實驗 怎樣計算圓周率

實驗怎樣計算圓周率第一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二實驗2怎樣計算圓周率一、實驗?zāi)康谋緦嶒炛饕婕皵?shù)值積分法、Taylor級數(shù)法和MonteCarlo法，要求嘗試利用所知道的數(shù)學知識來進行近似計算。第二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二二、實際問題眾所周知，圓周率是平面上圓的周長與直徑之比，它等于3.1415926…。古代人把3作為它的近似值。古希臘阿基米德（Archimedes）曾得到。我國宋代的祖沖之得到的近似值（約率）和

（密率），后者化為小數(shù)后等于3.141592…，與的準確值的誤差在以下。第三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二但是，你是否知道怎樣計算的近似值？是否嘗試過利用所知道的數(shù)學知識來計算的近似值，自己當一回阿基米德或祖沖之？我們建議了下面幾種方法。這些方法很簡單，一學就會，你不妨在計算機上試一試，體驗一下自己得到值時的喜悅。相信你學會這些方法之后不會滿足于只用來計算，而會利用它們來做別的事情。你也可以自己想出一些別的方法來計算。當然，現(xiàn)在有更快更好的方法計算，可以計算出的十萬位以上的近似值。但這些方法就不那么簡單了，不可能在這里介紹。如果有興趣，可以從別的資料去了解。但是，你是否知道怎樣計算的近似值？是否嘗試過利用所知道的數(shù)學知識來計算的近似值，自己當一回阿基米德或祖沖之？我們建議了下面幾種方法。這些方法很簡單，一學就會，你不妨在計算機上試一試，體驗一下自己得到值時的喜悅。相信你學會這些方法之后不會滿足于只用來計算，而會利用它們來做別的事情。你也可以自己想出一些別的方法來計算。當然，現(xiàn)在有更快更好的方法計算，可以計算出的十萬位以上的近似值。但這些方法就不那么簡單了，不可能在這里介紹。如果有興趣，可以從別的資料去了解。第四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二三、預(yù)備知識1.數(shù)值積分法定積分

計算出這個積分的數(shù)值，也就得到了的值。一般地，要計算定積分，也就是計算曲線與直線所圍成的曲邊梯形T的面積。

第五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二為此，用一組平行于y軸的直線

將曲邊梯形T分成n個小曲邊梯形，總面積S分成這些小曲邊梯形的面積之和。如果取n很大，使每個小曲邊梯形的寬度都很小，可以將它上方的邊界近似看成直線段，將每個小曲邊梯形近似地當作梯形來求面積，就得到梯形公式。如果更準確些，將每個小曲邊梯形的上邊界近似地看作拋物線段，就得到辛普森公式。具體公式如下：第六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二梯形公式：設(shè)分點將積分區(qū)間n等分，即，所有的曲邊梯形的寬度都是，記，則第i個曲邊梯形的面積近似地等于梯形面積，將所有這些梯形面積加起來就得到

這就是梯形公式。第七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二Simpson公式：仍用分點將積分區(qū)間分成n等分，再作每個小區(qū)間

的中點，將第i個小曲邊梯形的上邊界近似地看作經(jīng)過三點的拋物線段，則可求得其中，于是得到這就是Simpson公式。第八頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二2.Taylor級數(shù)法利用反正切函數(shù)的Taylor級數(shù)

計算。將代入上面的級數(shù)可以得到這似乎可以用來計算。但是，這個無窮級數(shù)應(yīng)當比1小，最好是遠比1小。

不實用。要使Taylor級數(shù)收斂快，收斂太慢，比如，得較快。但算出它的值對計算有何幫助呢？

就收斂也就是說：與有什么關(guān)系呢？

第九頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二我們有，由正切的倍角公式可得，，?？梢杂米鬟@還不夠準確。我們把誤差求出來對進行修正。由及可求得的近似值。但，

于是得到第十頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二這稱為Maqin公式，利用的Taylor展開式，的近似值，就可以由Maqin

由于是交錯級數(shù)，當|x|<1時，可以簡單地用來估計截斷誤差。求出公式求出的近似值。Taylor級數(shù)是無窮級數(shù)，實際計算時必然只能取它的前n項，導(dǎo)致截斷誤差第十一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二3.MonteCarlo法單位圓的面積等于在平面直角坐標系中，以。可以用數(shù)值積分公式來計算這個面積的近似值。另一個方法是用MonteCarlo法，即用隨機投點的方法來求這個面積的近似值。具體方法如下：，，，為四個頂點作一個正方形，其面積。是圓心角為直角的扇形，面積為以原點O為圓心的單位圓在這個正方形內(nèi)的部分。在這個正方形內(nèi)隨機地投入n個點，設(shè)其中有m個點落在該扇形內(nèi)，則第十二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二

，隨機投點可以這樣來實現(xiàn)：任意產(chǎn)生區(qū)間[0，1]內(nèi)的一組隨機數(shù)x，y，則（x，y）就代表一個隨機點P的坐標，這個點落在扇形內(nèi)的充分必要條件是。另一種用MonteCarlo法來計算的方法是其步驟如下：1777年法國數(shù)學家Buffon提出的隨機擲針實驗。第十三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二特別取針的長度時，。（1）取一張白紙，在上面畫許多間距為d的等距平行線；（2）取一根長度為l（l<d）的均勻直針，隨機地向畫有平行線的紙上擲去，一共擲n次（n是一個很大的整數(shù)），觀察針和直線相交的次數(shù)m；（3）由分析知道針和直線相交的概率，取為p的近似值，則第十四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二四、實驗任務(wù)1.選取不同的n，用梯形公式和Simpson公式計算

的近似值。2.誤差的實際觀察：選取，10000，100000，…等，觀察n值的增加所導(dǎo)致的S值的變化情況，直到n的增加所導(dǎo)致的S的變化小于給定的誤差界。比較同一個n值下梯形公式和Simpson公式計算結(jié)果的差別，對兩個方法的精度差別獲得一個感性認識。3.誤差的理論分析：參考教材或參考資料，從理論上分析計算誤差與n的關(guān)系，與實際觀察結(jié)果相比較。第十五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二4.半徑為1的圓的面積等于。用數(shù)值積分法計算這個面積。5.利用Maqin公式，計算的近似值到給定的精度，與數(shù)值積分法得到的結(jié)果比較。如果要計算的前15位數(shù)字，計算和

應(yīng)當取到冪級數(shù)展開式的多少項？取幾千或幾萬項是否就能得到高精度的值？6.取不同的n用MonteCarlo法，將所得的的近似值記錄下來，與已知的的值比較。第十六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二7.觀察n的大小對所得結(jié)果的精度的影響?？梢钥吹剑簄太小，精度太差。但如果n太大，從計算機上所得的不是真正的隨