2021-2022學年浙江省衢州市衢江中學高三數(shù)學文測試題含解析

2021-2022學年浙江省衢州市衢江中學高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)的大致圖象是參考答案：B略2.已知y=f(x)是偶函數(shù)，而y=f(x+1)是奇函數(shù)，且對任意，都有，則的大小關系是（

）A.c<b<a

B.c<a<b

D.a<c<b

D.a<b<c參考答案：B3.設集合A={y|y=cosx，x∈R}，B={y|y=2x，x∈A}，則A∩B=（）A． B．[1，2] C． D．[0，1]參考答案：A【考點】1E：交集及其運算．【分析】求出集合A，B，根據(jù)集合的基本運算即可得到結(jié)論．【解答】解：A={y|y=cosx}={y|﹣1≤y≤1}=[﹣1，1]，B={y|y=2x，x∈A}=[，2]則A∩B=[，1]故選：A．4.對于任意，則滿足不等式的概率為（

）A

B

C

D

參考答案：A略5.函數(shù)的圖象的大致形狀是參考答案：D6.《九章算術》涉及到中國古代的一種幾何體――陽馬，它是底面為矩形，兩個側(cè)面與底面垂直的四棱錐，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為１，現(xiàn)有一體積為4的陽馬，則該陽馬對應的三視圖（用粗實線畫出）可能為（）參考答案：C7.已知復數(shù)z滿足=1﹣i，其中i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z的虛部為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1參考答案：A【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：復數(shù)z滿足=1﹣i，∴z=﹣1+2i（1﹣i）=1+2i，∴z的虛部為2．故選：A．8.“”是“”的（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A略9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B10.已知命題：拋物線的準線方程為；命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則關于對稱．則下列命題是真命題的是

A．

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在區(qū)間[-1,2]上隨機取一個數(shù)，則∈[0,1]的概率為

.參考答案：略12.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))；以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線的極坐標方程為 .參考答案：,或略13.的展開式中,的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫答案)參考答案：1014.已知則的值為

．參考答案：16/17因為15.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則

.參考答案：

27

16.已知等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列，則的最大值為

．參考答案：1024由已知得；

當或時得最大值.【點睛】本題有以下幾個關鍵之處：1.利用方程思想求得首項和公比，進而求得通項；2.利用轉(zhuǎn)化化歸思想將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題；3.本題易錯點是忽視的取值是整數(shù)，而誤取.

17.設，，…，是1，2，…，的一個排列，把排在的左邊且比小的數(shù)的個數(shù)稱為的順序數(shù)（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的順序數(shù)為1，3的順序數(shù)為0．則在由1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)字構成的全排列中，同時滿足8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為_________

___（結(jié)果用數(shù)字表示）．參考答案：144三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(13分)如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點．（Ⅰ）求證：⊥平面；（Ⅱ）若動點滿足∥平面，問：當時，平面與平面所成的銳二面角是否為定值？若是，求出該銳二面角的余弦值；若不是，說明理由．參考答案：（Ⅰ）在三棱錐中，平面，．…2分又，為的中點，∴．…4分∵，∴⊥平面．…………5分（Ⅱ）∵，，．…………5分由平面，故以點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系（如圖），由已知可得．………7分由∥平面，故設．…………8分由，得，故，即．……………9分設平面的法向量為，由，，得令，得．………11分又平面的法向量為，…………12分所以．故平面與平面所成的銳二面角定值，該銳二面角的余弦值為．……13分19.一廠家在一批產(chǎn)品出廠前要對其進行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取3件進行檢驗，這3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取3件進行檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n=2,再從這批產(chǎn)品中任取4件進行檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗.假設這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立.(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率;(2)已知每件產(chǎn)品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為(單位:元),求的分布列及數(shù)學期望.參考答案：解：（1）設第一次取出的3件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件,第二次取出的3件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件；第一次取出的3件產(chǎn)品中恰有2件優(yōu)質(zhì)品為事件,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件,這批產(chǎn)品通過檢驗為事件,根據(jù)題意有,且與互斥、所以（2）的可能取值為300,600,700所以的分布列為300600700

20.某班50名學生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[13，14），第二組[14，15），…，第五組[17，18]，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（Ⅰ）若成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；（Ⅱ）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖；用樣本的頻率分布估計總體分布．【專題】計算題．【分析】（1）根據(jù)頻率分步直方圖做出這組數(shù)據(jù)的成績在[14，16）內(nèi)的人數(shù)為50×0.16+50×0.38，這是頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關系．（2）根據(jù)頻率分步直方圖做出要用的各段的人數(shù)，設出各段上的元素，用列舉法寫出所有的事件和滿足條件的事件，根據(jù)概率公式做出概率．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，成績在[14，16）內(nèi)的人數(shù)為50×0.16+50×0.38=27（人）∴該班成績良好的人數(shù)為27人．（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，成績在[13，14）的人數(shù)為50×0.06=3人，設為x，y，z成績在[17，18）的人數(shù)為50×0.08=4人，設為A，B，C，D若m，n∈[13，14）時，有xy，zx，zy，3種情況；

若m，n∈[17，18）時，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種情況；若m，n分別在[13，14）和[17，18）內(nèi)時，

ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD共12種情況．∴基本事件總數(shù)為21種，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件個數(shù)有12種．∴P（|m﹣n|＞1）=【點評】本題是一個典型的古典概型問題，本題可以列舉出試驗發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，應用列舉法來解題是這一部分的精髓．21.已知函數(shù)f（x）=，g（x）=lnx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求函數(shù)y=f（x）g（x）在x=1處的切線方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ為常數(shù)，求證：λ＞e；（3）若對任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算x=1時y和y′的值，求出切線方程即可；（2）令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+，（x＞0），求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論λ的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而證明結(jié)論即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）=﹣a（x﹣1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍．【解答】解：（1）y=f（x）g（x）=，y′=，x=1時，y=0，y′=，故切線方程是：y=x﹣；（2）證明：由g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]，得：g（x1）+λf（x1）=g（x2）+λf（x2），令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+，（x＞0），h′（x）=，令ω（x）=ex﹣λx，則ω′（x）=ex﹣λ，由x＞0，得ex＞1，①λ≤1時，ω′（x）＞0，ω（x）遞增，故h′（x）＞0，h（x）遞增，不成立；②λ＞1時，令ω′（x）=0，解得：x=lnλ，故ω（x）在（0，lnλ）遞減，在（lnλ，+∞）遞增，∴ω（x）≥ω（lnλ）=λ﹣λlnλ，令m（λ）=λ﹣λlnλ，（λ＞1），則m′（λ）=﹣lnλ＜0，故m（λ）遞減，又m（e）=0，若λ≤e，則m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）遞增，不成立，若λ＞e，則m（λ）＜0，函數(shù)h（x）有增有減，滿足題意，故λ＞e；（3）若對任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，即﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）=﹣a（x﹣1），x∈（0，1]，F(xiàn)（1）=0，F(xiàn)′（x）=﹣a，F(xiàn)′（1）=﹣a，①F′（1）≤0時，a≥，F(xiàn)′（x）≤遞減，而F′（1）=0，故F′（x）≥0，F(xiàn)（x）遞增，F(xiàn)（x）≤F（1）=0，成立，②F′（1）＞0時，則必存在x0，使得F′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增，F(xiàn)（x）＜F（1）=0不成立，故a≥．22.（本小題滿分12分）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是棱AA1上一點，平面BC1D⊥平面BB1C1C，AB=AA1=2.（Ⅰ）求點A到平面BC1D的距離；（Ⅱ）求直線A1B與平面BC1D所成的角的正弦值.參考答案：解1：（Ⅰ）作DF⊥BC1于F，∵平面BC1D⊥平面BB1C1C，∴DF⊥平面BB1C1C，……2分取BC中點E，連接AE，EF，則AE⊥平面BB1C1C，∴AE∥DF，AE∥平面BC1D，于是A、E到平面BC1D的距離相等，…4分作EG⊥BC1于G，則EG⊥平面BC1D，又EG=B1C=，因此，A到平面BC1D的距離為；……6分(Ⅱ)∵AA1∥平面BB1C1C，∴AD∥EF，得EF∥CC1，F(xiàn)是BC1的中點.………………8分于是AD=EF=CC1=1，D是AA1中點，所以A1和A到平面BC1D的距離相等.設A1到平面BC1D的距離為d，則d=，…10分

設A1B與平面BC1D所成的角為θ，則sinθ=.

……12分

解2：（Ⅰ）以AC中點O為原點，建立空間直角坐標系如圖.

……1分設AD=h,則A（0,-1,0），B（，0,0），C（0,1,0），A1（0