僅是我爭取進入重點學校，考入尖子班和應對高考的“工具”。10年來，我不能說自己是真心喜歡它的。但是，我一直以為我的父親和母親是喜愛它的，甚至于超過我。我就這樣不情愿地考進奧數(shù)班，剝奪了我童年不知多少個美好的寒暑假以及雙休日。而在高考的時候，數(shù)學既然離奇地背叛了我。拿到比平時有二十來分相差的成績時，愣掉的首先是我的父母。那一刻，估計他們對它的喜愛之情早已淡然無存了。而我竟也離奇地流淚了。這里我說的離奇，并不是因為分數(shù)低，而是心頭有種被朋友，至親猛刺一刀的感覺。那種似乎無論是哪門科目的失利都是可以被原諒的，唯獨不能是數(shù)學。那一刻，我意識到數(shù)學對我而言，已經(jīng)不僅僅是一門學科了，它已經(jīng)融入我的生活了第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三要說，我是幾歲開始接觸數(shù)學我還真不好給出一個確切的數(shù)。而其實數(shù)學與生活是息息相關(guān)的。我們牙牙學語時說：“1，2，3......”。我們唱兒歌時：“門前大橋下，游過一群鴨，快來快來數(shù)一數(shù)，二，四，六，七，八......”。所以，細想起來數(shù)學真是無處不在的。而我也并非是數(shù)學特別強的那種人，小學的時候被迫去考奧數(shù)班，極其有緣分地以最后一名考進。一直以為是上帝和我開了一個玩笑，從此我和數(shù)學有了不解之緣。對于奧數(shù)，雖然也是無聊乏味地做題目。但是對于當時書本上的知識，它有趣地多了。雖然，我一直說自己小的時候是不喜歡數(shù)學的，但是畢竟奧數(shù)讓我對數(shù)學產(chǎn)生了興趣，讓我第一次感受到了數(shù)學的趣味第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學的魅力，其實是無處不在的。我可以從當中找到樂趣，或許是解出題目后的狂喜，或許是一小點的小聰明，也或許是對出題者的贊許。在解題的當中其實也是一種交流。去揣測出題者的意圖，思維。其實數(shù)學題就像是在挖掘人內(nèi)心的一種想法。數(shù)學也是一種交流工具。我們說的密碼學不正是一種交流工具嗎？第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期三學習數(shù)學的體會，也許也稱不上體會，但是也算是有所感悟吧。我不算是對數(shù)學狂熱的人，但是我對數(shù)學想來很執(zhí)著，這份執(zhí)著在高考中也體現(xiàn)無遺。我是那種一定要做出題目才肯罷休的人。雖然，我總是執(zhí)著要將每道題目都做出來而可能導致一些對考試不利的因素，但是我依舊執(zhí)拗地認為自