數(shù)學(xué)模型之減肥計劃

數(shù)學(xué)模型之減肥計劃第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三

在國人初步進(jìn)入小康社會以后，不少自感肥胖的人紛紛奔向減肥食品的柜臺?？墒谴罅渴聦嵳f明，多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥的目標(biāo)，或者能減肥但無法維持。許多醫(yī)生和專家建議，只有通過控制飲食和適當(dāng)運(yùn)動，才能在不傷害身體的條件下，達(dá)到減肥并維持的目的。由此便可以引出本節(jié)的研究重點：建立體重變化規(guī)律的模型，并由此通過節(jié)食和運(yùn)動制定合理的減肥計劃。第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三通常，人體重的變化是由于體內(nèi)的能量守恒遭到破壞。人通過飲食吸收熱量并轉(zhuǎn)化為脂肪等，導(dǎo)致體重增加；又由于代謝和運(yùn)動消耗熱量，引起體重減少。

做適當(dāng)?shù)募僭O(shè)就可以得到體重變化的關(guān)系。第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三為方便起見，制定減肥計劃我們以周為時間單位，所以這里用離散事件模型——差分方程模型來討論第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三模型假設(shè)體重增加正比于吸收的熱量，平均每8000kcal增加1kg（1kcal=4.2kj）；正常代謝引起的體重減少正比于體重，每周每公斤體重消耗熱量一般在200kcal~320kcal，且因人而異；運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動形式有關(guān)；為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5kg,每周吸收熱量不少于10000kcal。第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三K:表示第幾周；ω(k):表示第k周的體重；C(k):表示第k周吸收的熱量；α:表示熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)[α=1/8000(kg/kcal)];β:表示代謝消耗系數(shù)（因人而異）第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三減肥計劃的提出我們制定一個減肥計劃來討論基本模型。事例

某甲身高1.7m，體重100kg,BMI高達(dá)34.6.該人目前每周吸收20000kcal熱量，體重長期不變。第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三制定減肥計劃1.先確定甲的代謝消耗系數(shù)β。根據(jù)已知條件c=20000kcal,α=1/8000,ω=100kg不變，由基本模型得

ω=ω+αc-βω

β=0.025這相當(dāng)于每周每公斤體重消耗熱量20000/100=200kcal。從假設(shè)2知，甲的代謝消耗很弱，所以吃得多必將導(dǎo)致他變胖。第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三第一階段要求每周體重減少b=1kg,吸收熱量減至下限cmin=10000kcal,即

ω(k)-ω(k+1)=1,ω(0)-ω(k)=bk

ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-βω(k)第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三根據(jù)α,β,b,cmin已知，有C(k+1)=12000-200k≥cmin=10000得k≤10,即第一階段共10周，按照C(k+1)=12000-200k吸收熱量，可使體重每周減1kg，至第10周末可減至90kg。第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三第二階段要求每周吸收熱量保持下限cmin，由基本模型得ω(k+1)=ω(k)+αcmin-βω(k)=(1-β)ω(k)+αcmin

要得到減至75kg所需周數(shù)，可將上式遞推得已知ω(k)=90,α,β,

cmin，求ω(k+1)=75，由上式得：第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三75=0.975n(90-50)+50解得n=19,即每周吸收熱量保持在下限，再過19周就可減至75kg。2.

為加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動。經(jīng)調(diào)查一下各項運(yùn)動每小時每公斤體重消耗的熱量：運(yùn)動跑步跳舞乒乓自行車（中速）游泳（50m/min）熱量消耗（kcal）7.03.04.42.57.9第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三記表中熱量消耗γ，每周運(yùn)動時間t，利用增加運(yùn)動后的基本模型，其中β’=β+β1，β1=αγt,即

ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+αγt)ω(k)試取αγt=0.003，即γt=24，則β’=0.028所以由上式帶入已知條件得n=14,即若增加

γt=24的運(yùn)動（每周跳舞8小時或自行車10小時），就

可將第二階段時間縮短為14周。

第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三3.若要維持75kg的體重，最簡單的方案是找出每周吸收熱量保持某常數(shù)c,使ω(k)不變。由上式

ω=ω+αc-(β+αγt)ωC=(β+αγt)ω/α若不運(yùn)動得c=15000kcal；若運(yùn)動，則c=16800kcalω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+αγt)ω(k)第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三減肥建議通過減肥模型可以看出，當(dāng)β由0.025變?yōu)棣隆?0.028(變化約為12%)，減肥時間就從19周減到14周(變化約為25%)?？梢娡ㄟ^改變β’，即改變運(yùn)動的形式與時間，是個相當(dāng)不錯的減肥方式。如果你想用運(yùn)動減肥，每項運(yùn)動的時間應(yīng)該超過20分鐘以上。第十七