2022-2023學(xué)年四川省仁壽校南校區(qū)高一年級(jí)上冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年四川省仁壽校南校區(qū)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.sin240的值是（）

A.；B.--C.BD,-西

2222

【答案】D

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式sin（7t+a）=-sina即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知,sin240=sin（180+60）,

利用誘導(dǎo)公式sin（7t+a尸-sina可得sin（180+60）=-sin60=一與

即sin240=

2

故選：D

2.已知集合知={乂、=幺產(chǎn)土45,%€2},尸={聞》=勺詈±90,%€2卜.則集合用，P之間的關(guān)

系為（）

A.M=PB.MPC.PMD.McP=0

【答案】B

【分析】化簡集合，根據(jù)集合的關(guān)系即得.

【詳解】因?yàn)?-±45，/ez1=k」x=（2&±1）-45?wZ},

尸二卜口J：?！?0,keZ卜{x|x=（k±2>45/eZ},

所以MP.

故選：B.

3.設(shè)角6>的終邊經(jīng)過點(diǎn)「（［，-：），那么2sin夕+cos6等于（）

22

A.—B.—C.1D.—1

55

【答案】D

【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義可求出sinRcos。的值，從而可求得答案

【詳解】解：因?yàn)榻?。的終邊經(jīng)過點(diǎn)

43

所以sin〃=-w，cos〃=二，

所以2sinO+cos9=2x[-1)+W=-l,

故選：D

4.若月一(。+1)》+》<0的解集是(—5,2),則a+b等于()

A.-14B.-6C.6D.14

【答案】A

【分析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)八b,即可得a+6.

【詳解】?.?/-(4+1)》+6<0的解集為(-5,2),

-5和2為方程x2—(a+l)x+b=O的兩根,

—5+2=Q+1a=-4

,解得

一5x2=6b=-\0,

+Z?=-14.

故選：A.

5.對于任意實(shí)數(shù)mb,c,d,下列命題中正確的是()

A.若a>b,/0,則〃c>AcB.若a>b,貝lj〃/乂22

C.若a^bc2,貝lja>bD.若a>b,則!<￡

【答案】C

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)，即得結(jié)果.

【詳解】若曲也c<0,則w>bc,所以A錯(cuò)誤;

若a>b,c=0則a/=歷2,所以B錯(cuò)誤；

若則QoQb,所以C正確;

若。=14=-1滿足°泌，但工>:，所以D錯(cuò)誤：

ab

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.

6.已知/(口=占，則函數(shù)f(x)的解析式是()

YX

A./(x)=J—(x^-1)B./(x)=j—(xw-1且xwO)

c.=D./(x)=l+x

【答案】B

【分析】根據(jù)換元法求解析式即可.

【詳解】解：由題知xxO且XH-1,令r=1，則x=l(rxO且

xt

八,,1r+iCx-1且，wo),

t

：.=(xw-l且XHO).

x+1

故選：B.

7.己知函數(shù)/(x)=[："*0,、,g(x)=/(x)-a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則“的取值范圍是()

[Inx,x>0

A.(-1,0)B.[-1,0)C.(0,1)D.(0,1]

【答案】D

【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，作出函數(shù)/(x)的圖象，由y=f(x)與直線y="有兩個(gè)交點(diǎn)，可得。

的取值范圍.

【詳解】依題意，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，

作出函數(shù)圖象如下圖所示，

由圖可知，要使函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，則

故選：D

8.已知g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)出b,有如士百?<0,若g(加)+g(m-2)>(),

a-b

則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.(3,+oo)B.(YO,3)C.(l,+=o)D.(-co』)

【答案】D

【分析】由四二皿<0可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，用奇偶性可將關(guān)系式g（，"）+g（，”2）>0

a-b

變形為g（m）>g（2-m）,根據(jù)單調(diào)性就可以求出.

【詳解】對任意實(shí)數(shù)〃b,有g(shù)（“）-g（'<0,所以函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減,

a-b

又因?yàn)楹瘮?shù)g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且g（m）+g（帆-2）>0,則g（m）>g（2-,〃），所以

m<2-m,2m<2,得加<1.

故選：D

二、多選題

9.以下各式化簡結(jié)果為sina的有()

A.cosatanaB.Jl-cos2a

,.32sinasina

C.sina+sincrcosa+sincrcosaD.-----；------------；---

1+sina1-sina

【答案】AC

【分析】分別對每個(gè)選項(xiàng)式子進(jìn)行化簡即可判斷.

cinry

【詳解】對A,原式=cosa?上第=sina,故A正確；

cosa

對B,原式=Jsin2a=卜in蜀,故B錯(cuò)誤；

對C,原式=sin，a+sinacos2a(cos2a+sin2a)

=sin3a+sinacos2a=sina(sin2a4-cos2a)=sina,故C正確；

sina(1-sina)-sina(1+sina)-2sin2a-2sin2a

對D,=-2tan2a,故D錯(cuò)誤.

(l+sina)(l-sina)1-sin2acos-a

故選：AC.

10.下列說法正確的是（）

A.uac2>6<?”是"”>b”的充分不必要條件

B.“個(gè)>0”是“x+y>0”的必要不充分條件

C.命題“HxeR,/+1=。”的否定是“玄€區(qū)，C+1H0”

D.D.已知”,b,ceR,方程ar2+/?x+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+%+c=0

【答案】AD

【分析】A.由不等式的性質(zhì)求解判斷；B,由不等式的性質(zhì)求解判斷；C.由含有一個(gè)量詞的命題

的否定的定義求解判斷；D.將1代入方程求解判斷.

【詳解】A.由a。?>hc2，得/("〃)>(),則>0,a-b>0,即a>A>,故充分；由a>b,得a-b>0,

ljllJc2(a-&)>0,故不必要；故正確；

B.由->0,得x>0,y>0或x<0,y<0,則x+y>0或x+y<0,故不充分；當(dāng)x=T,y=2時(shí)，

滿足x+y>0,但外<0,故不必要，故錯(cuò)誤；

C.命題"xeR,x2+1=0”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，即“VxeR,x2+10",故

錯(cuò)誤；

D.當(dāng)a+b+c=0時(shí)，1為方程or?+法+c=0的一個(gè)根，故充分；當(dāng)方程or?+法+°=。有?一個(gè)根為

1時(shí)，代入得a+b+c=0,故必要，故正確；

故選：AD

11.下列不等式成立的是()

90302

A.0.2">0.2°-B.log032>log033C.log,32<log,22D.O.2<O.3-

【答案】BCD

【分析】A.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解；B.利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解；C.先利用對數(shù)運(yùn)

算化簡，再利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得解；D.利用事函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解.

【詳解】A.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=0.2*單調(diào)遞減，1.1>0.9,所以0.2“<0.203,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.因?yàn)閷?shù)函數(shù)y=log0.3X在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，2<3,所以logo.32>logo.33,所以該選項(xiàng)正確；

1。2la2

c.log2=---,log2=——,因?yàn)閘g2>0,lgl.2>0,Ig23>0,又lgl.3>lg22,;.log[32<log122,

13lgl-312lgl.2

所以該選項(xiàng)正確；

D.由暴函數(shù)y=在(0,+8)上單調(diào)遞增得0.2a3<0.303,由指數(shù)函數(shù)y=03單調(diào)遞減得

O.303<0.302,所以0.2°3<0.302.所以該選項(xiàng)正確.

故選：BCD

12.關(guān)于函數(shù).f(x)=1g=，下列命題正確的是()

A.對于任意x意-1,1),都有，(x)+f(—x)=0；

B./(x)在(T1)上是增函數(shù)；

C.對于任意%,%w(-1,1),都有/于)+f(1)=/1(口：,都

D.〃(x)=/(x)—x存在唯一的零點(diǎn).

【答案】ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對數(shù)運(yùn)算、零點(diǎn)等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，三>O,(x-I)(x+l)<O,-l<x<l,所以/(x)的定義域是(-1,1),

〃_x)=lgg=Ig(Ej=_lg*=_〃x),所以/(x)+/(-x)=O,所以A選項(xiàng)正確.

]_

B選項(xiàng)，/(O)=lgl=Oj[gJ=lg!=lgg<O,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2

?/■(玉)+/(々)=電三+怛宏=lgf_1gl+x,x2-(^+x2)

C選項(xiàng),

1"T"人|JLI*人2U+51+X2J1+玉/+(%]+工2)

]%+W

f(百+々]=lg1+中2=lg1+%%一(%+%),

-U+XINJ:1十+W。1+取2+(為+%2)'

l+xtx2

所以c選項(xiàng)正確.

1—x—(x+l)+2(2、

D選項(xiàng)，/(x)=lg----=lg-^---=lg-1+--,

\+x1+x[x+1)

所以f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.

y=x在(T,I)上單調(diào)遞增,

所以力(x)=〃x)-X,在上單調(diào)遞減,

由于〃(0)=0,所以/7(x)=/(x)-x存在唯一的零點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

三、填空題

13.計(jì)算lgS]+21g2-(1?晦4+8-三-=.

【答案】1

【分析】利用指數(shù)基和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可得到結(jié)果.

[詳解]lg|+21g2-(?嗎4+/=1g|+1g2?-3—+⑵#=lg(|x4)-+2以=1.

故答案為：1.

sin(-3K+a)+cos(a-71)

14.已知tan(5?t+a)=2,則(11兀).(9TT)的值為.

cosa-+sin+a

I2)I2J

【答案】3

sin(-37t+a)+cos(a-n)tana+1

【分析】利用誘導(dǎo)公式得tana=2,對原式化簡得―7—11兀］.(9兀―『tana-l，代入數(shù)據(jù)

I2)I2)

即可.

【詳解】因?yàn)閠an(5?r+a)=tana=2,

所以

sin(-37i+a)+cos(a-7i)sin(7t+a)+cos(7r-a)-sina-cosa

蟲與卜喂+0|一叩+j+sing+asina+cosatana+1.

一sina+cosa=--------=3

sina-cosalana-1

故答案為：3.

15.函數(shù)/(x)=logcoslV2sinx-1的增區(qū)間為.

【答案】上也+g,2也+斗化eZ)

【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【點(diǎn)睛】因?yàn)?(x)=log”S|X是減函數(shù),

所以當(dāng),汨+5c2E+z(k'Z)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增,

2sinx-l>0

c,兀一，一，J兀

7T57r2Z兀H—KxW24兀H---

2kit+—<x<2kn+—(kGZ)22〃力

由J22u(keZ)

_.7T_D7t

2sinx-l>02攵兀H<X<2攵T兀H---

66

_7T_.37T/.

2lfai+—<x<2lai+—(ZcZ),

26

故答案為：2E+1,2E+￥](kGZ)

L26；

16.已知〃x)=lgx,a>(),b>0,若|/(a)|=|/S)|,則￡+》+*的最小值是.

【答案】8

【分析】先通過已知條件與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出a,b關(guān)系ab=l,再通過已知得出a+b>0,化簡

士+3+?得到。+人+'J,再通過基本不等式求解即可得出答案.

crbaira+ba+b

【詳解】Q/(x)=lgx,若|/(a)|=|/S)|,

b即次?=1,

a

a>01b>0,

:.a+h>0

11\6ah1116a+b16=a+b+-^->S,

+—74--------=—+—+-------------+----

a~bab~a+baba+baba+ba+b

當(dāng)且僅當(dāng)。+匕=」當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

a+b

1116ab日［，上口c

，+-77----的取小值是8.

crbaba+b

故答案為：8

四、解答題

17.已知p：函數(shù)_/U)=(a-/n)x在R上單調(diào)遞減，q：關(guān)于x的方程x?-Zot+H-1=0的兩根都

大于1.

(1)當(dāng)機(jī)=5時(shí)，p是真命題，求a的取值范圍；

(2)若p為真命題是q為真命題的充分不必要條件，求〃?的取值范圍.

【答案】(1)(5,6)；(2)m>2.

【分析】(1)由〃?=5,得到人x)=(?-5)x,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；

(2)先根據(jù)命題為真，化簡命題p,q,然后根據(jù)p為真命題是q為真命題的充分不必要條件求解.

【詳解】(1)因?yàn)闄C(jī)=5,所以./(x)=(a-5)x

因?yàn)镻是真命題，

所以0<a-5<l,

解得5<a<6.

故。的取值范圍是(5,6)

(2)若p是真命題，則0<a-〃7<l,解得,"VaV〃?+l.

關(guān)于x的方程x2-2ar+a2-1=0的兩根分別為a-1和a+1.

若q是真命題，則a-1>1,解得a>2.

因?yàn)椤檎婷}是q為真命題的充分不必要條件，

所以m>2.

18.已知函數(shù)/(x)=『7；+l(a>0)為奇函數(shù),且方程〃x)=2有且僅有一個(gè)實(shí)根.

(1)求函數(shù)/")的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=lnf(e)求證：函數(shù)y=g(x)為偶函數(shù).

【答案】(1)/(x)=±U;(2)證明見解析.

【分析】(1)由函數(shù)/(X)為奇函數(shù)可得〃值，再由方程/(X)=2有唯一實(shí)根即可得解；

⑵利用⑴的結(jié)論求出g(x)的解析式并求出其定義域，再由奇偶函數(shù)定義討論即得.

【詳解】(1)因函數(shù)〃"=.+二+1為奇函數(shù),則/(x)=—〃x),

ax

即X?X+]=_(T)2*X)+1,化簡得2fax=0,得匕=0,

axa\-x)

f(x\=￡±L,且方程〃x)=2有且僅有一個(gè)實(shí)根，得二tl=2,即/—2辦+1=0,

axax

所以(一U)2-4x4=0,得/=1,而a>0,解得a=l,即有=x+1,

所以函數(shù)/(x)的解析式為了(同=一；

⑵由(1)知g(x)=Inf(ex)=ln(=l)=皿爐+e),g(x)的定義域?yàn)镽,

e

則g(r)=ln(e-*+e*)=g(x),

所以函數(shù)y=g(x)為偶函數(shù).

19.已知函數(shù)f(x)=log“(x-l)+2(a>0,且"1),過點(diǎn)(3,3).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)解關(guān)于x的不等式/(2"-3)</(12-2川).

【答案】(1)2(2){x|2<r<k)g25}

【解析】(1)將點(diǎn)(3,3)代入函數(shù)計(jì)算得到答案.

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域得到1<2-3<12-2前,解得答案.

【詳解】(1)/(3)=log?(3-1)+2=3,loga2=1,:.a=2：./(x)=log2(x-l)+2.

(2)/(力=嚏2。一1)+2的定義域?yàn)椴芬?gt;1},并在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

/./(2'-3)</(12-2t+l),/.l<2*-3<12-2㈤,不等式的解集為<1(^5}.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)解析式，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)

用.

20.設(shè)函數(shù)/(x)=Asin(2x+s)(A>0,0<e<]],函數(shù)/(x)的最小值為一2,且x=g為函數(shù)/(x)

的一個(gè)零點(diǎn).

⑴求函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若對任意的X€0,(,不等式/(x)>加-3恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

57r7T

【答案】⑴-法+及m萬+"乃(AeZ)

⑵(-4)

【分析】(1)利用最小值和零點(diǎn)可求得〃x)的解析式，令—春+2&萬42x+g/+2版■(4"),解

不等式即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；

rr

(2)利用正弦型函數(shù)值域的求法可求得了(x)在0,-上的最小值，由加-3〈/(力訕可求得機(jī)的取

值范圍.

【詳解】⑴f[x)^n=-A=-2,...A=2；

x=?為的一個(gè)零點(diǎn)，+e=解得：.“:艦一苛(ZeZ),

又0<夕<?”=?,.,./(x)=2sin(2x+?)；

令一■^?+2%萬42x+g4、+2?萬(％eZ),解得：-^-+^<x<-^+^(A:eZ),

5rrjr

\/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為-甘+&肛丘+丘(kwz).

(2)當(dāng)天￡0，Y時(shí),+5,苧?sin1<2x4-G-^-,1,/./(X)G[1,2]；

_4J31_36」V3J[_2」

rr

對任意的xe0,-,〃力>加一3恒成立，.?.機(jī)一3<〃4而=1,解得：m<4；

即實(shí)數(shù)”的取值范圍為(F，4).

21.興泉鐵路起于江西，途經(jīng)三明，最后抵達(dá)泉州(途經(jīng)站點(diǎn)如圖所示).這條“客貨共用''鐵路是開

發(fā)沿線資源、服務(wù)革命老區(qū)的重要鐵路干線，是打通泉州港通往內(nèi)陸鐵路貨運(yùn)的重要方式，將進(jìn)一

步促進(jìn)山海協(xié)作，同時(shí)也將結(jié)束多個(gè)山區(qū)縣不通客貨鐵路的歷史.目前，江西興國至清流段已于2021

年9月底開通運(yùn)營，清流至泉州段也具備了開通運(yùn)營條件，即將全線通車.預(yù)期該路線通車后，列

車的發(fā)車時(shí)間間隔，(單位：分鐘)滿足24V20.經(jīng)市場調(diào)研測算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔r

相關(guān)，當(dāng)1()</<20時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為720人；當(dāng)2Wf<10時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人

數(shù)與(12-f)的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客量為396人.記列車載客量為P?).

興泉鐵路線路圖：

江西4,注

寧都縣福建

興:縣，?、石城縣明溪縣三明市

”興泉鐵路

、大田縣

德化縣

永春縣.

安溪縣政瞥市

泉州市

(1)求p(f)的表達(dá)式;

(2)若該線路每分鐘的凈收益為。1)=型乎絲-60(元)，問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路

每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.

-4/2+96r+144,2<r<10

【答案】(l)PQ)=,

720,10<r<20

(2)時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為84元

【分析】⑴當(dāng)10孕<20時(shí),M，)=720,當(dāng)2?f<10時(shí)，可設(shè)p(f)=720—-12—1)2,由題可求出3

即可得到答案.

72

132-8/--,2<r<10

(2)由(1)知：e(0=inQn',結(jié)合基本不等式和函數(shù)單調(diào)性即可求出的凈收益

咽-60,104/20

.t

最大值.

【詳解】(1)由題知，當(dāng)104r<20時(shí)，p(f)=720

當(dāng)24yo時(shí)，可設(shè)p(f)=720-Z(12T)2,

又發(fā)車時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客量為396人，

以3)=720-?(12-3)2=396,解得％=4.

此時(shí)p(r)=720-4x(12-4=-4/+967+144,24r<10

-4/2+96r+144,2</<IO

，pQ)="

720/04f420

132-81——,2<Z<10

（2）由（1）知:。⑴=，

1080

一60,10W20

V2<r<10U^,。⑺4132-2,8小一=84,

當(dāng)且僅當(dāng)，=3等號(hào)成立,

2W0時(shí)，。⑺1rax=03)=84,

當(dāng)10VY20上,QQ）單調(diào)遞減，則0（%=Q（10）=48,

綜上，時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為84元.

22.已知函數(shù)，（力=/+3次一4（4€/?）.

⑴若/（x）在上的最大值和最小值分別記為M（a）,m（a）,求M（a）一,〃（a）；

（2）設(shè)beR,若V（x）+443對xe[—1』恒成立，求3a+人的取值范圍.