2022考研數(shù)學(xué)一真題解析二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)

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來源：文都教導(dǎo)

二階常系數(shù)非齊次微分方程是考研數(shù)學(xué)重要考點，命題形式包括二階常系數(shù)非齊次微分方程求通解、解得結(jié)構(gòu)定理及已知通解求微分方程，2022考研數(shù)學(xué)考查了本學(xué)問點，題目和解析如下：設(shè)

211()23=

+-xxyexe是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程'''++=xyaybyce的一

個特解，則()

A.3,2,1=-==-abc

B.3,2,1===-abc

C.3,2,1=-==abc

D.3,2,1===abc

【答案】A

【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的逆問題——已知解來確定微分方程的系數(shù)，此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是按照二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來求解【解析】由題意可知，212xe、13x

e-為二階常系數(shù)齊次微分方程0yayby'''++=的解，所以

2,1為特征方程20rarb++=的根，從而(12)3a=-+=-，122b=?=，從而原方程變?yōu)?/p>

32xyyyce'''-+=，再將特解xyxe=代入得1c=-.故選（A）

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)與通解此學(xué)問點辦法和公式固定，大家只需按解得結(jié)構(gòu)原理和求通解公式按部就班解答就可以了，下面文都考研數(shù)學(xué)教師幫大家復(fù)習(xí)一下此學(xué)問點。

1.二階常系數(shù)非齊次微分方程定義—形如)(xfqyypy=+'+''（其中qp,為常數(shù)）的方程。

2.通解的結(jié)構(gòu)—)(xfqyypy=+'+''的通解為0=+'+''qyypy的通解與其本身一個特解之和。

3.特解求法：

情形一：

)()(xPexfmxλ=設(shè)方程的特解結(jié)構(gòu)為：

()xyeQxλ*=①當(dāng)λ不是特征根時，

)()(xQxQm=；②當(dāng)λ是特征單根時，)()(xxQxQm=；

③當(dāng)λ是特征重根時，

)()(2xQxxQm=．情形二：

]sin)(cos)([)(xxRxxPexfnLxωωλ+=設(shè)特解結(jié)構(gòu)為：

[()cos()sin]kxmmyxeRxxSxxλωω*=+，其中},{nLMaxm=，①當(dāng)iωλ+不是特征方程的根時，0=k；

②當(dāng)iωλ+是特征方程的根時，1=k；代入原方程