2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)07 函數(shù)類(lèi)綜合問(wèn)題答案解析

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除希望此文檔能祝您一臂之力重難點(diǎn)07函數(shù)類(lèi)綜合問(wèn)題首先告訴各位同學(xué)二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容之一，往往也是中考數(shù)學(xué)的壓軸大戲．涉及題目數(shù)量一般3-4題，其中有1-2道大題．所占分值大約25分左右．二次函數(shù)在中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，而在壓軸題中，一般都設(shè)計(jì)成三至四小問(wèn)，其中第一、二小問(wèn)比較簡(jiǎn)單，最后一至兩問(wèn)難度很大．二次函數(shù)在考查時(shí)，往往會(huì)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、圓、三角形、四邊形、幾何變換相結(jié)合，綜合性很強(qiáng)，技巧性也很強(qiáng)，同時(shí)計(jì)算量一般很大，加上二次函數(shù)本身就比較抽象，這就導(dǎo)致了題目得分率非常低．其實(shí)我們只要能熟練掌握二次函數(shù)的基本知識(shí)，同時(shí)掌握一些常見(jiàn)的題型，提高對(duì)于二次函數(shù)的得分，不是什么難事，多多練習(xí)，多多總結(jié)．1．通過(guò)思維導(dǎo)圖整體把握二次函數(shù)所有考點(diǎn)1）圖象與性質(zhì)：（函數(shù)的三種表達(dá)式、開(kāi)口問(wèn)題、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、最值、增減性、圖象的平移等）；2）與一元二次方程（不等式）結(jié)合（交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的根的關(guān)系）；3）與實(shí)際生活結(jié)合（用二次函數(shù)解決生活中的最值（范圍）問(wèn)題）2.二次函數(shù)的壓軸題主要考向1）存在性問(wèn)題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）、幾何變換等）；2）最值問(wèn)題（線段、周長(zhǎng)、面積）3．熟練掌握各種常見(jiàn)有關(guān)二次函數(shù)的題型和應(yīng)對(duì)策略1）線段最值（周長(zhǎng)）問(wèn)題——斜化直策略2）三角形或多邊形面積問(wèn)題——鉛垂高、水平寬策略3）線段和最小值問(wèn)題——胡不歸+阿氏圓策略問(wèn)題4）線段差——三角形三邊關(guān)系或函數(shù)5）相似三角形存在性問(wèn)題——根據(jù)相等角分類(lèi)討論6）（特殊）平行四邊形存在性問(wèn)題——中點(diǎn)公式+平移法限時(shí)檢測(cè)1：最新各地模擬試題（90分鐘）1．（2023·安徽黃山·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作射線，作于E，作于F，交y軸于，可求得，從而得出，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作射線，作于E，作于F，交y軸于，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)P在時(shí)，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，解直角三角形等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是用三角函數(shù)構(gòu)造．2．（2023·江西南昌·南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，交軸的正半軸于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①，②（為任意實(shí)數(shù)）；③若點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，則有取大值，最大值為；④若是方程的一個(gè)根，則一定有成立．其中正確的序號(hào)有（

）．A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)拋物線開(kāi)口向下可得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出對(duì)稱(chēng)軸為直線，則，再由拋物線交y軸的正半軸，得到，由此即可判斷①；根據(jù)時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為，則，即可判斷②；由對(duì)稱(chēng)性可知，則，即可判斷③；先求出，進(jìn)而推出，則，由m是方程的一個(gè)根，得到或，然后分別計(jì)算出的值即可判斷④．【詳解】解：拋物線開(kāi)口向下，，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，對(duì)稱(chēng)軸為直線，，拋物線交y軸的正半軸，，，故①正確；對(duì)稱(chēng)軸為直線，開(kāi)口向下，時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為，（m為任意實(shí)數(shù)）即，故②正確；對(duì)稱(chēng)軸交y軸的正半軸于點(diǎn)C，，由對(duì)稱(chēng)性可知，，故③不正確；拋物線與x軸交于點(diǎn)，，，，，，m是方程的一個(gè)根，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若m是方程的一個(gè)根，則一定有成立，故④正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，解決本題關(guān)鍵是運(yùn)用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線與x軸交點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算．3．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）已知拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左則），與軸交于點(diǎn)，連接，直線與軸交于點(diǎn)D，交上方的拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)C的坐標(biāo)是B．C．當(dāng)?shù)闹等〉米畲髸r(shí)，D．是直角三角形【答案】C【分析】令，，可判斷選項(xiàng)A正確；求得點(diǎn)D的坐標(biāo)是，可判斷選項(xiàng)B正確；求得，，利用勾股定理的逆定理可判斷選項(xiàng)D正確；由題意知，點(diǎn)E位于y軸右側(cè)，作軸，交于點(diǎn)G，根據(jù)平行線截線段成比例將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值，所以利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間的距離公式以及配方法解題即可．【詳解】解：令，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是，故選項(xiàng)A正確；令，，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是，∴，故選項(xiàng)B正確；令，則，解得，∴，，∴，，，∴，∴是直角三角形，故選項(xiàng)D正確；由題意知，點(diǎn)E位于y軸右側(cè)，作軸，交于點(diǎn)G，∴，∴．∵直線與y軸交于點(diǎn)D，則．∴．∴．設(shè)所在直線的解析式為．將，代入，得．解得．∴直線的解析式是．設(shè)，則，其中．∴．∴．∵，∴當(dāng)時(shí)，存在最大值，最大值為2，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是．代入，得，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題型，需要綜合運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)最值的求法，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式以及平行線截線段成比例等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．4．（2023·重慶九龍坡·?？家荒＃┮阎c(diǎn)在二次函數(shù)上，其中，，……，，令，，……，；為的個(gè)位數(shù)字（n為正整數(shù)），則下列說(shuō)法：①；②；③；④的最小值為，此時(shí)；⑤的個(gè)位數(shù)字為6．正確的有（

）個(gè)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，由此得，利用兩個(gè)式子可判斷①②，將變形為，可計(jì)算出解果進(jìn)而判斷③，由得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及n為正整數(shù)可判斷其最值，進(jìn)而判斷④，由為的個(gè)位數(shù)字，且，計(jì)算出，，，，，，，，，，……找其規(guī)律可判斷⑤．【詳解】解：，則當(dāng)時(shí)，，∴，即：當(dāng)時(shí)，，故①錯(cuò)誤；，故②正確；∵∴，故③正確；，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，又∵為整數(shù)，∴取得最小值，此時(shí)或，故④錯(cuò)誤；∵為的個(gè)位數(shù)字，且，由此可知，，，，，，，，，，……分別為：2，6，2，0，0，2，6，2，0，0，……即的規(guī)律為以2，6，2，0，0，五次一循環(huán)，且這五個(gè)數(shù)相加為10，則的個(gè)位0，且也是五次一循環(huán)，∵，∴，，∴的個(gè)位為，故⑤錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)的性質(zhì)，找出數(shù)字的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山東棗莊·校考一模）二次函數(shù)的圖像的一部分如圖所示，已知圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，若，則；⑥若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為-3，5；其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖像可得、、，然后再進(jìn)行適當(dāng)變形即可解答．【詳解】解：∵拋物線的開(kāi)口向下，∴．∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴．∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴，即∴，故①正確；∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)∴，故②錯(cuò)誤；∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴∵∴，即．∴，故③正確；∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴拋物線也過(guò)點(diǎn)（3，0），∴當(dāng)時(shí)，，即．∵，∴，故④錯(cuò)誤；∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：拋物線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，或5．∴關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，5，故⑤正確綜上，正確的結(jié)論有：①③⑤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系、二次函數(shù)與方程等知識(shí)點(diǎn)，利用對(duì)稱(chēng)軸的范圍求與b的關(guān)系以是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江溫州·?？家荒＃?duì)于二次函數(shù)，規(guī)定函數(shù)是它的相關(guān)函數(shù)．已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，連接，若線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則n的取值范圍為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】據(jù)題意可求出的相關(guān)函數(shù)解析式為：．畫(huà)出圖象，討論當(dāng)線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有1個(gè)公共點(diǎn)，2個(gè)公共點(diǎn)，3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)n的值，再結(jié)合圖象，即確定線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍．【詳解】解：由題意可求的相關(guān)函數(shù)解析式為：．如圖，線段與的圖象恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)函數(shù)的圖象向上移動(dòng)且與線段恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由圖可知函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為，∴，∴當(dāng)時(shí)，線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)的圖象繼續(xù)向上移動(dòng)且又一次與線段恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由圖可知函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為，∴；當(dāng)函數(shù)的圖象又繼續(xù)向上移動(dòng)且與線段恰有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由圖可知此時(shí)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解“相關(guān)函數(shù)”的定義，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．7．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離不大于1時(shí)，b的取值范圍是______；（2）當(dāng)點(diǎn)M到直線的距離不大于時(shí)，b的取值范圍是，則的值為_(kāi)_____．【答案】

##

0或5##5或0【分析】（1）先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，根據(jù)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離不大于1，得出，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，求出b的取值范圍即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離不大于，得出，即，從而得出，然后根據(jù)，求出a的范圍，即可得出．【詳解】解：（1）∵，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∵點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離不大于1，∴，∴此時(shí)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，∵，∴在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，b取最大值，且最大值為，當(dāng)時(shí)，b取最小值，且最小值為，∴b的取值范圍是；故答案為：；（2）∵點(diǎn)到直線的距離不大于，∴，即，∴，令，代入，即，解得：，，令，代入，即，解得：，，∴點(diǎn)M應(yīng)為或上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知，的值為0或5；故答案為：0或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的增減性，二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)y隨x的增大而減小．8．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，A，B為反比例函數(shù)第一象限圖象上任意兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交反比例函數(shù)圖象另一支于點(diǎn)C，連接交x軸于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)G，連接，連接并向兩側(cè)延長(zhǎng)分別交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)D．已知，，則______，k的值為_(kāi)_____．【答案】

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作軸于M，過(guò)點(diǎn)B作軸于N，證明推出；設(shè)，則，推出；求出直線的解析式為，則，即可得到，同理可證，得到，則；由對(duì)稱(chēng)性可知，同理可得直線的解析式為，則，即可得到，再由，得到，則．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作軸于M，過(guò)點(diǎn)B作軸于N，∴，∴，∴，∵，∴，∴；設(shè)，∴，∴，∴；設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∴，∴，同理可證，∴，∵，∴；由對(duì)稱(chēng)性可知，同理可得直線的解析式為，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2023·廣東深圳·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)．連接，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】以為原點(diǎn)，平行于的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，過(guò)作于，過(guò)作，交延長(zhǎng)線于，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，待定系數(shù)法可得直線解析式為，即可得，，證明，可得，，即得，，從而，故．【詳解】解：以為原點(diǎn)，平行于的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，過(guò)作于，過(guò)作，如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則，，∵為中點(diǎn)，∴，設(shè)直線解析式為，把，，代入得：，解得，∴直線解析式為，在中，令得，∴，∴，∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出相關(guān)線段長(zhǎng)度．10．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)M是橫軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與相切于點(diǎn)M．（1）當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)______；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)____________（不用寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；（3）當(dāng)射線與直線相交時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)t的取值范圍是_____________【答案】

7＜t＜23##【分析】（1）當(dāng)軸時(shí)，畫(huà)出圖形，得出此時(shí)點(diǎn)P在x軸上，且，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)F，連接，證明，得出，即，求出函數(shù)關(guān)系式即可；（3）分三種情況：，，，三種情況進(jìn)行討論，分別畫(huà)出圖形，求出t的取值范圍即可．【詳解】解：（1）當(dāng)軸時(shí)，如圖所示：∵，∴此時(shí)，∵為的切線，M為切點(diǎn)，∴，∵過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)M在x軸上，∴此時(shí)點(diǎn)P在x軸上，∴，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；故答案為：；（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)F，連接，如圖所示：∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∵為的切線，M為切點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴；故答案為：；（3）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)F，連接，如圖所示：∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，∴，，根據(jù)解析式（2）可知，，∴，∴，∴，∴，，∵要使射線與直線相交，∴，∴，即，即，令，則，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)F，連接，如圖所示：∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，∴，，根據(jù)解析式（2）可知，，∴，∴，∴，∴，，∵要使射線與直線相交，∴，∴，即，即，令，則，即，解得：，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，軸，根據(jù)解析（1）可知，此時(shí)點(diǎn)P在x軸上，與相交于點(diǎn)M，符合題意；綜上分析可知，t的取值范圍為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出相應(yīng)的圖形，并注意進(jìn)行分類(lèi)討論．11．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A，另有一次函數(shù)與、圖像分別交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在直線的上方），且，則__________．【答案】【分析】設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易得是等腰三角形，是含的直角三角形，設(shè)，則可表達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題干條件，建立方程，再根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)上，可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，令，則，∴，令，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，∵，，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，設(shè)，則，，∴，∵，∴，則，即：，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)上，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形等相關(guān)知識(shí)，設(shè)出參數(shù)，得出方程是解題關(guān)鍵．12．（2022·浙江金華·校聯(lián)考三模）一個(gè)玻璃杯豎直放置時(shí)的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線，為同一拋物線的一部分，，都與水平地面平行，當(dāng)杯子裝滿水后，，液體高度，將杯子繞傾斜倒出部分液體，當(dāng)傾斜角時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2所示，此時(shí)液面寬度________，液面到點(diǎn)所在水平地面的距離是________．【答案】

【分析】建立以拋物線對(duì)稱(chēng)軸為y軸，以DC為x軸的平面直角坐標(biāo)系，作∠ABE=45°，交拋物線于E，交x軸于F點(diǎn)，過(guò)B作于M點(diǎn)．分別求出拋物線、直線BE的解析式，以及E點(diǎn)坐標(biāo)，利用長(zhǎng)度公式及勾股定理，勾股逆定理即可得出答案．【詳解】解：依題意建立如圖平面直角坐標(biāo)系，作∠ABE=45°，交拋物線于E，交x軸于F點(diǎn)，過(guò)B作于M點(diǎn)，依題意得：，BM=12，設(shè)拋物線的解析式為：把A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：∴∴∴∵∴∵∴∴∵∴設(shè)直線BF的解析式為：把B、M點(diǎn)坐標(biāo)代入得：∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴又∵∴∴∴C到點(diǎn)BE的距離為：故圖2中液面到點(diǎn)所在水平地面的距離是答案：，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，計(jì)算量較大，需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，以及利用勾股逆定理來(lái)判別直角三角形．13．（2023·江蘇常州·常州市?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過(guò)D作交于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)如圖2，點(diǎn)在拋物線上.當(dāng)時(shí)，連接、、，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得若存在，直接寫(xiě)出此時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）先求出直線的解析式，然后得出，再利用即可得出答案；（3）當(dāng)在右側(cè)和在左側(cè)兩種情況加以分析即可；【詳解】（1）解：（1）將，代入得，解得：∴（2）∵，設(shè)直線的解析式為：∴，解得：∴直線AC的解析式為：當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)，∴∵∴∴∴（3）當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過(guò)C作軸于H，如圖：∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即平分，∴，∵當(dāng)時(shí)，則∴∴∴此時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為②當(dāng)在左側(cè)時(shí)，作Q關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作直線交拋物線于P，由對(duì)稱(chēng)性知此時(shí)，直線與x軸交點(diǎn)Q'是滿足條件的點(diǎn)，如圖：設(shè)，∵，∴∴或∴由，得直線解析式為令得，則，∴∴直線與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、對(duì)稱(chēng)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出M的坐標(biāo)．還考查了數(shù)形結(jié)合的思想表示點(diǎn)的坐標(biāo)及線段長(zhǎng)度解決問(wèn)題的能力．14．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，對(duì)于平面內(nèi)小于等于的，我們給出如下定義：若點(diǎn)在的內(nèi)部或邊上，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則將稱(chēng)為點(diǎn)與的“點(diǎn)角距”，記作．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、正半軸所組成的角為．(1)已知點(diǎn)、點(diǎn)，則______，______．(2)若點(diǎn)為內(nèi)部或邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，在圖中畫(huà)出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形．(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)與點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)是、兩點(diǎn)之間的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)可與、兩點(diǎn)重合)，求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到軸的距離是，到軸的距離是，可得；然后根據(jù)點(diǎn)，到軸的距離是，到軸的距離是，求出的值是多少即可（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，然后根據(jù)，可得，據(jù)此求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形即可．（3）先用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)及直線的表達(dá)式，連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，通過(guò)得出，再利，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可找到答案.【詳解】（1）點(diǎn)，到軸的距離是，到軸的距離是，，點(diǎn)到軸的距離是，到軸的距離是，．故答案為：，；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是線段．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形，如圖所示，（3）將、代入拋物線，得，解得拋物線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得解得，直線的解析式為，如圖，連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則則，，，，，，，，即整理得，，．當(dāng)時(shí)，有最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合以及圓的綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握“點(diǎn)角距”的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．①寫(xiě)出函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)；②如圖1，點(diǎn)是第四象限內(nèi)函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，使得的面積最大；③如圖2，點(diǎn)為第一象限內(nèi)函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作.軸，垂足為，的外接圓與交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；(2)點(diǎn)、為函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且.若對(duì)于時(shí)，都有，求的取值范圍．【答案】(1)①函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②；③(2)【分析】（1）先求得二次函數(shù)的解析式，①根據(jù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出性質(zhì)即可；②根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再求得直線的解析式，過(guò)點(diǎn)P作軸于H，設(shè)，則，，，進(jìn)而，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；③設(shè)圓心為H，過(guò)H作軸于N，于M，連接，，利用垂徑定理可得，，，設(shè)，，利用坐標(biāo)與圖形性質(zhì)得到，，，，證明四邊形是矩形得到，，然后利用勾股定理得到，進(jìn)而求得x值即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，①函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②令，由得，，當(dāng)時(shí)，，∴，，，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得，∴直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)P作軸于H，與交于G，設(shè)，則，，∴，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；③設(shè)圓心為H，過(guò)H作軸于N，于M，連接，，則，，，設(shè)，，∵軸，∴，∴，，，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，在中，，在中，，∵，∴，則，解得，即；（2）解：由于∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)、為函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且，若對(duì)于即時(shí)，都有，∴．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形的面積、矩形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析求解是解答的關(guān)鍵．16．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)、（左右），與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)軸上，連接，，，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，若，連接，求直線的解析式【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，再代入，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，可得，再證得，可得，從而得到，再由，得到關(guān)于t的方程，即可求解；（3）根據(jù)，證明，設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則，再由，可得，從而得到，進(jìn)而得到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交軸于點(diǎn)T，可得到，過(guò)點(diǎn)T作交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，證明，可得，設(shè)，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求出直線的解析式．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴．當(dāng)時(shí)，，∴，將點(diǎn)A、B、C分別代入得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵點(diǎn)D在拋物線上，∴設(shè)點(diǎn)，∴，∵，，∴，

∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，解得(舍去)，，當(dāng)時(shí)，，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則，∴，∴，解得，∴，∴，∴，

∵軸，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交軸于點(diǎn)T，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，過(guò)點(diǎn)T作交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∵，設(shè)，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．17．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）已知拋物線過(guò)兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱(chēng)軸；(2)如圖1，若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點(diǎn)落在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，分別交直線線段于點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，求的最大值.答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，對(duì)稱(chēng)軸為；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值是【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得到拋物線的函數(shù)解析式；（2）利用折疊的性質(zhì)得到邊相等和角相等，再利用正切的定義即可得到正確的結(jié)果；（3）根據(jù)直線和的解析式，得到的函數(shù)解析即可得到最大值．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，∴

，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：，對(duì)稱(chēng)軸為

；（2）解：如圖1，∵，∴，∵對(duì)稱(chēng)軸是，∴，∴由折疊得，在中，，

∴，∴，在中，，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵過(guò)點(diǎn)∴直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，設(shè)，∵，軸，∴，∵，∴，∴在中，，又∵，

∴得，∴，∵點(diǎn)在線段上，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值是．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式，解直角三角形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程是解題的關(guān)鍵．18．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接，．點(diǎn)E為線段上的一點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)H．(1)直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線的表達(dá)式；(2)連接，，求面積的最大值；(3)若點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，，(2)當(dāng)時(shí)，面積最大，最大值為8(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，【分析】（1）分別令，，解方程即可求得A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的表達(dá)式為，代入，，即可求得解析式；（2）過(guò)點(diǎn)H作軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則點(diǎn)K的坐標(biāo)為，則，再根據(jù)，求得當(dāng)時(shí)，面積最大，最大值為8；（3）以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形時(shí)，則存在或兩種情況，設(shè)，兩種情況分別討論求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用矩形性質(zhì)結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即，解得：，，∴，，當(dāng)時(shí)，∴，設(shè)直線BC的表達(dá)式為，則，解得，∴；（2）過(guò)點(diǎn)H作軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則點(diǎn)K的坐標(biāo)為，∴．∴．∵，，∴當(dāng)時(shí)，面積最大，最大值為8．（3）以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形時(shí)，則存在或兩種情況，設(shè)①當(dāng)，延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)，∵，，∴，即為等腰直角三角形，即：，∵，則∴為等腰直角三角形，則，則，設(shè)解析式為，代入，，得，解得，∴，聯(lián)立，解得或，∴，則矩形的性質(zhì)結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)可得：，解得：，即：，②當(dāng)，交軸于點(diǎn)，∵，，∴，即為等腰直角三角形，即：，∵，則∴為等腰直角三角形，則，則，同理可得解析式為：，聯(lián)立，解得或，∴，則矩形的性質(zhì)結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)可得：，解得：，即：，綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與面積問(wèn)題，二次函數(shù)中特殊四邊形問(wèn)題，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．19．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且．(1)求拋物線的解析式；(2)若在線段上存在一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)O作交的延長(zhǎng)線于H，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）設(shè)出頂點(diǎn)式，待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）先根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)求出直線的解析式，即可表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，作軸，作軸，證明，可得，然后表示出點(diǎn)H，最后將點(diǎn)H代入直線解析式，求出答案即可；（3）分為菱形的邊和對(duì)角線，兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且，∴設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)，代入，得：，解得：，∴；（2）∵，時(shí)，，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，則：，解得：，∴直線的解析式為．∵，∴，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)H作軸于點(diǎn)K，則，∴，∴，∵，∴，∴．∴，∵點(diǎn)在直線上，∴，解得，把代入中得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（3）存在．分兩種情況討論：當(dāng)為菱形的邊時(shí)，如圖所示②：過(guò)C作于E．∵，∴，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖所示③：過(guò)點(diǎn)C作于E．由題意可知，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解得：，

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見(jiàn)的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．20．（2023·湖南長(zhǎng)沙·校聯(lián)考一模）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)A作線段垂直y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C作線段垂直拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D，我們稱(chēng)矩形為拋物線的“伴隨矩形”．(1)請(qǐng)根據(jù)定義求出拋物線的“伴隨矩形”的面積；(2)已知拋物線的“伴隨矩形”為矩形，若矩形的四邊與直線共有兩個(gè)交點(diǎn)，且與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍；(3)若對(duì)于開(kāi)口向上的拋物線，當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根為，且滿足下列條件：①該拋物線的“伴隨矩形”為正方形；②（其中表示矩形的面積）；③的最小值為．請(qǐng)求出滿足條件的t值．【答案】(1)2(2)(3)t的值為9或【分析】（1）求出，即可得矩形的邊長(zhǎng)分別為1和2，再求面積即可；（2）先求出“伴隨矩形”為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，直線經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，則時(shí)，矩形的四邊與直線共有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)雙曲線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，，則時(shí)，矩形ABCD的四邊與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，故，滿足題意；（3）拋物線的“伴隨矩形”的頂點(diǎn)分別是，，，，由題意可得，，求出，再由，進(jìn)一步確定，根據(jù)韋達(dá)定理得，，則，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得（舍）或（舍）；綜上所述：t的值為9或【詳解】（1）解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴伴隨矩形”的面積；（2）∵，∴“伴隨矩形”為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，直線經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，，解得，直線經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，，解得，∴時(shí)，矩形的四邊與直線共有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)雙曲線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，，∴時(shí)，矩形的四邊與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，∴時(shí)，滿足題意；（3）∵，∴，∴拋物線的“伴隨矩形”的頂點(diǎn)分別是，，，，∵“伴隨矩形”為正方形，∴，∴，∵，∴，∵拋物線開(kāi)口向上，∴，∴，∵方程的兩個(gè)根為x1，x2，∴，∴，∴，∴∴，，∴，∵的最小值為，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得（舍）或（舍）；綜上所述：t的值為9或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，弄清“伴隨矩形”的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2023·山東泰安·寧陽(yáng)二中?？家荒＃┤鐖D，拋物線過(guò)，，三點(diǎn)；點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，且．(1)試求拋物線的表達(dá)式；直接寫(xiě)出拋物線對(duì)稱(chēng)軸和直線的表達(dá)式；(2)過(guò)點(diǎn)作軸并交于點(diǎn)，作軸并交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，請(qǐng)簡(jiǎn)要求出的值．【答案】(1)拋物線解析式為，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，直線為：；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式和直線的表達(dá)式，從而求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；（2）設(shè)，由軸，軸，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，直線為：，得，，進(jìn)而得，由得，解，即可得解；（3）先求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作平分交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，再求得，從而求得設(shè)直線的解析式，聯(lián)立直線為：與拋物線解析式為即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)，，三點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為，∵，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，設(shè)直線：，∵，在上，∴，解得，∴直線為：；（2）解：由點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，且，設(shè)，∵軸，軸，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，直線為：，∴，，∴，∵，∴，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，，∴；（3）解：∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，，，，∴、兩點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，∴，∴，∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，∵、兩點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，∴與關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)，∴，過(guò)點(diǎn)作平分交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，點(diǎn)為所求的點(diǎn)，∵，，，∴，，∴，∵平分交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，，∴，，∴即，設(shè)直線為：，∵直線為：過(guò)，，∴，解得，∴直線為：，聯(lián)立直線為：與拋物線解析式為得，，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)式解題的關(guān)鍵．22．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃┬∶魍瑢W(xué)在探究函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)經(jīng)歷以下幾個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程：（I）列表（完成以下表格）．x…－2－10123456……15800315……15800315…（II）描點(diǎn)并畫(huà)出函數(shù)圖象草圖（在備用圖①中描點(diǎn)并畫(huà)圖）．（Ⅲ）根據(jù)圖象解決以下問(wèn)題：（1）觀察圖象：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象如何變化得到？答：．（2）探究發(fā)現(xiàn)直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，F(xiàn)，，，則不等式的解集是______．（3）設(shè)函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（B位于A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．①求直線的解析式；②探究應(yīng)用：將直線沿y軸平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象恰好有3個(gè)交點(diǎn)，求此時(shí)m的值．【答案】（I）表格見(jiàn)解析；（II）圖象見(jiàn)解析；（Ⅲ）（1）x軸下方的圖象進(jìn)行關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)變換，在x軸上方的圖象不變；（2）或；（3）①；②0或．【分析】（I）將值代入函數(shù)式求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，據(jù)此填表即可得到答案；（II）先描點(diǎn)，再連線即可得到函數(shù)圖象；（Ⅲ）（1）通過(guò)觀察函數(shù)圖象，即可得到答案；（2）作出直線的圖象，結(jié)合圖象即可得到不等式的解集；（3）①先求出函數(shù)與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；②先根據(jù)直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，得到，再根據(jù)直線向上平移，且直線與有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足條件，求出m的值即可得到答案．【詳解】解：（I）表格如下所示：x…－2－10123456……1583003815…（II）根據(jù)（I）中的表格描點(diǎn)，函數(shù)圖像如下所示：（Ⅲ）（1）通過(guò)觀察可知，將函數(shù)在x軸下方的圖象進(jìn)行關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)變換，在x軸上方的圖象不變，即可得到函數(shù)的圖象，故答案為：x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，在x軸上方的圖象不變；（2）如圖，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出直線的圖象，觀察圖象可知，，即函數(shù)在直線上方時(shí)的圖象，直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，F(xiàn)，，，不等式的解集是或，故答案為：或；（3）①函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，令，則，解得：，，B位于A的右側(cè)，，，函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，令，則，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為；②I.當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，如下圖，直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，II觀察圖象可知，平移后的直線與函數(shù)的圖象恰好有3個(gè)交點(diǎn)，直線只能向上平移，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，設(shè)平移后的直線解析式為，此時(shí)直線與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，只有一個(gè)解，，即有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，，，綜上所述，將直線沿y軸平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象恰好有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)m的值為0或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象交點(diǎn)確定不等式解集等知識(shí)，準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．23．（2023·湖北武漢·校考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線恰好經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出，的值；(2)拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，在軸上取點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線向上平移4個(gè)單位，向左平移1個(gè)單位得到拋物線，點(diǎn)在軸上，過(guò)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)，；(2)或(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得：拋物線一定過(guò)點(diǎn)，可得，再令，可得，然后根據(jù)拋物線開(kāi)口向上，可得，從而得到拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可求解；（2）先求出，然后分兩種情況：連接，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線交對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)W，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作交于H，可得是等腰直角三角形，從而得到，進(jìn)而得到，可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；作關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線，交y軸于點(diǎn)K，可得，從而得到點(diǎn)K與點(diǎn)G關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，繼而得到點(diǎn)K的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，即可求解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后的拋物線解析式為，設(shè)點(diǎn)，則可設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)T，則，可得到，再根據(jù)，即可證明．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：拋物線一定過(guò)點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∵拋物線開(kāi)口向上，∴，∴，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴；（2）解：由（1）拋物線的解析式為，令，有，解得：，∴點(diǎn)，令，，∴點(diǎn)，∵，∴，如圖，連接，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線交對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)W，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作交于H，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，令，則，解得：，∴點(diǎn)；如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線，交y軸于點(diǎn)K，∵，∴，∴點(diǎn)K與點(diǎn)G關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，令，則，解得：，∴點(diǎn)；綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；（3）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴平移后的拋物線解析式為，設(shè)點(diǎn)，則可設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立得：，整理得：，∴，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)T，則，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練學(xué)握二次函圖數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)足解題的關(guān)鍵．24．（2023·湖南長(zhǎng)沙·校聯(lián)考二模）如圖1，拋物線（為常數(shù)，）與x軸交于O，A兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)D是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與過(guò)O，A，B三點(diǎn)的相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作的切線交x軸于點(diǎn)E．(1)①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②求證：；(2)如圖2，連接，，，，當(dāng)，時(shí)，①求證：；②求的值．【答案】(1)①；②見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）①令，可得，則點(diǎn)坐標(biāo)可求出；②連接，連接延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)M，由切線的性質(zhì)可證得，則；（2）①由可得，，則，，是等邊三角形，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)分別作、的垂線，交、于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積，得出，則，即可求解．【詳解】（1）解：①令，∴，解得或，∴；②如圖，連接，連接，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)M，∵過(guò)O、A、B三點(diǎn)，B為頂點(diǎn)，∴，，又∵，∴，∵為切線，∴，又∵，∴，∴；（2）解：①如圖，∵，∴，令，可得，∴或，∴，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴；②解：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作、的垂線，交、于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴或（舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與圓的綜合問(wèn)題，考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圓周角定理等知識(shí)．把圓的知識(shí)鑲嵌其中，會(huì)靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．25．（2023·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線交軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，已知．(1)如圖1，求拋物線解析式；(2)如圖2，點(diǎn)是第一象限拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，面積為，試用表示；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的射線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，且，求點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）二次函數(shù)與軸有交點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理，即可求解；（2）由（1）可知點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出直線的解析式，過(guò)點(diǎn)作軸，交于，交軸于，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（3）如圖所示，作軸，，在軸上取一點(diǎn)，使得，可得等腰直角三角形，四邊形是正方形，，，可求出直線，直線的解析式，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，且，設(shè)，，∴，∴兩邊平方得，①，∵，，∴②，∴①②得，，即∴，解得，，∴拋物線的解析式為．（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，交于，交軸于，∵點(diǎn)是第一象限拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∴，令拋物線中，則，解得，或，∴，，且，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上，∴，∴，∵，且，∴．（3）解：如圖所示，作軸，，在軸上取一點(diǎn)，使得，∵，∴等腰直角三角形，∵軸，軸，且，∴四邊形是正方形，即，∴，且，∴，∴，∴，且，∴，且四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴或（舍），∴，∴，且是等腰直角三角形，∴，∴，且，∴，∴，∴，∴∴直線，∵直線，∴，解得，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握二次函數(shù)圖形的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算方法，待定系數(shù)法求解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．限時(shí)檢測(cè)2：最新各地中考真題（90分鐘）1．（2022·福建·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線AB的上方．(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖，OP交AB于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，或（3，4）(3)存在，【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點(diǎn)N．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PM，垂足為E．可得，設(shè)，則．由，解方程求得的值，進(jìn)而即可求解；（3）由已知條件可得，進(jìn)而可得，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別，交于點(diǎn)，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，可得，設(shè)，，則，根據(jù)可得，根據(jù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最大值．(1)解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以拋物線的解析式為．(2)設(shè)直線AB的解析式為，將A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以直線AB的解析式為．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點(diǎn)N．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PM，垂足為E．所以．因?yàn)锳（4，0），B（1，4），所以．因?yàn)椤鱋AB的面積是△PAB面積的2倍，所以，．設(shè)，則．所以，即，解得，．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（3，4）．(3)記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．則如圖，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別，交于點(diǎn)，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，，設(shè)直線AB的解析式為．設(shè)，則整理得時(shí)，取得最大值，最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，第三問(wèn)中轉(zhuǎn)化為線段的比是解題的關(guān)鍵．2．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求此拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在這樣的點(diǎn)（2，1）或或，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形(3)存在點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）或或．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，可得a=-1，再把點(diǎn)代入，即可求解；（2）先求出，設(shè)點(diǎn)N（m，-m+3），可得，，再分三種情況討論：當(dāng)AC=AN時(shí)，當(dāng)AC=CN時(shí)，當(dāng)AN=CN時(shí)，即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)E（1，n），點(diǎn)F（s，t），然后分兩種情況討論：當(dāng)BC為邊時(shí)，當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，即可求解．(1)解：∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴，解得：a=-1，∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得：c=3，∴拋物線解析式為；(2)解：存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．理由如下：令y=0，則，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），∴OA=1，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），即OC=3，∴，設(shè)直線BC的解析式為，把點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)點(diǎn)N（m，-m+3），∴MN=-m+3，AM=m+1，∴，，當(dāng)AC=AN時(shí)，，解得：m=2或0（舍去），∴此時(shí)點(diǎn)N（2，1）；當(dāng)AC=CN時(shí)，，解得：或（舍去），∴此時(shí)點(diǎn)N；當(dāng)AN=CN時(shí)，，解得：，∴此時(shí)點(diǎn)N；綜上所述，存在這樣的點(diǎn)（2，1）或或，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；(3)存在，理由如下：∵點(diǎn)B（3，0），C（0，3），∴OB=OC，∴BC，設(shè)點(diǎn)E（1，n），點(diǎn)F（s，t），當(dāng)BC為邊時(shí)，點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)B，同樣E（F）向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)F（E），且BE=CF（CE=BF），如圖，∴或，解得：或，∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）；當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，BC=EF，且EF與BC的中點(diǎn)重合，如圖，，解得：或，∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；綜上所述，存在點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，并利用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）若關(guān)于x的函數(shù)y，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)，我們不妨把函數(shù)h稱(chēng)之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．(1)①若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值；②若函數(shù)（，k，b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式；(2)若函數(shù)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值；(3)若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①；②時(shí)，，時(shí)，(2)(3)時(shí)，存在【分析】（1）①根據(jù)新定義結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②根據(jù)新定義結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)新定義結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)列出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)新定義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．(1)解：①當(dāng)時(shí)，則，即，，，隨的增大而增大，，②若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，則，，綜上所述，時(shí)，，時(shí)，，(2)解：對(duì)于函數(shù)，，，函數(shù)在第一象限內(nèi)，隨的增大而減小，，解得，當(dāng)時(shí)，，，∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值，最大值為；(3)對(duì)于函數(shù)，，拋物線開(kāi)口向下，時(shí)，隨的增大而增大，時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最大值等于，在時(shí)，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，，，的最小值為（當(dāng)時(shí)），若，解得，但，故不合題意，故舍去；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，，，的最小值為（當(dāng)時(shí)），若，解得，但，故不合題意，故舍去③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，i)當(dāng)時(shí)，即時(shí)對(duì)稱(chēng)軸為，，拋物線開(kāi)口向上，在上，當(dāng)2時(shí)，有最小值，解得ii)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，，，對(duì)稱(chēng)軸為，，拋物線開(kāi)口向上，在上，當(dāng)2時(shí)，有最小值，解得綜上所述，時(shí)，存在．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義，要掌握一次函數(shù)，反比例數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分類(lèi)討論時(shí)，的取值范圍的取舍．4．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是，M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，直線與y軸交于點(diǎn)G．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，N是拋物線上一點(diǎn)，且位于第二象限，連接，記的面積分別為．當(dāng)，且直線時(shí)，求證：點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；(3)如圖2，直線與y軸交于點(diǎn)H，是否存在點(diǎn)M，使得．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)存在，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）如圖．過(guò)點(diǎn)M作軸，垂足為D．當(dāng)與都以為底時(shí)，可得．再求解，，直線的解析式為．直線的解析式為，可得．從而可得答案；（3）過(guò)點(diǎn)M作軸，垂足為E．設(shè)，則．由，可得．同理可得．再利用，建立方程方程即可．(1)解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，∴解得∴該拋物線的解析式為．(2)證明：如圖．過(guò)點(diǎn)M作軸，垂足為D．當(dāng)與都以為底時(shí)，∵，∴．當(dāng)時(shí)，則，解得．∵，∴，∴．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)M在第一象限，∴，∴，∴．設(shè)直線的解析式為，∴解得∴直線的解析式為．設(shè)直線的解析式為，∵直線，∴，∴，∵，∴．∴直線的解析式為，將其代入中，得，∴，解得．∵點(diǎn)N在第二象限，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，∴，∴．∵，∴點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．(3)如圖．存在點(diǎn)M，使得．理由如下：過(guò)點(diǎn)M作軸，垂足為E．∵，∴．∵，∴，∴．在和中，∵，∴，∴．∵，∴，在和中，∵，∴，∴．∵，∴，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．∴存在點(diǎn)，使得．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題關(guān)鍵．5．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)（-2，-4）(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），，【分析】（1）直接將B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（2）先求出直線AB關(guān)系式為：，直線AB平移后的關(guān)系式為：，當(dāng)其與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D距AB最大，此時(shí)△ABD的面積最大，由此即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）分三種情況討論，①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線解析式為：，將A（-4,0）代入得，解得：，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,3）；②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線解析式為：，將B（0，-4）代入得，，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,-5）；③當(dāng)∠APB=90°時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：，由于PA所在直線斜率為：，PB在直線斜率為：，=-1，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：，．(1)解：將B（0，-4），C（2，0）代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為：．(2)向下平移直線AB，使平移后的直線與拋物線只有唯一公共點(diǎn)D時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D到直線AB的距離最大，此時(shí)△ABD的面積最大，∵時(shí)，，，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4,0），設(shè)直線AB關(guān)系式為：，將A（-4,0），B（0，-4），代入，得：，解得：，∴直線AB關(guān)系式為：，設(shè)直線AB平移后的關(guān)系式為：，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即的解為：x=-2，將x=-2代入拋物線解析式得，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-2，-4）時(shí)，△ABD的面積最大；(3)①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線解析式為：，將A（-4,0）代入得，，解得：，∴PA所在直線解析式為：，∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為：x=-1，∴當(dāng)x=-1時(shí)，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3）；②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線解析式為：，將B（0，-4）代入得，，∴PA所在直線解析式為：，∴當(dāng)x=-1時(shí)，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-5）；③當(dāng)∠APB=90°時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴PA所在直線斜率為：，PB在直線斜率為：，∵PA⊥PB，∴=-1，解得：，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：，綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），，時(shí)，△PAB為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)、三角形的綜合，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·海南·中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，交直線于點(diǎn)D．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；(3)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；(4)如圖2，作交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)H在射線上，且，過(guò)的中點(diǎn)K作軸，交拋物線于點(diǎn)I，連接，以為邊作出如圖所示正方形，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，，，1．(4)G(-4+，0)．【分析】（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求解即可；（2）如圖，連接，令，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)確定OC、OB的長(zhǎng)，然后再根據(jù)求解即可；（3）如圖，作軸，交直線于點(diǎn)F，可得，即，進(jìn)一步說(shuō)明當(dāng)最大時(shí)，最大．設(shè)，則，根據(jù)線段的核查運(yùn)算求得PF的最大值；設(shè)點(diǎn)，若是直角三角形，則點(diǎn)Q不能與點(diǎn)P、A重合，∴，再分、、三種情況解答即可．(4)作GL//y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于點(diǎn)W，則△GLC≌CRH，△ITM≌△HWI.根據(jù)?GLC≌?CRH可表示出H點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示出點(diǎn)K坐標(biāo)，進(jìn)而表示出I坐標(biāo)，根據(jù)MT=IW，構(gòu)建方程求得n的值．(1)解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴解得∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．(2)解：如圖，連接，令，∴．∴∵，∴．∴．∴．(3)解：如圖1所示，作軸，交直線于點(diǎn)F，則．∴．∵是定值，∴當(dāng)最大時(shí)，最大．設(shè)，∵，∴．設(shè)，則．∴．∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)．設(shè)點(diǎn)，若是直角三角形，則點(diǎn)Q不能與點(diǎn)P、A重合，∴，下面分三類(lèi)情況討論：若，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．∴．∴．∵，∴．∴．若，如圖3所示，過(guò)點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)，．∴．∴．∵，∴．∴．若，如圖4所示，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．∴．∴．∵，∴．∴．綜上所述，當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，，，1．圖1

圖2

圖3

圖4(4)如圖，作GL//y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于點(diǎn)W，則△GLC≌?CRH，△ITM≌△HWI.RH=OG=-n，CR=GL=OC=3，MT=IW，G(n，0)，H(3，3+n)，+n+3+3)∵TM=IM∴(n+3)2+2(n+3)-12=0，∴n1=-4+，n2=-4-(舍去)∴G(-4+，0)．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何圖形的綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及分類(lèi)討論思想，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)以及分類(lèi)討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接、．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，分別交、軸于點(diǎn)、，當(dāng)中有某個(gè)角的度數(shù)等于度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)；A（-1，0）；(2)存在E（0，3）或（0，-1），使得是以為斜邊的直角三角形；(3)2或【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E（0，m），再根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，，再由勾股定理，即可求解；（3）先求出，再求出直線BC的解析式，然后設(shè)點(diǎn)，則，CF=a，可得，再分三種情況討論：若∠PCM=2∠OBC，過(guò)點(diǎn)C作CF∥x軸交PM于點(diǎn)F；若∠PMC=2∠OBC；若∠CPM=2∠OBC，過(guò)點(diǎn)P作PG平分∠CPM，則∠MPG=∠OBC，即可求解．(1)解：把點(diǎn)和點(diǎn)代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為，令y=0，則，解得：，∴點(diǎn)A（-1，0）；(2)解：存在，理由如下：∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E（0，m），∴，，，∵是以為斜邊的直角三角形，∴，整理得：，解得：或-1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-1）；(3)解：∵點(diǎn)B（4，0），C（0，2），∴OB=4，OC=2，∴，設(shè)直線BC的解析式為，把點(diǎn)B（4，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則，CF=a，∴，若∠PCM=2∠OBC，過(guò)點(diǎn)C作CF∥x軸交PM于點(diǎn)F，如圖甲所示，∴∠FCM=∠OBC，即，∴∠PCF=∠FCM，∵軸，∴CF⊥PQ，∴PM=2FM，∴，∴，解得：解得：a=2或0（舍去），∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2；若∠PMC=2∠OBC，∵∠PMC=∠BMN，∴∠BMN=2∠OBC，∵∠OBC+∠BMN=90°，∴∠OBC=30°，與相矛盾，不合題意，舍去；若∠CPM=2∠OBC，如圖乙所示，過(guò)點(diǎn)P作PG平分∠CPM，則∠MPG=∠OBC，∵∠PMG=∠BMN，∴△PMG∽△BMN，∴∠PGM=∠BNM=90°，∴∠PGC=90°，∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，∴∠PCM=∠PMC，∴PC=PM，∴，解得：或0（舍去），∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或．

圖甲

圖乙【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合題，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想解答是解題關(guān)鍵．8．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求a，b的值；(2)如圖1，點(diǎn)D在該拋物線上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)D向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)E．點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，連接，點(diǎn)F在上，過(guò)點(diǎn)F向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)H，連接交y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線與過(guò)點(diǎn)P所作的x軸的平行線相交于點(diǎn)N，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，點(diǎn)R在上，連接，若，，求直線的解析式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將，代入拋物線中，進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）由（1）得，根據(jù)軸得，，根據(jù)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，得，即可得；（3）過(guò)點(diǎn)C作，交NR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)K作軸于點(diǎn)T，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得，則，根據(jù)軸，軸得，根據(jù)點(diǎn)G為的中點(diǎn)得，根據(jù)AAS得，得，，再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線OA的解析式為，得出，可得，再由得出，，再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BP的解析式為，進(jìn)而推出，證得，進(jìn)而得出，由得，用AAS可證明，求得，設(shè)直線RN的解析式為：，再運(yùn)用待定系數(shù)法即可得．(1)解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，，∴，解得，(2)解：由（1）得，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為∴，∵軸∴，∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，∴，∴；(3)解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作，交NR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)K作軸于點(diǎn)T，∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵軸，軸，∴，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，在和中，∴（AAS），∴，，設(shè)直線OA的解析式為：，將點(diǎn)代入得，，解得，，∴直線OA的解析式：，當(dāng)x=2時(shí)，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵軸，軸，∴，∴，∵，∴，設(shè)直線BP的解析式為，則，解得，，∴直線BP的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴CK=CN，∵，∴，∵，∴，在和中，∴（AAS），∴，，∴，∴，設(shè)直線RN的解析式為：，將點(diǎn)，得，，解得，，∴直線RN的解析式為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定于性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)，能夠添加輔助線構(gòu)造相似三角形或全等三角形．9．（2022·湖北宜昌·中考真題）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線由直線平移得到，與軸交于點(diǎn)．四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，．(1)填空：______，______；(2)若點(diǎn)在第二象限，直線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的最大值；(3)當(dāng)直線與四邊形、拋物線都有交點(diǎn)時(shí)，存在直線，對(duì)于同一條直線上的交點(diǎn)，直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．①當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍；②求的取值范圍．【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，可以取得最大值，最大值為2(3)①的取值范圍為：或；②的取值范圍：【分析】（1）將點(diǎn)，代入函數(shù)解析式得，解之即可；（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)和代入得，求出直線的解析式；再求出直線的解析式為，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得，再由直線與雙曲線有公共點(diǎn)，由直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)得，進(jìn)而可求得；（3）當(dāng)直線與拋物線有交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線的解析式，得，可求得；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；①當(dāng)時(shí)，四邊形的頂點(diǎn)分別為，，，．第一種情況：如第24題圖2，時(shí)，直線與四邊形，拋物線都有交點(diǎn)，且滿足直線與矩形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．第二種情況：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，如24題圖3所示，，解得，，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，如24題圖4所示得，，最終可得的取值范圍為：或．②（Ⅰ）當(dāng)?shù)闹抵饾u增大到使矩形的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，直線與四邊形、拋物線同時(shí)有交點(diǎn)，且同一直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得解得，．（Ⅱ）如圖24題圖5，當(dāng)?shù)闹抵饾u增大到使矩形的頂點(diǎn)在這條開(kāi)口向上的拋物線上（對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)）時(shí)，存在直線（即經(jīng)過(guò)此時(shí)點(diǎn)的直線）與四邊形、拋物線同時(shí)有交點(diǎn)，且同一直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，，解之可求出m；綜合（Ⅰ）到（Ⅱ），得的取值范圍：．(1)將點(diǎn)，代入函數(shù)解析式得解得故答案為：，；(2)設(shè)直線的解析式為，∵直線經(jīng)過(guò)和，∴，解得，∴直線：．∵直線平移得到直線，且直線與軸交于點(diǎn)，∴直線：，∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴．∵直線與雙曲線有公共點(diǎn)，聯(lián)立解析式得：，∴，整理得：，∵直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，即，整理得：，化簡(jiǎn)得：，∴，【注：或得到】∵點(diǎn)在第二象限，∴，解得，．∴當(dāng)時(shí)，可以取得最大值，最大值為2．(3)如24題圖1，當(dāng)直線與拋物線有交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線的解析式.得：，得：，整理得：，∴，即，∴，當(dāng)時(shí)，直線：與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，四邊形的頂點(diǎn)分別為，，，．第一種情況：如第24題圖2，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，此時(shí)與重合.∴時(shí)，直線與四邊形，拋物線都有交點(diǎn)，且滿足直線與矩形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．第二種情況：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，如24題圖3所示.，解得，，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，如24題圖4所示，解得，，∴，綜上所述，的取值范圍為：或．②（Ⅰ）當(dāng)?shù)闹抵饾u增大到使矩形的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，直線與四邊形、拋物線同時(shí)有交點(diǎn)，且同一直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．，解得，．（Ⅱ）如圖24題圖5，當(dāng)?shù)闹抵饾u增大到使矩形的頂點(diǎn)在這條開(kāi)口向上的拋物線上（對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)）時(shí)，存在直線（即經(jīng)過(guò)此時(shí)點(diǎn)的直線）與四邊形、拋物線同時(shí)有交點(diǎn)，且同一直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．，化簡(jiǎn)，得：．解得，（舍），，從（Ⅰ）到（Ⅱ），在的值逐漸增大的過(guò)程中，均存在直線，同時(shí)與矩形、拋物線相交，且對(duì)于同一條直線上的交點(diǎn)，直線與矩形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．綜上所述，的取值范圍：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與反比例函數(shù)、一次函數(shù)的綜合題，屬中考?jí)狠S題，難度大，根據(jù)題中條件正確分類(lèi)是解題關(guān)鍵．10．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．其對(duì)稱(chēng)軸與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求的度數(shù)；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像上，始終存在一點(diǎn)P，使得，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫(xiě)出m的取值范圍．【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；(2)(3)【分析】（1）分別令等于0，即可求得的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求得；（2）方法一：如圖1，連接AE．由解析式分別求得，，．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)H．由方法一，得，．證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程，解方程即可求解；（3）設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在第四象限時(shí)，點(diǎn)Q總在點(diǎn)B的左側(cè)，此時(shí)，即．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，．解方程，得，．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且，∴，．當(dāng)時(shí)，．∴．∴．∵，∴．(2)方法一：如圖1，連接AE．∵，∴，．∴，，．∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴．∴．∴．∵，，∴，即．∵，∴．∴．∵，∴解方程，得．方法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)H．由方法一，得，．∴．∵，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴，即．∵，∴解方程，得．(3)．設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在第四象限時(shí)，點(diǎn)Q總在點(diǎn)B的左側(cè)，此時(shí)，即．∵，∴．，，∴．解得，又，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，角度問(wèn)題，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·四川南充·中考真題）拋物線與x軸分別交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，