2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期題型歸納與分階培優(yōu)練08直線與圓綜合大題歸類（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

專題8直線與圓綜合大題歸類

目錄

【題型一】圓大題基礎(chǔ)：軌跡一圓.................................................................1

【題型二】圓大題基礎(chǔ)：軌跡一直線..............................................................3

【題型三】直線與圓：韋達(dá)定理型................................................................5

【題型四】直線與圓：定點.......................................................................7

【題型五】直線與圓：定值.......................................................................9

【題型六】直線與圓：定直線....................................................................11

【題型七】探索性、存在性題型..................................................................12

【題型八】面積與最值..........................................................................14

【題型九】直線與圓的應(yīng)用題....................................................................16

【題型十】....................................................................錯誤!未定義書簽。

【題型十一】..................................................................錯誤!未定義書簽。

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練......................................................................20

培優(yōu)第二階——能力提升練......................................................................26

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練......................................................................32

【題型一】圓大題基礎(chǔ)：軌跡-圓

【典例分析】

(2021?全國?高二課時練習(xí))已知A(3,3),點B是圓N+y2=i上的動點，點朋是線段AB

上靠近4的三等分點，則點M的軌跡方程是()

A.(%-2)2+(y-2)2=lB.(%-2)2+(y+2)2=l

C.(x-3)2+(y-3)2=1D.(x-3>+(y+3)2=!

【答案】A

【分析】通過定比分點坐標(biāo)公式，用M的坐標(biāo)表示8,把8的坐標(biāo)代入圓的方程，整理可

得點M的軌跡方程.

【詳解】設(shè)M點的坐標(biāo)(x,y),B(a,b),因為點M是線段AB上靠近A的三等分點，所

以a=3x-6,b=3y-6,又點B是圓/+)2=i上的動點，所以8的坐標(biāo)適合圓的方程，即

(X-2)2+(J-2)2=1

故選：A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.特別是類似阿波羅尼斯圓這類型。

②定義法：根據(jù)圓定義列方程.

③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.

④代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國?高二課時練習(xí))已知直線4：3-y-3"+1=°與4：X+沖-3m-1=°相交于

點P,線段AB是圓C：(x+l)2+(y+T=4的一條動弦，且1鉆1=2,則IP4+P8I的最小值

是()

A.2近-拒B.4a-2G

C.272-1D.4^2-2

【答案】B

【分析】由已知得到44過定點(3,1),4過定點(1，3),從而得到點P軌跡為圓

(x-2y+(y-2)2=2,作線段先求得CD,求得歸。|的最小值，再由

|P4+PB|=2|PD|可得答案.

【詳解】設(shè)圓C的半彳仝為4,直線《：”就一)，-3m+1=0與4：x+sy-3〃Ll=。亞直,

又4過定點(3,1),過定點(1,3),從而得到點尸軌跡為圓(x-2)2+(y-2)2=2,

設(shè)圓心為〃，半徑為4，作垂直線段CDJ_A3,則==&，

」「0mhi=1CM|-4-弓=30-百-&=20-6，阿+■=2|叫

.■\PA+PB\的最小值為4忘-2A/L故選:

2.(2017.北京海淀.高二期中)若動點P在直線4：x-y-2=0上，動點Q在直線4：x-y-6=0

上，設(shè)線段PQ的中點為且(%-2)2+(%+2)248,則+的取值范圍是

【答案】[8,16]

【分析】根據(jù)題意確定出動點的軌跡，利用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為原點與線段上動點的距離的平

方求解即可.

【詳解】由直線方程可知兩直線斜率相等,所以〃〃2,

由平行線的幾何性質(zhì)知M的軌跡為平行于《且與/?/2等距離的立線,

故直線方程為x_y_4=o,

又“點在圓（x-2y+（y+2）2=8I：及圓的內(nèi)部，故M的軌跡是如圖所示的線段，如圖,

|4|I-

*+y；即原點和M距離d的平方.由圖可知，dg=4,dmin=-f^==2j2,

8<+Jo=<16,

故答案為：［8,16］.

3.（2020?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知8,C為圓W+/=4上兩點，

UUIT1/UlUuun

點4（1,1）,且AB-AC=0，AM=］（A8+ACx）,則AO4M面積的最大值為.

【答案】昱

2

uuir1uunuumi____________

【解析】由A&AC=0,AM=5（AB+AC）可得AM=aBC,在圓。中z可得3cx=2"一O"，

從而有AM2+OA/2=4,即可求出點M的軌跡，然后就可得出AO4M面積的最大值.

UULT1,UlUUUH\

【詳解】因為ABAC=0，AM=5（AB+AC）所以A3LAC,且M是BC的中點所以

?J4-OM2,即

113

設(shè)點M（x,y）,貝I］有。一1）2+（、-1）2+/+丁=4化簡得：（X--）2+（y--）2=-

即點M的軌跡是圓心為（g，；），半徑為手的圓。因為OA=上，II直線。4經(jīng)過點

所以點M到直線。4的距離的最大值就為半徑直。所以AQ4M面枳的最大值為

2

1后瓜

-x72x------------

222

故答案為：立

2

【題型二】圓大題基礎(chǔ)：軌跡-直線

【典例分析】

.（2022?全國?高二課時練習(xí)）已知點（，加〃）在過（-2,0）點且與直線2x-y=0垂直的直線上,

則圓C：1-3有丫+（＞+1）2=4上的點到點加（根,〃）的軌跡的距離的最小值為（）

A.1B.2C.5D.375

［答案］A

【I■析】利用直線垂直的性質(zhì)、直線的點斜式以及直線與圓上的點的位置關(guān)系進行求解.

【詳解】過點（-2,0）且與直線2x-y=0垂直的直線為：y=—g*+2）,

已知點（，","）在該直線上，所以〃=一，m+2）,QPm+2n+2=0,

所以點M（孫〃）的軌跡方程為x+2y+2=0,乂圓C：1-3石『+（y+iy=4,

所以圓心C（3石,7）,半徑“2,所以圓C上的點到點M。"）的軌跡的距離的最小值為:

d.:+4_2=3_2=1.故A,B,D錯誤.

m，n也

故選：A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

非圓形特別是未知型曲線，常用求軌跡的方法：

①定義法：根據(jù)題目所給的幾何條件判斷動點滿足哪類常見軌跡，確定相應(yīng)基本量得出方

程；

②參數(shù)法：找出動點縱橫坐標(biāo)與第三變量的關(guān)系，消參后得出方程；

③轉(zhuǎn)譯法：找出動點與相關(guān)點的坐標(biāo)關(guān)系，利用相關(guān)點的方程得出動點的軌跡方程；

④幾何法：建系設(shè)點，由題設(shè)所給出的幾何等式，轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，整理可得方程.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021.江蘇.高二專題練習(xí)）已知圓G：/+y2=4與圓C2：（x-l）2+（y-3）2=4,過動點

尸3,力分別作圓C-圓C2的切線PM,PN,（M,N分別為切點），若|PM|=|PN|,則

a2+b~—6a—4Z>+13的最小值是

A.5B.—C.—,s/10D.—

355

【答案】D

【解析】P的軌跡為線段GG的中垂線：2x+6y-10=0,

由〃2+〃-6〃一4%+13=（“一3）2+9-2）2,得到/+從一64-4）+13的最小值是點（3,2）到直

線2x+6y-10=0的距離的平方，由此能求出結(jié)果.

【詳解】???圓6：/+丁=4與圓。2：（萬一1）2+（尸3）2=4,

G（0,0）,C2（l,3）,

V過動點P（a,b）分別作圓G、圓C2的切線PM,PN,（M,N分別為切點），IPM|=|PN|,

2222

IPM|+4=|PN|+4,.-.|PC,|=|PC21,|PC,|=|PC2\

???尸的軌跡為線段的中垂線，線段的中點坐標(biāo)為弓1，彳3），

線段GG的斜率〃=j=3,GG的中垂線所在直線的斜率為k=_g

3=—§(/—5),即2x+6y—10=0,

???尸的軌跡方程為y—G

；/+2-6a-4b+13=(a-3)2+(b-2)2表示點(a,加與(3,2)距離的平方，

/./+加―6a—46+13的最小值是點0,2)到直線2x+6y-10=0的距離的平方，

.c」2z|2x3+6x2-10l28

：?a2+〃~—6a—48+13的最小值為：d=(“+36=-

故選：D.

2.(2020?全國?高二)己知圓C”/+y2=l與圓C?：(x-2)2+(>-4)2=1,過動點P(a，6)分

別作圓G、圓G的切線PM、PN(M、N分別為切點)，若PM=PN,則"(.I+3+1)2

的最小值是()

A石R2>/503非646

5555

【答案】B

【解析】利用RfAPMG與RQPNC?全等，得到尸G=PG，得出點尸在線段GC2的垂直平分

線上，乂由J(a—5)2+S+1)2表示尸3,力與。(5,-1)兩點間的距離,結(jié)合點到直線的距離公

式，即可求解.

【詳解】由題意，在RAPMG與必APNC2中，PM=PN,MC=NG=1,

所以R/APMG與Rt\PNC2全等，所以有PC,=PC2,則尸在線段GG的垂直平分線上,

根據(jù)G(0,0)、G(2,4)可求得其垂直平分線為x+2y-5=0,

乂由J(a_5)2+S+1)2表示P(a,b)與Q(5,-1)兩點間的距離，所以最小值就是Q到

x+2y-5=0的距離，

即癡-的最小值竽.

由點到直線的距離公式，可得至」5+攣5)2+3+1)2

Vl2+225

故選：B.

【題型三】直線與圓：韋達(dá)定理型

【典例分析】

(2021.廣東.西樵高中高二階段練習(xí))已知過點40,2)且斜率為我的直線/與圓

C:(x-2)2+(y-3)2=l交于M,N兩點.

(1)求女的取值范圍；

(2)若OM.ON=12,其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|.

【答案】(l)(o，，(2)|MN|=2

【分析】(1)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用圓心到直線的距離公式，即可求解;

(2)直線》=依+2與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示OM.ON=12,求得衣=可知

圓心在直線上，即|MN|為直徑長.

⑴圓C：(x_2)2+(y_3)2=],圓心(2,3),半徑r=1設(shè)直線/的方程為y=h+2,即

kx-y+2=0

因為直線/與圓c交于兩點，所以今|2攵三-3+三2|<1,解得0<A<；4所以左的取值范圍為(og).

J1+公3

y=kx+2

(2)設(shè)N(W，%).聯(lián)立(x—2)2+(。-3)2=1,整理得伊+1卜2—(2左+4戶+4=0,

ult、r2k+44t、I

所以X]+工2=左2+]，內(nèi)'2二記石，所以

uuirnum4k（2+k）

OM-ON=x]x2+y%=（1+22）%/2+2Z（尤[+w）+4=——-——^+8.

1?rt

由題設(shè)得也學(xué)+8=12,解得〃=:,

所以直線/的方程為y=；x+2,所以圓心C（2,3）在直線/上，所以|MN|=2.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

解決直線與圓相交問題，韋達(dá)定理題型常用步驟：

（1）得出直線方程，設(shè)交點為A&,%），8（0為）；

（2）聯(lián)立直線與圓方程，得到關(guān)于x（或V）的一元二次方程；

（3）寫出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為玉形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

【變式訓(xùn)練】

（2021?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，已知圖C:f+y2=9與x軸的左右交點分別為

A,B,與y軸正半軸的交點為O.

（1）若直線/過點（3,4）并且與圓C相切，求直線/的方程；

（2）若點M,N是圓C上第一象限內(nèi)的點，直線A",AN分別與V軸交于點尸，。，點

P是線段。。中點，直線MN/fBD,求直線AM的斜率.

【答案】（1）x=3或7x-24y+75=0；（2）.

4

【分析】（1）分斜率不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為y-4=k（x-3）,

根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑求出斜率，即可得出答案；

（2）顯然直線AM的斜率存在，故設(shè)直線40的方程為y=%（x+3）,（k>0）,聯(lián)立

/y=&（x+3）

,2c，求得M點的坐標(biāo)，根據(jù)點P是線段。。中點，得直線AN的斜率

+y=9

6k_0

kAN=kAQ=——=2kf再根據(jù)腸V//8D,即可得出答案.

U一（一3）

【詳解】解：(1)當(dāng)斜率不存在時，宜線x=3滿足要求；

當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為y-4=m(x-3),即*-y+4-3m=0,則由相切得d=r,即

14-3/n|

解得相==7,

yJm2+1

綜上得：切線方程為x=3或加-24)，+75=0；

(2)顯然直線A"的斜率存在，故設(shè)直線A"的方程為y=Mx+3),(k>0),

由｛I；：：：：,，消去N得(1+公產(chǎn)+6心+9公一9=0,因為乙=一3,所以為=富1,

代入戶小+3),得“品，所以M襦,3>

在y=Z(x+3)中，令x=0,得%=3左，而點P是線段。。的中點，所以為=6攵，

所以直線AN的斜率％4N=%AQ=T~~T~^\=2k.

u—（T）

22

.（3-3k6k）上?ra小,?（3-12A:12k｝山…

（LM\T點中，用2&代火，得N,“2?所以

11+/\+k）I1+4f1+4Z~J

12k6k.、

1+4A「1+VA（J2%2）

3-12fc23-3k2-3k2

\+4k2~l+k2

因為MV//BD,所以的。=-1,即=一1，即2嚴(yán)+3左一1=0,

乂Q。，所以解得心牛,即百線AM的斜率為牛.

【題型四】直線與圓：定點

【典例分析】

(2022?四川省德陽中學(xué)校高二開學(xué)考試)己知兩個定點4(0,4)、8(0,1),動點尸滿足

|B4|=2|P8|,設(shè)動點尸的軌跡為曲線E,直線/:尸乙-4.

(1)求曲線E的方程；

(2)若&=1,。是直線/上的動點，過。作曲線E的兩條切線QM、QN,切點為M、N,探

究：直線MN是否過定點？若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

【答案】⑴V+■=4(2)直線MN過定點

【分析】(1)設(shè)點尸的坐標(biāo)為(x,y),由|R4|=2|P8|結(jié)合平面內(nèi)兩點間的距離公式化簡可得

出點尸的軌跡方程；

(2)設(shè)6(七,九)為圓/+)，2=4上任意一點，先證明出圓/+丁=4在點G處的切線方程

為5+為丫=4,設(shè)點Q&/—4)、〃(%,兇)、N(w，%)，可寫出直線QM、QV的方程，將

點。的坐標(biāo)代入直線QN的方程，可求得百線MN的方程，化簡直線的方程，可

求得直線MN所過定點的坐標(biāo).

(1)

解：設(shè)點尸的坐標(biāo)為(X,y),

由1PAi=2歸身可得，西+所4)2=26+仃_])2,整理可得f+/2=4,

所以曲線E的方程為X2+V=4.

(2)

解：設(shè)。(％匕))為圓/+=4上任意一點，則x；+y：=4,

當(dāng)x。%二。時;k0G=*(0為坐標(biāo)原點)，

%0

此時，圓》2+/=4在點G處的切線方程為卜治=-興(X-%),即x0x+y0y=4：

當(dāng)％=0時，圓/+9=4在點G處的切線方程為>=2或尸-2,切線方程滿足毛x+%y=4；

當(dāng)先=0時，圓f+>2=4在點G處的切線方程為x=2或x=-2,切線方程滿足與工+%丫=4.

因此，圓f+V=4在點G處的切線方程為x()x+%y=4.

當(dāng)4=1時,直線/的方程為y=x-4,設(shè)點。("一4)、M&M、N(s，%),

則直線QM的方程為平+=4,直線QN的方程為々x+y2y=4,

rrrlr5+(—4)乂=4

tx2+。-4)%=4

所以，點〃、N的坐標(biāo)滿足方程a+(r-4)y=4,

故直線MV的方程為a+(f-4)y=4,即f(x+y)-4(y+l)=0,

y=0〃,fx=l

由:解得i

[y+l=0[y=-l

因此，直線MN過定點(1,-1).

【提分秘籍】

基本規(guī)律

定點題型：

1.證明直線過定點，一般情況下，通過題中條件，尋找直線y=kx+b中b=f(k)的函數(shù)關(guān)

系，或者設(shè)參，求解出含參直線方程，再求解出含參直線所過的定點。

2.證明定點，可以通過特殊化法先確定定點坐標(biāo)，再證明定點適合題意。

【變式訓(xùn)練】

(2021.江蘇.高二專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x-a)2+(y-6)2=4與圓G：

Y+y2-6x-8y+16=0相切于點且直線/：x+y-1=0與圓C有公共點.

⑴求圓C的方程；

(2)設(shè)點尸為圓C上的動點，直線/分別與x軸和y軸交于點M,N.

①求證：存在定點B,使得P3=2PM；

②求當(dāng)尸M+g/W取得最小值時，直線PN的方程.

【答案】(Df+V=4(2)①證明見解析；②x+4y-4=0.

【分析】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，與圓有關(guān)的最

值，

(1)由兩圓的位置關(guān)系求圓C方程；

(2)①由=直接法得2(%-4卜+2%廣卜：+北一16)=0,由點P為圓C上的動

點得，

%+"6=0,

8(4,0)在圓C外，N(0,l)在圓C內(nèi)，點尸為線段8N與圓C的公共點時“=”能成立.從而得

直線方程.

⑴圓+9-6x-8y+16=0,即G：(x-3)2+(y-4)2=9,所以圓心為G(3,4),圓&的

半徑4=3.

由圓G與圓C：(…了+(…相切于點/空],得，8，即

a-36

5

’解得kQ=。U或，5i由直線/：x+yr=°與圓c有公共點,

b=——

5

邑”42,所以[：=?，所以圓C的方程為V+y2=4.

,2[b=0

(2)直線/分別與無軸和y軸交點MW).

①：設(shè)點8(如%),P(x,y),JU!]x2+y2=4,

由P8=2PM得,J(x_xj+(y_%y=2j(xT)，y2,

x0-4=0,

即2(x「4)x+2%y—(片+y；—16)=0,由點P為圓C上的動點得，%=0，即

.片+$-16=0,

%=4,

[%=。，

故存在定點8(4,0),使得=

②：由①得，PM=gPB,所以PM+gpN=g(PB+PN)2：BN=

易知，3(4,0)在圓C外，N(0,l)在圓C內(nèi)，

所以線段8N與圓C有公共點，即(*)中“=”能成立.

所以當(dāng)點P為線段BN與圓C的公共點時，PM+g/W取得最小值，

-+y=1

此時，直線PN的方程為4',即x+4y-4=0.

【題型五】直線與圓：定值

【典例分析】

(2022?江蘇省如皋中學(xué)高二開學(xué)考試)已知直線/:(〃7+2口+(1-2，浦＞+6〃?-3=0與圓

C:x2+y2-4x=0.

(1)求證：直線/過定點，并求出此定點坐標(biāo)；

(2)設(shè)0為坐標(biāo)原點，若直線/與圓C交于兩點，且直線OM,ON的斜率分別為勺，k2,

則勺+網(wǎng)是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由.

4

【答案】(1)證明見解析，定點(0,3)(2)是定值，定值為§

【分析】(1)由已知(m+2)x+(l-2機)y+6機—3=0,可得(2x+y—3)+/n(x-2y+6)=0.根據(jù)

過定點的宜線系方程計算方法可得/恒過定點(0,3).

(2)設(shè)出直線/的方程.聯(lián)立直線與圓的方程，利用韋達(dá)定理求解進而即可得結(jié)果.

（1）

由直線/“+2）x+（l—2，w）y+6，"-3=0得〃?（x—2y+6）+（2x+y—3）=0,

x-2y+6=0x=0

聯(lián)立《，解得

2x+y-3=0y=3

直線/恒過定點(0,3).

（2）圓C：/+y2-4x=0的圓心為（2,0）,半徑為2,直線/過點

直線/與圓C交于M,N兩點，則直線/的斜率存在，設(shè)真線/方程為丫=氏+3,

fy=Ax4-3_.

聯(lián)立匕2）八，得（1+公）f+（6A-4）x+9=°，

[x+y-4x=0

62一49

設(shè)M（N，y）,M%,%），510^）+X,=---―,XjX.="-TV,

1+%7-Tl+k~

&+汰=乂+&=^^+^^=2%+3區(qū)+々）=2"+3（4：6人）=!是定值,

定值

X]x2%x2XjX293

【變式訓(xùn)練】

(2021?湖南?懷化五中高二期中)已知圓C的圓心坐標(biāo)為C(3.0),且該圓經(jīng)過點40,4).

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線〃交圓C于M,N兩點，若直線AN的斜率之積為2,求證：直線〃過一個定

點，并求出該定點坐標(biāo).

(3)直線〃?交圓C于M,N兩點，若直線AM,AN的斜率之和為0,求證：直線機的斜率是

定值，并求出該定值.

【答案】(l)(x-3)?+y2=25；(2)證明見解析，(-6,-12)：(3)證明見解析，

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出圓C的半徑即可作答.

(2)在直線〃的斜率存在時，設(shè)其方程丫=履+，，再與圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定

理及已知探求k,r的關(guān)系，然后討論斜率不存在的情況作答.

(3)設(shè)出直線4例，AN的方程，與圓C的方程聯(lián)立，求出點M,N的坐標(biāo)，再用斜率坐標(biāo)

公式計算作答.

(1)

依題意，圓C的半徑不=5，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：(x-3)2+y2=25.

(2)

當(dāng)直線”的斜率不存在時.，設(shè)M(a,3),N(4,-Z0,由直線AM,AN的斜率之積為2,得

b-4-b-4一

----------------=2，

aa

即廿=16-26,又由點M,N在圓C上得("3)2+/=25,消去b得：?2+6a=0.

而4*0,則。=-6,此時廿＜0，因此，無解，

當(dāng)直線”的斜率存在時，設(shè)其方程為y=H+，，由=2cu消去丫并整理得：

[(x-3)+y=25

(*2+l)x2+2(fo-3)x+Z2-16=0,設(shè)”(芯,％),%*2，%),

則再+々=一警:3),中2=與當(dāng)，直線.斜率原材=入二3,直線4V斜率怎、=絲心，

F+lK+1X[X2

x}x2x{x2XxX2

=二+乩_4).-2仃+6+(公+1)(-4)2二公"+4)-2-+6%+(/+1)”4)

r2-16*-]6f+4

6k-4-1—4

=/+4=2,整理得f=6"12,此時直線n：曠=%(》+6)—12過定點(-6,-12),

所以直線〃過個定點，該定點坐標(biāo)是(-6,-12).

[y=rx+^

⑶設(shè)直線AM方程為：丫="+4,由1(X-3)2+/=25消去),并整理得：

(r2+l)x2+2(4r-3)x=0

6-8r-4r2+6r+4而直線AN：-4,同理N（鬻6+Wz'*-三4/*2￥—6尸+4）‘

則有點M(

產(chǎn)+1'r2+1

-4/+6—+4-6r+4

于是得直線MN的斜率kMN=-々1金士」一

O—orO+o/

r2+1r2+l

3

所以直線機的斜率是定值，該定值為-

4

【題型六】直線與圓：定直線

【典例分析】

(2022?四川?遂寧中學(xué)高二開學(xué)考試(文))已知直線/：*=沖-1,圓C:W+/+4x=o.

(1)證明：直線/與圓C相交；

(2)設(shè)/與C的兩個交點分別為A、B,弦48的中點為M,求點M的軌跡方程；

(3)在(2)的條件下，設(shè)圓C在點A處的切線為4,在點B處的切線為4，4與4的交點為

。.試探究：當(dāng)機變化時，點。是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若

不是，說明理由.

【答案】⑴證明見解析；(2)/+丁+3萬+2=0；⑶點。恒在直線x=2上，理由見解析.

【分析】(1)求出直線/：》=加)-1過定點(―1,0),得到(-1,0)在圓內(nèi)部，故證明直線/與圓

C相交；(2)設(shè)出點M(x,y),利用垂直得到等量關(guān)系，整理后即為軌跡方程；(3)利用。、

A、B、C四點共圓，得到此圓的方程，聯(lián)立C:X2+V+4X=0,求出相交弦的方程，即直線

/的方程，根據(jù)直線/過的定點，得到毛=2,從而得到點。恒在直線x=2匕

(1)

證明：直線，：x=my-i過定點(-1,0),代入C:x2+V+4x=0得：1+0-4<0,故(一1,0)在

圓內(nèi)，故直線/與圓c相交；

(2)

圓C:f+y2+4x=0的圓心為。(一2,0),設(shè)點〃(x,y),由垂徑定理得：kCM-k,=-\,即

22

上二±匕2=-1,化簡得：X+/+3X+2=0,點M的軌跡方程為：X+/+3X+2=0

x+1x+2

(3)

設(shè)點。(%,%)，由題意得：Q、A、8、C四點共圓，且圓的方程為：(x-%)(x+2)+(y-%)y=0,

22

[l|Jx+y+(2-xo)x-yoy-2Ao=O,與圓C的方程C:/+/+4%=。聯(lián)立，消去二次項得:

(天+2)x+%y+2%=0,即為直線/的方程，因為直線=過定點(一1,0),所以

2%=%+2,解得：々=2,所以當(dāng)冽變化時，點。恒在直線x=2上.

【變式訓(xùn)練】

(2021.江西.高二階段練習(xí)(理))已知圓C經(jīng)過P(0,2),Q(l,g)兩點，圓心在直線x-y=。

上.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若圓C與y軸相交于A,B兩點(A在B上方).直線/：y=丘+1與圓C交于M,N兩點，

直線AM,8N相交于點T.請問點T是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說

明理由.

【答案】(1)/+>2=4(2)是，y=4

【分析】(1)由已知設(shè)出圓心C(a,a),再由圓心到P,Q的距離都為半徑列出方程解出答案

即可；

(2)聯(lián)立直線與圓的方程并化簡，然后求出直線AM和BN的方程，進而結(jié)合根與系數(shù)的

關(guān)系得到答案._______________

⑴依題意可設(shè)圓心CQ"),則半徑r=>"°)2+(a-2)2=J(a-1)2+(“一a2=2,

解a=O,r=2,故C(0,0),即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為Y+y2=4.

⑵設(shè)"(f)”(知必)，由(1)可知，A(O,2),B(O,-2),

聯(lián)立方程組4，消去x并化簡得(二+1)/+2丘-3=0,

容易判斷直線所過定點(0,1)在圓內(nèi)，即直線與圓一定有兩個交點，

2k3

所以玉+W=-層節(jié)=一后節(jié)，

直線AM的方程為y=上二》+2…①，直線BN的方程為y=^^x-2…②，

%x?

k-3

,,,〃、e么,Zz2=hzl,%=?(依T)=3%一%=.FZTf=1

"人'”>+2X,%+25+3)kx]x2+3x],-3(-2k\3'

k2+\{k2+\-)

由上二!=:，化筒得y=4,故點T在定直線y=4上.

y+23

【題型七】探索性、存在性題型

【典例分析】

(2022?江蘇?南京二十七中高二開學(xué)考試)己知圓C過點4(2,6),且與直線4：x+y-10=0相

切于點8(6,4).

⑴求圓C的方程：

⑵過點P(6,24)的直線勾與圓C交于",N兩點，若△CW為直角三角形，求直線乙的方程;

(3)在直線4：y=x-2上是否存在一點Q,過點。向圓C引兩切線，切點為E,F,使△QE尸為

正三角形，若存在，求出點。的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

［答案］⑴(x_iy+(y+l)2=50⑵x=6或12x—5y+48=0

⑶存在點。(一9,—11)或(11,9)，使AQEF為正三角形

【分析】(1)設(shè)圓心為(。,匕)，根據(jù)圓心和切點連線與切線垂直、圓心到圓上兩點的距離相

等可構(gòu)造方程組求得圓心坐標(biāo)，進而得到半徑"，由此可得圓的方程；

(2)由等腰直角三角形性質(zhì)可知圓心到直線4的距離d=^r=5;分別在直線4斜率不存

2

在和存在的情況下，根據(jù)d=5構(gòu)造方程求得結(jié)果；

(3)由等邊三角形性質(zhì)可知|QC|=2r=10及，設(shè)。-2),利用兩點間距離公式可構(gòu)造

方程求得，，進而得到。點坐標(biāo).

b-4,

------=1

?。-6Jtz=1

⑴設(shè)圓心坐標(biāo)為("⑼，則1("一2)+色-6)=(“-6)+(〃-4),解得：懶=一1,

.??圓的半徑r=J(a-6『+(〃-4)2=5夜,?,?圓C的方程為：(x-l)2+(y+l)2=50.

(2)為直角三角形，|CMTCN|,...aw，CN,

則圓心C到直線4的距離"=也「=5：當(dāng)直線/,斜率不存在，即/,"=6時，滿足圓心C到

2

直線4的距離d=5；

當(dāng)直線％斜率存在時，可設(shè)/2：、-24=%(*-6),即h—y—6A+24=0,

\k+\-6k+24\I?1248

:.d=^——==~^=5,解得：k=—,:.l2:-x-y+—^0,即12x-5y+48=0；

yJk2+\555

綜上所述：直線4的方程為％=6或12x-5y+48=0.

71

(3)假設(shè)在直線4存在點。，使△婀為正三角形，…“。。-石，???|QC|=2r=l(x/2(

-2),.-.|2C|2=(r-l)2+(Z-2+l)2=200,解得:1=-9或，=11,

存在點。(一9,—11)或(11,9)，使△QEF為正三角形.

【變式訓(xùn)練】

(2021?江蘇?高二專題練習(xí))已知圓O:Y+V=1和點M(l,4).

⑴過M作圓。的切線，求切線的方程；

(2)過M作直線/交圓。于點C,。兩個不同的點，且不過圓心，再過點C,。分別作圓

。的切線，兩條切線交于點E,求證：點E在同一直線上，并求出該直線的方程；

(3)己知42,8),設(shè)尸為滿足方程以2+P。2=］06的任意一點，過點尸向圓。引切線，切點

為B,試探究：平面內(nèi)是否存在一定點N,使得R為定值？若存在，請求出定點N的坐

PN2

標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1))=1和15x-8y+17=0.(2)證明見解析,直線方程為x+1=l.(3)存在,

14

N(——，——)或n(-1,-4).

【分析】(1)討論斜率是否存在并設(shè)宜線方程，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及點線距離公式求參數(shù),

進而寫出切線方程.

(2)設(shè),E(x0,y0),由CE_LCO、OEJ.OO可得芭/+%為=1、

工2%+%%=1，即可知8的方程，再由點在直線上即可證結(jié)論，并確定E所在的直線.

(3)若P(x,y),由題設(shè)可知x2+V=2x+8y+19,假設(shè)存在N(機,〃)使駕=后為定值，利

PN2

用兩點距離公式、圓的切線性質(zhì)整理可得

(2-2k+2mk)x+(^-8k+2nk')y+lS-l9k-k(m2+n2)=0,要使多項式方程不受P點位置影

響，需使該多項式方程各項的系數(shù)為0,列方程求參數(shù)即可判斷N的存在性.

(1)當(dāng)斜率不存在時，顯然x=l與圓°：/+)'=1相切；

當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線為y=&(x-l)+4,由圓心到切線的距離為1,

|4一2|11515

.，.2r===l,解得&=k，則y=?(x-l)+4,整理得15x-8y+l7=O.

y/\+k88

綜上，切線方程為x=l和15x-8y+17=O.

⑵設(shè)CUp%),。(孫丫2),E(x。，%),

由CEJ_CO,則％(X|-%)+%(%—%)=0,即*一西/+＞；-乂%=0,又x：+y：=l,故

Xdo+y%=1,同理當(dāng)與+丫2%=1,，直線C￡)為/x+%y=l,又Af在C￡＞上，...%+4%=1,

故E恒在直線x+4y=l匕

(3)由題設(shè)，若尸(x，＞)則(》-2/+(k8)2+/+)，2=106,整理可得＞+y2=2x+8y+19,

pn2

若存在使——7二人為定值，而二爐+y2,PN?=(x-m)2+(y-〃)2,

PN~

x2+y2-i=k(x-m)2+k(y-n)2,整理得(1一4)(f+y?)=k(m2+H2)-2mkx-2nky+1,

(1—k)(2x+8y+19)=k(ni2+)—2mkx—2nky+1,

整理得(2—2&+2加Qx+(8—8&+2心))，+18—19后一打加2+/)=o,

1一k+mk=0

PB1

要使康為定值,則v4—41+nk=0,解得〈〃=一二或

191+后(療+")=18

綜上,存在N(-萬|，下4)或N(TT),使P部R2為定值.

【題型八】面積與最值

【典例分析】

(2021.四川省遂寧市第二中學(xué)校高二期中(理))已知圓C：x2+y2-2x-2y+l=0,直線/

分別交無軸，軸于A,8兩點，。為坐標(biāo)原點，OA=a,O8=〃(。＞2力＞2),且圓心C到

直線/的距離為1.

(1)求證：(4-2)3_2)=2；

(2)設(shè)N(3,l),直線，〃過線段CN的中點M且分別交x軸與y軸的正半軸于點/＞、Q,。為坐

標(biāo)原點，求4POQ面積最小時直線，”的方程；

(3)求4ABC面積的最小值.

【答案】⑴證明見解析⑵*+2-4=0⑶3+2正

【分析】(1)求出圓心和半徑，表示出直線方程，由點到直線的距離公式可得；

vx}2]

(2)直線心的方程為：-+4=1(c>0,d>0),可得上+==1,代入△尸。。面積利用基本

caca

不等式求解；

(3)利用基本不等式求出必范圍，即可求出面積最值.

⑴證明：圓C為：(X-1尸+(y-i>=i,圓心C(1,1),半徑為1,

設(shè)直線/為：二+旨=1(4>2,6>2)即灰+毆-"=0,圓心C到直線/的距離為1,

ah

\b+a-ab\

J/十及'

平方整理得：(油-2b-2a+2)ab=U,即(。-2)(匕-2)=2；

—?+-=1(c>0,d>0)

⑵設(shè)直線團的方程為：