實(shí)驗(yàn) 怎樣計(jì)算圓周率

實(shí)驗(yàn)怎樣計(jì)算圓周率第一頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二實(shí)驗(yàn)2怎樣計(jì)算圓周率一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)主要涉及數(shù)值積分法、Taylor級(jí)數(shù)法和MonteCarlo法，要求嘗試?yán)盟赖臄?shù)學(xué)知識(shí)來(lái)進(jìn)行近似計(jì)算。第二頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、實(shí)際問(wèn)題眾所周知，圓周率是平面上圓的周長(zhǎng)與直徑之比，它等于3.1415926…。古代人把3作為它的近似值。古希臘阿基米德（Archimedes）曾得到。我國(guó)宋代的祖沖之得到的近似值（約率）和

（密率），后者化為小數(shù)后等于3.141592…，與的準(zhǔn)確值的誤差在以下。第三頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二但是，你是否知道怎樣計(jì)算的近似值？是否嘗試過(guò)利用所知道的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)計(jì)算的近似值，自己當(dāng)一回阿基米德或祖沖之？我們建議了下面幾種方法。這些方法很簡(jiǎn)單，一學(xué)就會(huì)，你不妨在計(jì)算機(jī)上試一試，體驗(yàn)一下自己得到值時(shí)的喜悅。相信你學(xué)會(huì)這些方法之后不會(huì)滿足于只用來(lái)計(jì)算，而會(huì)利用它們來(lái)做別的事情。你也可以自己想出一些別的方法來(lái)計(jì)算。當(dāng)然，現(xiàn)在有更快更好的方法計(jì)算，可以計(jì)算出的十萬(wàn)位以上的近似值。但這些方法就不那么簡(jiǎn)單了，不可能在這里介紹。如果有興趣，可以從別的資料去了解。但是，你是否知道怎樣計(jì)算的近似值？是否嘗試過(guò)利用所知道的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)計(jì)算的近似值，自己當(dāng)一回阿基米德或祖沖之？我們建議了下面幾種方法。這些方法很簡(jiǎn)單，一學(xué)就會(huì)，你不妨在計(jì)算機(jī)上試一試，體驗(yàn)一下自己得到值時(shí)的喜悅。相信你學(xué)會(huì)這些方法之后不會(huì)滿足于只用來(lái)計(jì)算，而會(huì)利用它們來(lái)做別的事情。你也可以自己想出一些別的方法來(lái)計(jì)算。當(dāng)然，現(xiàn)在有更快更好的方法計(jì)算，可以計(jì)算出的十萬(wàn)位以上的近似值。但這些方法就不那么簡(jiǎn)單了，不可能在這里介紹。如果有興趣，可以從別的資料去了解。第四頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、預(yù)備知識(shí)1.數(shù)值積分法定積分

計(jì)算出這個(gè)積分的數(shù)值，也就得到了的值。一般地，要計(jì)算定積分，也就是計(jì)算曲線與直線所圍成的曲邊梯形T的面積。

第五頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二為此，用一組平行于y軸的直線

將曲邊梯形T分成n個(gè)小曲邊梯形，總面積S分成這些小曲邊梯形的面積之和。如果取n很大，使每個(gè)小曲邊梯形的寬度都很小，可以將它上方的邊界近似看成直線段，將每個(gè)小曲邊梯形近似地當(dāng)作梯形來(lái)求面積，就得到梯形公式。如果更準(zhǔn)確些，將每個(gè)小曲邊梯形的上邊界近似地看作拋物線段，就得到辛普森公式。具體公式如下：第六頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二梯形公式：設(shè)分點(diǎn)將積分區(qū)間n等分，即，所有的曲邊梯形的寬度都是，記，則第i個(gè)曲邊梯形的面積近似地等于梯形面積，將所有這些梯形面積加起來(lái)就得到

這就是梯形公式。第七頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二Simpson公式：仍用分點(diǎn)將積分區(qū)間分成n等分，再作每個(gè)小區(qū)間

的中點(diǎn)，將第i個(gè)小曲邊梯形的上邊界近似地看作經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的拋物線段，則可求得其中，于是得到這就是Simpson公式。第八頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.Taylor級(jí)數(shù)法利用反正切函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)

計(jì)算。將代入上面的級(jí)數(shù)可以得到這似乎可以用來(lái)計(jì)算。但是，這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)應(yīng)當(dāng)比1小，最好是遠(yuǎn)比1小。

不實(shí)用。要使Taylor級(jí)數(shù)收斂快，收斂太慢，比如，得較快。但算出它的值對(duì)計(jì)算有何幫助呢？

就收斂也就是說(shuō)：與有什么關(guān)系呢？

第九頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二我們有，由正切的倍角公式可得，，?？梢杂米鬟@還不夠準(zhǔn)確。我們把誤差求出來(lái)對(duì)進(jìn)行修正。由及可求得的近似值。但，

于是得到第十頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二這稱為Maqin公式，利用的Taylor展開式，的近似值，就可以由Maqin

由于是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng)|x|<1時(shí)，可以簡(jiǎn)單地用來(lái)估計(jì)截?cái)嗾`差。求出公式求出的近似值。Taylor級(jí)數(shù)是無(wú)窮級(jí)數(shù)，實(shí)際計(jì)算時(shí)必然只能取它的前n項(xiàng)，導(dǎo)致截?cái)嗾`差第十一頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.MonteCarlo法單位圓的面積等于在平面直角坐標(biāo)系中，以。可以用數(shù)值積分公式來(lái)計(jì)算這個(gè)面積的近似值。另一個(gè)方法是用MonteCarlo法，即用隨機(jī)投點(diǎn)的方法來(lái)求這個(gè)面積的近似值。具體方法如下：，，，為四個(gè)頂點(diǎn)作一個(gè)正方形，其面積。是圓心角為直角的扇形，面積為以原點(diǎn)O為圓心的單位圓在這個(gè)正方形內(nèi)的部分。在這個(gè)正方形內(nèi)隨機(jī)地投入n個(gè)點(diǎn)，設(shè)其中有m個(gè)點(diǎn)落在該扇形內(nèi)，則第十二頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

，隨機(jī)投點(diǎn)可以這樣來(lái)實(shí)現(xiàn)：任意產(chǎn)生區(qū)間[0，1]內(nèi)的一組隨機(jī)數(shù)x，y，則（x，y）就代表一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)P的坐標(biāo)，這個(gè)點(diǎn)落在扇形內(nèi)的充分必要條件是。另一種用MonteCarlo法來(lái)計(jì)算的方法是其步驟如下：1777年法國(guó)數(shù)學(xué)家Buffon提出的隨機(jī)擲針實(shí)驗(yàn)。第十三頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二特別取針的長(zhǎng)度時(shí)，。（1）取一張白紙，在上面畫許多間距為d的等距平行線；（2）取一根長(zhǎng)度為l（l<d）的均勻直針，隨機(jī)地向畫有平行線的紙上擲去，一共擲n次（n是一個(gè)很大的整數(shù)），觀察針和直線相交的次數(shù)m；（3）由分析知道針和直線相交的概率，取為p的近似值，則第十四頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二四、實(shí)驗(yàn)任務(wù)1.選取不同的n，用梯形公式和Simpson公式計(jì)算

的近似值。2.誤差的實(shí)際觀察：選取，10000，100000，…等，觀察n值的增加所導(dǎo)致的S值的變化情況，直到n的增加所導(dǎo)致的S的變化小于給定的誤差界。比較同一個(gè)n值下梯形公式和Simpson公式計(jì)算結(jié)果的差別，對(duì)兩個(gè)方法的精度差別獲得一個(gè)感性認(rèn)識(shí)。3.誤差的理論分析：參考教材或參考資料，從理論上分析計(jì)算誤差與n的關(guān)系，與實(shí)際觀察結(jié)果相比較。第十五頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.半徑為1的圓的面積等于。用數(shù)值積分法計(jì)算這個(gè)面積。5.利用Maqin公式，計(jì)算的近似值到給定的精度，與數(shù)值積分法得到的結(jié)果比較。如果要計(jì)算的前15位數(shù)字，計(jì)算和

應(yīng)當(dāng)取到冪級(jí)數(shù)展開式的多少項(xiàng)？取幾千或幾萬(wàn)項(xiàng)是否就能得到高精度的值？6.取不同的n用MonteCarlo法，將所得的的近似值記錄下來(lái)，與已知的的值比較。第十六頁(yè)，共十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二7.觀察n的大小對(duì)所得結(jié)果的精度的影響?？梢钥吹剑簄太小，精度太差。但如果n太大，從計(jì)算機(jī)上所得的不是真正的隨