曲線論基本定理

曲線論基本定理第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三一．一般結(jié)果曲線論基本定理

給定區(qū)間

I

(a,b)上的連續(xù)可微函數(shù)`(s)>0和連續(xù)函數(shù)`(s)，則在E3中①存在弧長s參數(shù)化曲線C:r

r(s)，使其曲率函數(shù)(s)`(s)，并且其撓率函數(shù)(s)`(s)；②上述曲線C在合同意義下是唯一的．曲線論基本定理的考慮對(duì)象實(shí)際上是無逗留點(diǎn)的正則曲線；其含義明顯分為存在性和唯一性兩個(gè)方面；其證明將分成若干步驟進(jìn)行．曲線論基本定理證明的過程中在本質(zhì)上需要用到適當(dāng)?shù)奈⒎址匠探M求解的存在唯一性結(jié)果．——只要考慮到曲率、撓率和弧長微元與位置向量微分運(yùn)算的關(guān)系，并注意到Frenet公式．第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三一．一般結(jié)果因此，下面將不加證明地引用關(guān)于齊次線性常微分方程組的解的存在唯一性定理．圍繞著存在性，首先建立并考察聯(lián)立的兩個(gè)齊次線性常微分方程組聯(lián)立方程組中所包含的未知向量函數(shù)組{r(s);e1(s),e2(s),e3(s)}可以理解成由12個(gè)普通未知函數(shù)而構(gòu)成．聯(lián)立方程組在給定的初值條件下有滿足初始條件的唯一解（且在整個(gè)區(qū)間上延拓有定義）．第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三一．一般結(jié)果引理1給定單位正交右手標(biāo)架{r0;T0,N0,B0}，在曲線論基本定理?xiàng)l件下任取一點(diǎn)s0I，則聯(lián)立方程組(6.1)-(6.2)的滿足初始條件{r(s0);e1(s0),e2(s0),e3(s0)}{r0;T0,N0,B0}的唯一解恰好為一條弧長s參數(shù)化曲線C:r

r(s)的Frenet標(biāo)架場．首先證明所討論的解函數(shù)組{r(s);e1(s),e2(s),e3(s)}構(gòu)成單位正交標(biāo)架場．再證明參數(shù)曲線C:r

r(s)為一條弧長s參數(shù)化曲線．進(jìn)一步證明解函數(shù)組{r(s);e1(s),e2(s),e3(s)}是曲線C的Frenet標(biāo)架場．第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三一．一般結(jié)果引理1給定單位正交右手標(biāo)架{r0;T0,N0,B0}，在曲線論基本定理?xiàng)l件下任取一點(diǎn)s0I，則聯(lián)立方程組(6.1)-(6.2)的滿足初始條件{r(s0);e1(s0),e2(s0),e3(s0)}{r0;T0,N0,B0}的唯一解恰好為一條弧長s參數(shù)化曲線C:r

r(s)的Frenet標(biāo)架場．從上述證明過程可以看到，確定曲線的過程可以表現(xiàn)為確定其附屬的標(biāo)架場的過程；從中可以體會(huì)標(biāo)架空間在幾何學(xué)中的合理運(yùn)用．第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三一．一般結(jié)果引理1給定單位正交右手標(biāo)架{r0;T0,N0,B0}，在曲線論基本定理?xiàng)l件下任取一點(diǎn)s0I，則聯(lián)立方程組(6.1)-(6.2)的滿足初始條件{r(s0);e1(s0),e2(s0),e3(s0)}{r0;T0,N0,B0}的唯一解恰好為一條弧長s參數(shù)化曲線C:r

r(s)的Frenet標(biāo)架場．曲線論基本定理

給定區(qū)間

I

(a,b)上的連續(xù)可微函數(shù)`(s)>0和連續(xù)函數(shù)`(s)，則在E3中①存在弧長s參數(shù)化曲線C:r

r(s)，使其曲率函數(shù)(s)`(s)，并且其撓率函數(shù)(s)`(s)；②上述曲線C在合同意義下是唯一的．第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三曲線論基本定理的證明引理1說明存在性結(jié)論①成立．以下證明唯一性結(jié)論②.設(shè)兩條曲線C:r

r(s)和C*:r

r*(s)同時(shí)以s為弧長參數(shù)并具有相同的曲率函數(shù)(s)

*(s)>0和相同的撓率函數(shù)(s)

*(s)；要證這兩條曲線合同．任取定點(diǎn)s0I，這兩條曲線在此對(duì)應(yīng)點(diǎn)的Frenet標(biāo)架分別記為{r(s0);T(s0),N(s0),B(s0)}和{r*(s0);T*(s0),N*(s0),B*(s0)}，則兩個(gè)標(biāo)架之間相差的正交變換對(duì)應(yīng)于一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng):E3E3．由于弧長、曲率和撓率在剛體運(yùn)動(dòng)下都不變，故不妨設(shè)C*在下的像(C*)在點(diǎn)s0處的Frenet標(biāo)架重合于{r(s0);T(s0),N(s0),B(s0)}．再由引理1，可知(C*)與C重合；此即C*與C合同，結(jié)論得證．□第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三一．一般結(jié)果曲線論基本定理說明，無逗留點(diǎn)曲線的曲率>0和撓率分別作為弧長s的函數(shù)而共同確定了不計(jì)位置意義下的唯一一條曲線；因而，函數(shù)組

(s)>0,

(s)通常稱為曲線的內(nèi)在方程或自然方程．一般而言，從內(nèi)在方程出發(fā)而去確定參數(shù)方程往往是比較困難的，因?yàn)橥ǔＲ獨(dú)w結(jié)為求解曲線論基本方程的通解或特解．當(dāng)然，對(duì)于已知內(nèi)在方程的曲線，有時(shí)就可以采取反驗(yàn)的方法確定其參數(shù)方程全體．例1已知曲線C具有常值曲率

0>0和常值撓率

0

0，試確定其參數(shù)方程．第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三二．平面曲線的相對(duì)曲率平面曲線在非逗留點(diǎn)處的撓率恒為零，故而按照曲線論基本定理，有更為簡單的內(nèi)在方程．一個(gè)不容忽視的事實(shí)是，在逗留點(diǎn)及其附近并沒有找到能夠確定空間曲線的一般的完全不變量系統(tǒng)．當(dāng)然，處處為逗留點(diǎn)的曲線只能是直線．觀察第一章圖1-5以及相關(guān)例題可見，空間曲線在逗留點(diǎn)附近有可能具有相當(dāng)任意的“自由度”——允許單側(cè)相差圍繞逗留點(diǎn)處切線的旋轉(zhuǎn)；而圖2-10所示的平面曲線在孤立逗留點(diǎn)附近只有有限的“自由度”——允許單側(cè)相差關(guān)于逗留點(diǎn)處切線的反射．第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三二．平面曲線的相對(duì)曲率平面曲線在非逗留點(diǎn)處，有更為簡單的內(nèi)在方程．在逗留點(diǎn)及其附近并沒有找到能夠確定空間曲線的一般的完全不變量系統(tǒng)．處處為逗留點(diǎn)的曲線是直線．空間曲線在逗留點(diǎn)附近有可能具有相當(dāng)任意的“自由度”；而平面曲線在孤立逗留點(diǎn)附近只有有限的“自由度”．這種行為的直觀表現(xiàn)，就是曲線在逗留點(diǎn)處“迷失”了方向；其解析表現(xiàn)，就是曲線的Frenet標(biāo)架在逗留點(diǎn)處沒有定義，并且其在逗留點(diǎn)兩側(cè)的單側(cè)極限有可能不相等．如果想象曲線在三維空間內(nèi)被弧長、曲率、撓率三個(gè)量“限定”，那么，平面曲線將被弧長、曲率“限定”，一般固定曲面上的任意曲線也將被弧長和另外一個(gè)幾何量“限定”．第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三二．平面曲線的相對(duì)曲率平面曲線在非逗留點(diǎn)處，有更為簡單的內(nèi)在方程．在逗留點(diǎn)及其附近并沒有找到能夠確定空間曲線的一般的完全不變量系統(tǒng)．處處為逗留點(diǎn)的曲線是直線．空間曲線在逗留點(diǎn)附近有可能具有相當(dāng)任意的“自由度”；而平面曲線在孤立逗留點(diǎn)附近只有有限的“自由度”．下面將完善平面曲線的完全不變量系統(tǒng)，而曲面上曲線的相關(guān)討論將在第六章深入進(jìn)行．在所在的平面上，平面曲線在每一點(diǎn)處有唯一的一條法線（即過該點(diǎn)且垂直于切線的直線）；其連續(xù)可微的單位法向量場可由單位切向和所在平面的定向如下確定．第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三二．平面曲線的相對(duì)曲率下面將完善平面曲線的完全不變量系統(tǒng)．在所在的平面上，平面曲線在每一點(diǎn)處有唯一的一條法線（即過該點(diǎn)且垂直于切線的直線）；其連續(xù)可微的單位法向量場可由單位切向和所在平面的定向如下確定．不妨考慮右手直角坐標(biāo)系Oxyz下坐標(biāo)平面xOy之上的弧長參數(shù)化曲線

C:r

r(s)，其參數(shù)方程簡記為r(s)(x(s),y(s))；則其單位切向T(s)(x(s),y(s))．第十二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三二．平面曲線的相對(duì)曲率定義1給定二階連續(xù)可微的弧長s參數(shù)化平面曲線C:r

=

r(s)=(x(s),y(s))=

x(s)i

+y(s)j，其中{i,j,k}為E3的單位正交右手系的基向量，稱x軸的正向i到C的單位切向T的有向夾角為C的有向切線方向角，簡稱切向角，即對(duì)有(6.10)T(s)=(x(s),y(s))=(cos(s),sin(s)).從局部來看，C的切向角函數(shù)在C的任一點(diǎn)的附近總可取到可微的單值支，這只要注意到局部總可取之為多值函數(shù)Arctan(y/x)或Arccot(x/y)的單值支．第十三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三二．平面曲線的相對(duì)曲率在C的可以取到可微切向角函數(shù)的局部，利用可微性可以獲得許多方便．此時(shí)，(6.10)式對(duì)弧長參數(shù)求導(dǎo)，得曲率向量(6.11)T

(s)=

(s)(sin(s),cos(s))

=

(s)(

y(s),x(s)).定義2對(duì)上述平面曲線C，分別稱(6.12)Nr

=(cos(

+/2),sin(

+/2))=(y(s),x(s)),(6.13)r

=

(s)為C的相對(duì)主法向和相對(duì)曲率．(6.10)T(s)=(x(s),y(s))=(cos(s),sin(s)).C的切向角函數(shù)在C的任一點(diǎn)的附近總可取到可微的單值支．第十四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三二．平面曲線的相對(duì)曲率顯然，此時(shí)曲率是相對(duì)曲率的絕對(duì)值；相對(duì)主法向在逗留點(diǎn)仍然有定義，并且使{T,Nr}與所在平面的定向相符，即TNr

ij

k．相對(duì)曲率是平面上剛體運(yùn)動(dòng)（即平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的有限次復(fù)合）的不變量；而切向角不是（參見習(xí)題），但可以“控制”．(6.10)T(s)=(x(s),y(s))=(cos(s),sin(s)).(6.11)T

(s)=

(s)(sin(s),cos(s))=

(s)(

y(s),x(s)).定義2對(duì)上述平面曲線C，分別稱(6.12)Nr

=(cos(

+/2),sin(

+/2))=(y(s),x(s)),(6.13)r

=

(s)為C的相對(duì)主