恒成立問題常見類型及解法

恒成立問題常見類型及解法當(dāng)前第1頁\共有37頁\編于星期一\0點5、不等式恒成立問題高考命題中，不等式恒成立問題往往結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)同題考查，單獨考查的較少，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的題目難度大、分值高，要引起我們的足夠重視。6、不等式與其他知識的結(jié)合細(xì)解命題特點當(dāng)前第2頁\共有37頁\編于星期一\0點轉(zhuǎn)化思想——解答不等式恒成立問題求解不等式恒成立問題的常用方法：(1)分離參數(shù)法：通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題求解.(2)函數(shù)思想：轉(zhuǎn)化為求含參數(shù)的函數(shù)的最值問題求解.(3)數(shù)形結(jié)合思想：轉(zhuǎn)化為兩熟悉函數(shù)圖象間的上下關(guān)系求解.當(dāng)前第3頁\共有37頁\編于星期一\0點解答過程中應(yīng)注意的問題：(1)分離參數(shù)時應(yīng)注意系數(shù)符號對不等號的影響.(2)應(yīng)用函數(shù)方法求解時，所使用的函數(shù)一般為二次函數(shù).(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法求解時，應(yīng)注意圖象最高點或最低點處函數(shù)值的大小關(guān)系.當(dāng)前第4頁\共有37頁\編于星期一\0點在高三復(fù)習(xí)中經(jīng)常遇到不等式恒成立問題。這類問題求解的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法求解。解題過程本身滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，另外不等式恒成立問題大多要利用到一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。當(dāng)前第5頁\共有37頁\編于星期一\0點恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：（1）一次函數(shù)型；（2）二次函數(shù)型；（3）變量分離型；（4）利用函數(shù)的性質(zhì)求解；（5）直接根據(jù)函數(shù)的圖象求解；（6）反證法求解。下面分別舉例示之。當(dāng)前第6頁\共有37頁\編于星期一\0點一、一次函數(shù)型當(dāng)前第7頁\共有37頁\編于星期一\0點典例導(dǎo)悟當(dāng)前第8頁\共有37頁\編于星期一\0點二、二次函數(shù)型當(dāng)前第9頁\共有37頁\編于星期一\0點典例導(dǎo)悟當(dāng)前第10頁\共有37頁\編于星期一\0點當(dāng)前第11頁\共有37頁\編于星期一\0點三、變量分離型【理論闡釋】

若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。當(dāng)前第12頁\共有37頁\編于星期一\0點典例導(dǎo)悟當(dāng)前第13頁\共有37頁\編于星期一\0點當(dāng)前第14頁\共有37頁\編于星期一\0點【理論闡釋】

若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對一切定義域中的x,f(-x)=－f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函數(shù)y=f(x)的周期為T，則對一切定義域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函數(shù)圖象平移前后互相重合，則函數(shù)解析式相等。四、利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題當(dāng)前第15頁\共有37頁\編于星期一\0點典例導(dǎo)悟當(dāng)前第16頁\共有37頁\編于星期一\0點當(dāng)前第17頁\共有37頁\編于星期一\0點五、 把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題【理論闡釋】

若把不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出不等號兩邊對應(yīng)函數(shù)的圖象，這樣就把一個很難解決的不等式的問題轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)圖象解決的問題，然后從圖象中尋找條件，就能解決問題。當(dāng)前第18頁\共有37頁\編于星期一\0點典例導(dǎo)悟當(dāng)前第19頁\共有37頁\編于星期一\0點當(dāng)前第20頁\共有37頁\編于星期一\0點當(dāng)前第21頁\共有37頁\編于星期一\0點六、采用逆向思維，考慮使用反證法【理論闡釋】

恒成立問題有時候從正面很難入手，這時如果考慮問題的反面，有時會有“柳暗花明又一村”的效果，所謂“正難則反”就是這個道理。當(dāng)前第22頁\共有37頁\編于星期一\0點典例導(dǎo)悟當(dāng)前第23頁\共有37頁\編于星期一\0點當(dāng)前第24頁\共有37頁\編于星期一\0點【典例】設(shè)函數(shù)對任意x∈［1,+∞),f(mx)+mf(x)＜0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_______.【解題指導(dǎo)】轉(zhuǎn)化為具體不等式后，再通分轉(zhuǎn)化為整式不等式，最后分類討論.【規(guī)范解答】∵x∈［1,+∞),f(mx)+mf(x)＜0,∴∴即mx［2m2x2-(1+m2)］＜0.當(dāng)前第25頁\共有37頁\編于星期一\0點由f(mx)+mf(x)＜0在x∈［1,+∞)上恒成立知，mx［2m2x2-(1+m2)］＜0在x∈［1,+∞)上恒成立,∴m≠0.當(dāng)m＜0時，只要2m2x2-(1+m2)＞0恒成立即可,即∵x∈［1,+∞),∴當(dāng)前第26頁\共有37頁\編于星期一\0點∴m2＞1,∴m＜-1.當(dāng)m＞0時，只要2m2x2-(1+m2)＜0恒成立即可,即∵x∈［1,+∞),∴不恒成立.綜上，實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1).答案：(-∞,-1)當(dāng)前第27頁\共有37頁\編于星期一\0點7．（2010·山東高考）若對任意x＞0,恒成立，則a的取值范圍是______．【解題提示】將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題.【解析】因為x＞0，所以（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號），所以有即的最大值為故a≥答案:［)當(dāng)前第28頁\共有37頁\編于星期一\0點【方法技巧】不等式恒成立問題的解題方法1.不等式的恒成立問題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系，解決不等式恒成立問題，通常先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為最值問題來解：c≥f(x)恒成立c≥f(x)max;c≤f(x)恒成立c≤f(x)min.2.高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問題，通常采用導(dǎo)數(shù)法解決.當(dāng)前第29頁\共有37頁\編于星期一\0點【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對于滿足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,求實數(shù)a的取值范圍.【解題指南】解答本題可以有兩條途徑：(1)分a＞0,a＜0,a=0三種情況,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min＞0,從而求出a的取值范圍；(2)將參數(shù)a分離得然后求的最大值即可.當(dāng)前第30頁\共有37頁\編于星期一\0點【規(guī)范解答】方法一：當(dāng)a＞0時,由f(x)＞0,x∈(1,4)得：或或∴或或∴當(dāng)前第31頁\共有37頁\編于星期一\0點當(dāng)a＜0時,解得a∈?;當(dāng)a=0時,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合題意.綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是方法二：由f(x)＞0,即ax2-2x+2＞0,x∈(1,4),得在(1,4)上恒成立.令∴g(x)max=g(2)=,所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立,只要a＞即可.當(dāng)前第32頁\共有37頁\編于星期一\0點【反思·感悟】1.一元二次不等式問題及一元二次方程解的確定與應(yīng)用問題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題求解，但要注意討論.2.關(guān)于不等式的恒成立問題,能用分離參數(shù)法，盡量用.因為該法可以避開頻繁地對參數(shù)的討論.當(dāng)前第33頁\共有37頁\編于星期一\0點4.(2010·新課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍【解題提示】在第(1)問中先把a(bǔ)=0代入，然后通過求導(dǎo)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)求得單調(diào)區(qū)間，解決第(2)問的關(guān)鍵是從當(dāng)x≥0時f(x)≥0入手，結(jié)合函數(shù)的解析式聯(lián)合求解，通過判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)找到分界點進(jìn)行討論.當(dāng)前第34頁\共有37頁\編于星期一\0點【解析】(1)a=0時，f(x)=ex-1-x，f′(x)=ex-1.當(dāng)x∈(-∞,0)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(0,+∞)時，f′(x)＞0.故f(x)在(-∞,0)單調(diào)減少，在(0,+∞)單調(diào)增加.(2)f′(x)=ex-1-2ax，由(1)知ex≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,從而當(dāng)1-2a≥0，即a≤時，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)=0，于是當(dāng)x≥0時，f(x)≥0.由ex＞1+x(x≠0)可得e-x＞1-x(x≠0).當(dāng)前第35頁\共有37頁\編