專題141等差數(shù)列及其求和考點講析學生版?zhèn)鋺?zhàn)2020年數(shù)學新高考突破紙間書屋

14.1等差數(shù)列及其求和（考點講析）熱門考點01 數(shù)列的概念與通項數(shù)列中是第幾項.一般記為數(shù)列{an}.an1an1an1Manan數(shù)列的通項如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個 式．即anfn,不是每一個數(shù)列都有通項 數(shù)列anSa

(n

S S

(n【典例1 高 （理）已知數(shù)列an對任意的p，qN*滿足apqapaq，且a26，

【典例2 ）已知數(shù)列{a}和，其中an2，nN*，的項是互不相等 正整數(shù)，若對于任意nN*，的第a項等于{a}的第b項，則lg(b1b4b9b16)

根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關系、規(guī)律， 來求．對于正負符號變化，可用1n根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想．由不完出數(shù)列的一個通項，這是一個難點，在學習中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給的聯(lián)系，從而歸納出構成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項.02 遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列 高二期中（文）已知數(shù)列a中，an2n，若a 取值范圍是

,

,【典例4（2012·高考（理）設，.在中，數(shù)的個數(shù)是 an＋1(a＞0a＜0)1

前n先求出數(shù)列的前nSnSn根據(jù)數(shù)列的通 ，若am0，且am10，則Sm最大；若am0，且am10，則Sm最小，這便可直接利用各項的符號確定最值 由遞推推導通n【典例5 市第二中學高一月考）在數(shù)列a中，a1，n

nN* 1列的通項an，可以是 1 n

2n

n 【典例6（2017·高考（文）設數(shù) 滿 的通項求數(shù) 的前項和遞推推導通項方法an1anfan1

fan1panq（pqpqp1)0q解法：把原遞 轉化為：an1tp(ant)，其中t1p，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解q 待定系數(shù)法： paqn（其中p,q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)0)）.（或 pqr均為常數(shù)解法：在原遞 兩邊同除以qn1，得：an1

pan1，令b

p

1

q

q 0，aan1x(n1yp(anxny，與已知遞推式比較，xy,從而轉化為anxnyp的等比數(shù)列. paan2bnc(p0,1,a n 解法：一般利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即令a x(n1)2y(n1)zp(axn2ynz)，與已知遞推式比較，解出x,y,從而轉化為axn2ynzn an2pan1qan（pq均為常數(shù)解法：先把原遞推轉化為

st滿足stp，再按第（4）stst取倒數(shù)法：

f(n)anan1panq，按第（3）（g(n)ant(n)an1f(n)anan10anan1an1panq取對數(shù) par(p0,

pan1panq，按第（3） 由前n項和推導通項，即an與Sn的關系求通項n2n2,n【典例7（2019·榆林市第二中學高二期中（理）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn2n2n2,n

2n

an

2n-

2n

n＝1n≥2 么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.用遞推表示為anan1d(n2)an1and(n1 ：ana1(n1)d說明：等差數(shù)列（AP數(shù)列）數(shù)列

0d0d

aAbA叫做a與b的等差中項,Aab2aAb成等差數(shù)列

A 2要注意概念中的“2項起”234項起，每一項與它前 B． C． D．

【典例9（2018· 通 ：anpnq(p,q為常數(shù),nN)?an是等差數(shù)列 前n項 ：SAn2Bn(A,B為常數(shù),nN)?a是等差數(shù)列 n n 06n等差數(shù)列的前n和的求和：

n(a1an)

n(n d 【典例10（2019·高考（理）記為等差數(shù) ，則 【典例11（2019·高考理設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn若a2=?3S5=?10則a5= Sn的最小值為 a10d0Sn有最大a10d0SnanSn最值時n的值（nN）則當a10d0，滿an足

nS取最大值，(2)a0d0時，滿足an

的項數(shù)nS取最小值 nn項和：SAn2Bn(AB為常數(shù),nN)為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質，轉化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時利用數(shù)列的單調(diào)性（d0,d0，遞減nan利用數(shù)列中最大項和最小項的求法：求最大項的方法：設an為最大項，則有a ；求最小項的 an法：設a為最小項，則 .只需將等差數(shù)列的前n項和

a 列中最大項和最小項的求法即可等差數(shù)列的通項

a(n1)d及前n項

n(a1an)

n(nd a1dnanSn，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決特殊設法:adaada,ad,ad,a3d.這對已知和,求數(shù)列各項,運算很方便07在等差數(shù)列amnNa

(nm)d，dan

(mn)

n在等差數(shù)列anm，n，p，qN且mnpq時，則2amapaqamap、aq的等差中項.

amanapaq,特殊地，2mpSnS2nSnS3nS2n成等差數(shù)列兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{anbn若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則{kan設數(shù)列{an}d（Ⅰ）若項數(shù)為偶數(shù)，設共有2nS奇-SndS

（Ⅱ）

a

(中間項)；②S奇

apqaqppq,apq0SmnSmSnmnd若{a}與為等差數(shù)列，且前nS

'am

S2m1

S d0a10nSnd0時為遞減數(shù)列，a10nSn有最大值． 高 （文）等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知am1am1am20 ）則 B．

C．

高 （理）若等差數(shù)列{an}滿足a7a8a90,a7a100，則n 時，{an}的前n08【典例15（2018· 市第二中學高一月考設等差數(shù)列an的首項a1及公差d都為整數(shù)前n項和為Sn，若a16，a110，S1477，則所有可能的數(shù)列an的通項 求數(shù)列an的通 Sn是數(shù)列an的前nSn）na10d0Sn有最大a10d0SnanSn最值時n的值（nN）則當a10d0，滿an足

nS取最大值，(2)a0d0時，滿足an

的項數(shù)nS取最小值 n項和：SnAn2Bn(AB為常數(shù),nN)為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質，轉化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時利用數(shù)列的單調(diào)性（d0,d0，遞減anan為最大項，則有a

an法：設a為最小項，則 .只需將等差數(shù)列的前n項和

a 列中最大項和最小項的求法即可滿足Sn0的最小正整數(shù)n的值為（ A． B． C． D．2（2019· 高二期中（理設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2a815a5，則S9等于 m3（2019· 蘭州一中高二期中）已知等差數(shù)列an，anm,amn,則 mA． B． C． D．m 高 文記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a35,a713

高 ）記等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a30，a6a714，則S7 為360，則項數(shù)n為 8（2018· 和為Sn，若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Snam，則d9（2019· 高二期中）若數(shù)列{an}

n2n（nN*則該數(shù)列的通項

an 10.（2013·高考（理）如圖，互不相同的 條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等.設若則數(shù)列的通項是 在數(shù)列aan2knnan1an恒成立，求實數(shù)k 高 （理）記Sn為等差數(shù)列{a