第二章三類典型的偏微分方程

三類典型的偏微分方程當(dāng)前第1頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)

一根緊拉著的均勻柔軟弦，長(zhǎng)為l，兩端固定在X軸上O、L兩點(diǎn)，當(dāng)它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小橫向振動(dòng)時(shí)，求這根弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。OLxy2.1波動(dòng)方程☆

一維波動(dòng)方程

最典型的一維波動(dòng)問(wèn)題是均勻弦的橫向振動(dòng)問(wèn)題。當(dāng)前第2頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)

討論如何將這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題。要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動(dòng)。不受外力影響。研究對(duì)象：線上某點(diǎn)在t

時(shí)刻沿垂直方向的位移。當(dāng)前第3頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)簡(jiǎn)化假設(shè)：

由于弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。在弦上任取一小段它的弧長(zhǎng)為：由于假定弦在平衡位置附近做微小振動(dòng)，很小，從而

可以認(rèn)為這段弦在振動(dòng)中沒(méi)有伸長(zhǎng)，由胡克定律可知，弦上每一點(diǎn)所受張力在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持不變，與時(shí)間無(wú)關(guān)。即點(diǎn)處的張力記為。

由于振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。當(dāng)前第4頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)橫向：其中：

作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，寫出它們的表達(dá)式和平衡條件。

也就是說(shuō)，張力

是一個(gè)常數(shù)。橫向：當(dāng)前第5頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)由中值定理：縱向：當(dāng)前第6頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)………一維波動(dòng)方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)------齊次方程忽略重力作用：a就是弦的振動(dòng)傳播速度當(dāng)前第7頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)假設(shè)外力在處外力密度為：方向垂直于軸。等號(hào)兩邊用中值定理：并令為單位質(zhì)量在點(diǎn)處所受外力。當(dāng)存在外力作用時(shí)：等號(hào)兩邊除以當(dāng)前第8頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)

弦振動(dòng)方程中只含有兩個(gè)自變量：。由于它描寫的是弦的振動(dòng)，因而它又稱為一維波動(dòng)方程。類似可以導(dǎo)出二維波動(dòng)方程（如膜振動(dòng)）和三維波動(dòng)方程，它們的形式分別為：二維波動(dòng)方程：三維波動(dòng)方程：當(dāng)前第9頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)

建立數(shù)學(xué)物理方程是一個(gè)辯證分析的過(guò)程。由于客觀事物的復(fù)雜性，要求對(duì)所研究的對(duì)象能夠抓住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，使問(wèn)題得到適度的簡(jiǎn)化?？偨Y(jié)：當(dāng)前第10頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)☆均勻桿的縱振動(dòng)

考慮一均勻細(xì)桿，沿桿長(zhǎng)方向作微小振動(dòng)。假設(shè)在垂直桿長(zhǎng)方向的任一截面上各點(diǎn)的振動(dòng)情況(即偏移平衡位置位移)完全相同。試寫出桿的振動(dòng)方程。在任一時(shí)刻t，此截面相對(duì)于平衡位置的位移為u(x,t)。在桿中隔離出一小段(x,x+dx)，分析受力：當(dāng)前第11頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)通過(guò)截面x，受到彈性力P(x,t)S的作用通過(guò)截面x+dx受到彈性力P(x+dx,t)S的作用P(x,t)為單位面積所受的彈性力(應(yīng)力)，沿x方向?yàn)檎鶕?jù)Newton第二定律，就得到：根據(jù)胡克定律當(dāng)前第12頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)☆靜止空氣中一維微小壓力波的傳播設(shè)ρ為空氣的密度，u為壓力誘導(dǎo)的速度，由一維歐拉方程：動(dòng)力學(xué)方程連續(xù)性方程物態(tài)方程考慮到微小壓力波，u是一階小量，是二階小量當(dāng)前第13頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)代入得對(duì)t求導(dǎo)，得利用得一維聲波方程。當(dāng)前第14頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)☆靜止空氣中三維聲波方程☆微幅水波動(dòng)方程式中：水面波高為ξ為聲波速度

水波速度為當(dāng)前第15頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)2.2擴(kuò)散方程

問(wèn)題：一根長(zhǎng)為l的均勻?qū)峒?xì)桿，截面為一個(gè)單位面積。側(cè)面絕熱，內(nèi)部無(wú)熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為c，線密度為ρ。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。AB☆一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。當(dāng)前第16頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)所要研究的物理量：分析：設(shè)桿長(zhǎng)方向?yàn)閤

軸，考慮桿上從到的一段(代表)，設(shè)桿中溫度分布為滿足的物理規(guī)律：均勻物體：物體的密度為常數(shù)各向同性：物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)假設(shè)條件：當(dāng)前第17頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)利用Fourier熱力學(xué)定律和能量守恒定律來(lái)建立熱傳導(dǎo)方程。

由Fourier熱力學(xué)定律，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)A端面的熱量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)B端面的熱量為：當(dāng)前第18頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)在dt

時(shí)段內(nèi)通過(guò)微元的兩端流入的熱量在任意時(shí)段內(nèi)，同時(shí)在此時(shí)段內(nèi),微元內(nèi)各點(diǎn)的溫度由流入微元的熱量

升高為

當(dāng)前第19頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)為此所需的熱量為由能量守恒定律可得：

由和的任意性可得當(dāng)前第20頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)即：其中☆內(nèi)部有熱源的情況：其中

分析：設(shè)熱源強(qiáng)度(單位時(shí)間在單位長(zhǎng)度中產(chǎn)生的熱量)為F(x,t)，代表段的吸熱為Fdxdt。當(dāng)前第21頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉定律在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時(shí)刻t1到t2通過(guò)S流入V的熱量為高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）熱場(chǎng)☆三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)當(dāng)前第22頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：三維熱傳導(dǎo)方程熱場(chǎng)有熱源三維熱傳導(dǎo)方程當(dāng)前第23頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)☆一維濃度擴(kuò)散方程☆動(dòng)量輸運(yùn)方程C為物質(zhì)濃度，λ為擴(kuò)散系數(shù)。u為速度，fx為流體體積力，ν

為流體粘性系數(shù)。

顯然，熱傳導(dǎo)、物質(zhì)擴(kuò)散、動(dòng)量輸運(yùn)這些過(guò)程屬于同一類物理現(xiàn)象，可用同一類型方程來(lái)描述。當(dāng)前第24頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)2.3穩(wěn)態(tài)方程(調(diào)和方程)

穩(wěn)態(tài)問(wèn)題也是自然界中普遍存在的一類物理現(xiàn)象，表征物理過(guò)程達(dá)到平衡狀態(tài)的情況，因此物理量不隨時(shí)間變化，但隨空間發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)問(wèn)題描述物理量的空間分布狀態(tài)或場(chǎng)的空間分布。熱傳導(dǎo)問(wèn)題，控制方程為：設(shè)場(chǎng)內(nèi)熱源為穩(wěn)態(tài)的，即為f(x,y,z)

流場(chǎng)溫度不隨時(shí)間變化，即T=T(x,y,z)

則有當(dāng)前第25頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)這就是穩(wěn)態(tài)方程，稱為泊松方程。如果場(chǎng)內(nèi)無(wú)熱源，g(x,y,z,t)=0，則有：這個(gè)方程又稱為拉普拉斯方程。其中：當(dāng)前第26頁(yè)\共有28頁(yè)\編于星期六\16點(diǎn)

又如在理想勢(shì)流場(chǎng)中，存在速度勢(shì)φ(x,y,z)，速度與φ(x,y,z)的關(guān)系為：