投影變換基礎(chǔ)

投影變換基礎(chǔ)第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三§1問題的提出

當(dāng)幾何元素相對于投影面處于特殊位置時，其投影往往能直接反映交點、交線的位置或圖形實形、線段實長。定位問題度量問題問題的提出換面法上節(jié)第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三幾何元素處于一般位置時怎么辦？變換投影面

換面法投影變換的目的改變幾何元素相對于投影面的位置使之平行或垂直投影面而簡化解題變換幾何元素位置

旋轉(zhuǎn)法問題的提出換面法上節(jié)第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三§2換面法如何求線段AB的實長？當(dāng)V1//AB時a1b1=ABVHXV1Aaba'b'BX1a1b12.1選擇新投影面的原則換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三選擇新投影面的原則VHXV1Aaba'b'BX1a1b1新投影面必對空間幾何元素處于有利于解題的位置新投影面必須垂直原投影面體系中的一個投影面以構(gòu)成新的相互垂直的投影面體系換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三其中X------舊軸X1------新軸a′------舊投影a_1------新投影a------不變投影aa'axAVHXX1XVHa'aaxX1HV1a1ax1點到H面之距2.2點的投影變換規(guī)律V1ax1a1換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三XVHa'aaxX1HV1a1ax1在新投影面體系中，點的一對投影連線垂直新投影軸aa′⊥Xaa1⊥X1新投影到新軸之距=被代替的投影到原投影軸之距a′a=aa12.2點的投影變換規(guī)律點的一次換面換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三XVHa'a點的二次換面X1X2HV1V1H2a1a2注意:必須依次更換投影面2.2點的投影變換規(guī)律換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三將一般位置線變換成投影面平行線空間分析當(dāng)AB為新投影面的平行線時，其投影直接反映實長更換哪個投影面？V因為要求（與H面傾角），則必須保留H面而使AB平行P1。如何確定X1軸的位置X1//abX1aba1b1P1H2.3四個基本作圖問題實長一次換面X1a1b1實長HV1a'b'abOVHX例1例2例3求AB實長及對H面傾角對不變投影面的傾角換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三VHXBaba'b'將一般位置線變換成投影面垂直線X1V1X2b1a1H2A2(b2)兩次換面將一般位置線投影面平行線將投影面平行線投影面垂直線A例1例2例3換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三X1X2a2(b2)a1b1X1//abX2a1b1作圖HV1V1H2①將一般位置線

投影面平行線②將投影面平行線投影面垂直線將一般位置線變換成投影面垂直線Xaba'b'HV例1例2例3換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三過點K作直線與AB垂直相交并求其實長空間分析在什么情況下所求線段的投影直接反映其實長?ABKLPablkABPKL//P如何將AB變換成投影面垂直線？①//②投影分析如何確定新投影軸的位置例1求點K到直線AB之距。將AB變?yōu)橥队懊?/線將AB變?yōu)橥队懊婢€ABKLPablka'b'k'kabXVHX1b1k1k2X2l1ll'X1//abHV1V1H2A2(b2)(l2)a1X2a1b1例1例2例3返回原體系KL//X2換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三必須使平面內(nèi)某一直線成為該投影面的垂直線取平面內(nèi)的投影面平行線X1方向如何確定X1

bm一次換面X1m'ma1c1b1HV1a'b'c'bacXVH例1例2例3將一般位置平面變換成投影面垂直面換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三a'b'c'bacXVH將一般位置平面變換成投影面平行面空間分析平面相對于投影面處于何種位置時其投影直接反映實形投影面平行面先將平面變換成投影面垂直面X1HV1a1a2b1b2c1c2X2V1H21'1X1b1再將平面變換成投影面平行面X2//c1b1a1實形兩次換面求三角形ABC的實形。例1例2例3換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三例2已知ABC與ABD夾角為60°，求a'd',b'd'?？臻g分析當(dāng)兩平面的交線AB垂直于新投影面時它們在該投影面上的投影反映其夾角將AB投影面垂直線投影分析

將AB投影面平行線新投影軸X1//ab將AB投影面垂直線新投影軸X2a1b1acbda'c'b'XVHc1a1b1X1a2

(b2)HP1d1d'X2P1H2c2d260°例1例2例3換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三a'b'c'bcaXVH例3過點A作直線與BC相交成60°。X1b1c1a1X2a2b2c2m2n2m1n1mm'nn'HV1V1H2空間分析在實形圖形上直接反映直線夾角大小，實質(zhì)是求實形問題。投影分析將平面投影面垂直面X1平面內(nèi)一投影面平行線將平面投影面平行面X2//平面的積聚性投影60°60°返回到原投影面體系例1例2例3換面法選擇新投影面的原則點的投影變換規(guī)律四個基本作圖問題旋轉(zhuǎn)法2.12.22.3上節(jié)第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三鉛垂面ABC在V/H投影面上均不反映實形，如何求ABC實形？使ABC繞軸旋轉(zhuǎn)到與V面平行的位置，則ABC1在V面的投影反映實形?！?旋轉(zhuǎn)法3.1問題的提出c1’c1C1b’a’c’a(b)cABCOOo’o’實形旋轉(zhuǎn)法問題的提出旋轉(zhuǎn)法的概念繞垂直軸旋轉(zhuǎn)計算機(jī)輔助圖解法3.13.23.3上節(jié)第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三旋轉(zhuǎn)法是保持投影面不動，將幾何元素繞某一軸旋轉(zhuǎn)，使它對投影面處于有利于解題的位置。

旋轉(zhuǎn)法五要素O1OOAP3.2旋轉(zhuǎn)法的概念旋轉(zhuǎn)平面P、旋轉(zhuǎn)軸OO、旋轉(zhuǎn)中心O1旋轉(zhuǎn)半徑R、旋轉(zhuǎn)點AR旋轉(zhuǎn)法問題的提出旋轉(zhuǎn)法的概念繞垂直軸旋轉(zhuǎn)計算機(jī)輔助圖解法3.13.23.3上節(jié)第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三點A繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)3.3繞垂直軸旋轉(zhuǎn)a1’a1oo’aa’a1a1’aa’o點的旋轉(zhuǎn)規(guī)律旋轉(zhuǎn)法問題的提出旋轉(zhuǎn)法的概念繞垂直軸旋轉(zhuǎn)計算機(jī)輔助圖解法3.13.23.3上節(jié)第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三投影規(guī)律：點的一個投影在垂直于旋轉(zhuǎn)軸的投影面上作圓周運(yùn)動，在另一投影面上的投影作與投影軸平行的直線運(yùn)動。點A繞正垂軸旋轉(zhuǎn)3.3繞垂直軸旋轉(zhuǎn)點的旋轉(zhuǎn)規(guī)律旋轉(zhuǎn)法問題的提出旋轉(zhuǎn)法的概念繞垂直軸旋轉(zhuǎn)計算機(jī)輔助圖解法3.13.23.3上節(jié)第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三直線的旋轉(zhuǎn)規(guī)律直線繞某軸旋轉(zhuǎn)一角度時，只要使該直線上的兩個點繞同一軸，沿相同方向，旋轉(zhuǎn)同一角度，然后把旋轉(zhuǎn)后的兩個點連接起來，即為該直線的新投影。

當(dāng)一直線繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)時，其水平投影長度保持不變。直線對H面的傾角不變。當(dāng)一直線繞正垂軸旋轉(zhuǎn)時，其正面投影長度保持不變。直線對V面的傾角不變。00RR旋轉(zhuǎn)法問題的提出旋轉(zhuǎn)法的概念繞垂直軸旋轉(zhuǎn)計算機(jī)輔助圖解法3.13.23.3上節(jié)第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三平面的旋轉(zhuǎn)規(guī)律當(dāng)一平面圖形繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)時，其水平投影的大小和形狀保持不變，該平面對H面的傾角的大小不變。當(dāng)一平面圖形繞正垂軸旋轉(zhuǎn)時，其正面投影的大小和形狀保持不變，該平面對V面的傾角的大小不變。旋轉(zhuǎn)法問題的提出旋轉(zhuǎn)法的概念繞垂直軸旋轉(zhuǎn)計算機(jī)輔助圖解法3.13.23.3上節(jié)第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三繞垂直軸一次旋轉(zhuǎn)可解決四種作圖問題1、將一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面平行線；(a)旋轉(zhuǎn)成正平線選鉛垂線為旋轉(zhuǎn)軸(b)旋轉(zhuǎn)成水平線選正垂線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)法問題的提出旋轉(zhuǎn)法的概念繞垂直軸旋轉(zhuǎn)計算機(jī)輔助圖解法3.13.23.3上節(jié)第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三2、將投影面平行線旋轉(zhuǎn)成投影面垂直線旋轉(zhuǎn)正平線成鉛垂線旋轉(zhuǎn)水平線成正垂線繞垂直軸一次旋轉(zhuǎn)可解決四種作圖問題旋轉(zhuǎn)法問題的提出旋轉(zhuǎn)法的概念繞垂直軸旋轉(zhuǎn)計算機(jī)輔助圖解法3.13.23.3上節(jié)第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3、將投影面垂直面旋轉(zhuǎn)成投影面平行面將正垂面旋轉(zhuǎn)成水平面將鉛垂面旋轉(zhuǎn)成正平面繞垂直軸一次旋轉(zhuǎn)可解決四種作圖問題旋轉(zhuǎn)法問題的提出旋轉(zhuǎn)法的概念繞垂直軸旋轉(zhuǎn)計算機(jī)輔助圖解法3.13.23.3上節(jié)第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4、將一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面1)作一般位置平面上投影面平行線；2）將該投影面平行線旋轉(zhuǎn)成投影面垂直線；3）以同軸、同方向、同角度將一般位置平面旋轉(zhuǎn)為投影面垂直面。繞垂直軸一次旋轉(zhuǎn)可解決四種作圖問題旋轉(zhuǎn)法問題的提出旋轉(zhuǎn)法的概念繞垂直軸旋轉(zhuǎn)計算機(jī)輔助圖解法3.13.23.3上節(jié)第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三計算機(jī)輔助圖解法§4計算機(jī)輔助圖解法4.1基本概念計算機(jī)輔助圖解法以正投影原理為理論基礎(chǔ)，其整體過程主要為兩大步驟，首先對工程設(shè)計及表達(dá)中畫法幾何問題進(jìn)行空間分析并進(jìn)行實體建模，然后在三維環(huán)境下的實體模型上直接求解及表達(dá)，中間省去了投影變換的二維輔助方法及二/三維的相互轉(zhuǎn)換過程，從而更為直觀形象，易于掌握和分析，可大大提高設(shè)計和作圖的精度和速度，也更適合于現(xiàn)代化無圖紙設(shè)計、表達(dá)和制造的生產(chǎn)方式。基本概念計算機(jī)輔助圖解的基本工具計算機(jī)輔助圖解的基本方法解題實例4.14.24.3上節(jié)4.4CAD鏈接第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.2計算機(jī)輔助圖解的基本工具使用AUTOCAD-3D技術(shù)求解畫法幾何空間問題的計算機(jī)輔助工具主要有以下三個：①點的過濾②用戶坐標(biāo)系UCS③查詢工具這一功能可以使在精確作圖中，從某一已知點的三個坐標(biāo)值（X，Y，Z），可過濾出某一個或兩個坐標(biāo)值，以保證前后兩點的精度要求。利用它可實現(xiàn)在三維環(huán)境下將一般位置直線向指定的平面進(jìn)行投影。使用這一功能，可將三維空間的直角坐標(biāo)系的原點和方向按解題需要進(jìn)行多方位的平移、旋轉(zhuǎn)等坐標(biāo)變換，不僅可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)畫法幾何中的換面法和旋轉(zhuǎn)法等圖解工具，而且還遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了這些圖解工具所能達(dá)到的功效，直接在三維實體上圖解更為復(fù)雜的工程問題。這是最直接的一種設(shè)計工具。實體建模完成后，在“查詢”命令的子菜單中，可以直接查詢指定對象的距離、面積、點坐標(biāo)的精確數(shù)值及坐標(biāo)位置和方位，還可確定實體的質(zhì)量特性，如實體的質(zhì)量、體積、邊界框的大小和坐標(biāo)、實體的質(zhì)心、慣性矩、旋轉(zhuǎn)半徑及主力矩與質(zhì)心的X-Y-Z方向等。這對于工程抽象問題中的點到直線、兩平行直線、兩平行平面之間的距離等幾何量定量問題的精確求解、對于工程實際問題中零件部件的質(zhì)量特性的確定及力學(xué)設(shè)計，都具有直接、準(zhǔn)確、高效的功能。計算機(jī)輔助圖解法基本概念計算機(jī)輔助圖解的基本工具計算機(jī)輔助圖解的基本方法解題實例4.14.24.3上節(jié)4.4CAD鏈接第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.3計算機(jī)輔助圖解的基本方法坐標(biāo)變換利用UCS命令，建立坐標(biāo)變換的概念。設(shè)計時可以根據(jù)畫法幾何問題中空間分析的結(jié)果，將當(dāng)前的空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)，以實現(xiàn)畫法幾何中將一般位置幾何量變?yōu)樘厥馕恢脦缀瘟浚倥浜喜樵兗俺叽鐦?biāo)注等其它工具，即可解決直線的實長、平面的實形等定形問題；直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的夾角等問題。直線的投影利用“點的過濾”功能以及與UCS坐標(biāo)變換的配合，即可實現(xiàn)在計算機(jī)三維環(huán)境下將空間直線向任一平面的投影，從而導(dǎo)出一系列畫法幾何空間問題的迎刃而解。在作出空間直線AB對平面P的投影ab后，即可引伸出“點到平面的距離”、“直線與平面的交點”、“直線與平面的夾角”等問題的求解。

θ在作出空間平面ABC對平面P的投影后，兩平面的交線及二面角等問題也就隨之得到了解答。從圖解幾何問題的角度來看，其間省去了傳統(tǒng)畫法幾何中的換面法、旋轉(zhuǎn)法等二維輔助圖解過程，對空間問題實現(xiàn)空間直接求解。計算機(jī)輔助圖解法基本概念計算機(jī)輔助圖解的基本工具計算機(jī)輔助圖解的基本方法解題實例4.14.24.3上節(jié)4.4CAD鏈接第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.4計算機(jī)輔助圖解解題實例例1.（4-24）在已知平面ABD上作一等腰三角形ABC，使其底邊BC在BD上?？臻g分析等腰三角形的高是底邊的垂直平分線，故只要過A點作一直線AH垂直于BD，再在BD上取HC等于HB即可。HC用UCS命令將空間直角坐標(biāo)系的XOY面作在ABD所在平面上在新的XOY面中，利用垂足捕捉功能過A點向BD作垂線，得垂足H在BD上取C點使HC=HB連接ABC即得所求等腰三角形實體建模解題步驟CAD鏈接計算機(jī)輔助圖解法基本概念計算機(jī)輔助圖解的基本工具計算機(jī)輔助圖解的基本方法解題實例4.14.24.3上節(jié)4.4第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.4計算機(jī)輔助圖解解題實例例2.（4-20）解題步驟空間分析實體建模已知兩平面平行，求兩平面的距離當(dāng)兩平面同時垂直于一個投影面時，其積聚性投影之間的距離即是該兩平面的真實距離。將UCS的XOY面貼于△KMN上過△ABC上的一點B向△KMN作垂線用查詢命令得到垂線的長度，此即兩平行平面的距離CAD鏈接計算機(jī)輔助圖解法基本概念計算機(jī)輔助圖解的基本工具計算機(jī)輔助圖解的基本方法解題實例4.14.24.3上節(jié)4.4第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.4計算機(jī)輔助圖解解題實例例3.（4-19）解題步驟空間分析實體建模將UCS的XOY面貼于平面DEFG上過A點作一平面，使其平行于直線BC，且垂直于平面DEFG過點A向平面CEFG作一垂線AM，再作一直線AN平行于直線BC，則一對相交直線AM與AN即為所求。利用點的過濾，將A點向平面DEFG作投影AM利用“平行捕捉”過點A作一直線AN平行于直線BC三角形AMN即為所求MNMNCAD鏈接計算機(jī)輔助圖解法基本概念計算機(jī)輔助圖解的基本工具計算機(jī)輔助圖解的基本方法解題實例4.14.24.3上節(jié)4.4第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.4計算機(jī)輔助圖解解題實例例4.（4-25）空間分析過點E作直線MN與已知平ABCD平行，且與已知直線FG相交要使過點E所作的直線MN與直線FG相交，則MN與FG必在同一個平面內(nèi)；要使MN與平面ABCD平行，則MN所在平面須平行于ABCD解題步驟實體建模將UCS的XOY面貼于平面ABCD上，并平移至E點利用“點的過濾”將直線FG向UCS的XOY平面進(jìn)行投影，得fg.找到直線FG與XOY平面的交點M連接ME即為所求直線MNm平面與FG的交點M計算機(jī)輔助圖解法基本概念計算機(jī)輔助圖解的基本工具計算機(jī)輔助圖解的基本方法解題實例4.14.24.3上節(jié)4.4CAD鏈接第三十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.4計算機(jī)輔助圖解解題實例例5.（4-26）空間分析作直線KL與交叉直線AB、CD相交，并平行于直線EF先包含其中一交叉直線（如CD）作一平面平行于已知直線EF，再求該平面與另一交叉直線（AB）的交點K，此交點即與CD在同一平面內(nèi)；過此交點K作一直線KL平行于EF并與CD相交，即可滿足要求。KLLK解題步驟實體建模并將UCS的XOY面貼于該平面上包含CD作一平面平行于EF利用點的過濾，將AB向平面投影，以求直線AB與平面CDG的交點K過K點作直線KL平行于EF并與CD相交計算機(jī)輔助圖解法基本概念計算機(jī)輔助圖解的基本工具計算機(jī)輔助圖解的基本方法解題實例4.14.24.3上節(jié)4.4CAD鏈接第三十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.4計算機(jī)輔助