2022-2023學(xué)年四川省廣元市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文科）試題含答案

廣元市2022年秋季普通高中二年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)試題（文史類）

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.

1.在空間直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，'（"J）,則等于（）

A.幅B,屈C.2GD.E

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式求解即可.

【詳解】°為坐標(biāo)原點(diǎn)，'（123）,所以舊=廬百壽=》.

故選：A.

2.高二（8）班有學(xué)生52人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個(gè)容量為

4的樣本，已知5號(hào)、18號(hào)?、44號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是（）

A.8B.13C.15D.31

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)計(jì)算得到答案.

【詳解】18-5=13,44-18=26=2x13,故還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是18+13=31,

故選：D

3.已知。，b是非零實(shí)數(shù)，則“a＞b”是網(wǎng),，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零,“?！背闪?“In”＞山網(wǎng)不一定成立，而“InIn網(wǎng),，成立可得“

即可得出結(jié)論.

【詳解】若°＞a＞b,貝U。不能是真數(shù)，I*1"山河不成立；

^＞叼4成立，則有”＞瓦；々＞6成立

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分必要條件的判斷，涉及對(duì)數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

4.與3x+4y=°垂直，且與圓（xT）2+V=4相切的一條直線是

A4%-3y=6B4x-3y=-64x+3y=6口

4x+3y=-6

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)與直線3'+4沙=°垂直的直線方程為/：4“-3少+加=°,求出圓的圓心坐標(biāo)

與半徑，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線/的方程.

【詳解】設(shè)與直線3"+4y=°垂直的直線方程為/：4“-3歹+耀=0,

直線與圓（”—1）+尸=4相切，則圓心（D0到直線的距離為半徑2,即

|4+加|

J-------L=2???加=6

5或〃?=—14,所以4x-3y+6=0,或4x—3?T4=°,由選項(xiàng)可知

B正確，故選B.

【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查直線的垂直,直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力,注意直線的設(shè)

法，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

5.右邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行

該程序框圖，若輸入“力分別為14,18,則輸出的。=（）

/^命入a,b/

A.0B.2C.4D.14

【答案】B

【解析】

【詳解】由a=14,b=18,a<b,

則b變?yōu)?8E14=4,

由a>b,則a變?yōu)?4口4=10,

由a>b,則a變?yōu)?0口4=6,

由a>b,則a變?yōu)?14=2,

由a<b,則b變?yōu)?口2=2,

由a=b=2,

則輸出的a=2.

故選B.

6.下表提供了某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，一種產(chǎn)品的產(chǎn)量工（單位：噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)

能耗了（單位：噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

X3456

y2.5t44.5

根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求得丁關(guān)于x的線性回歸方程為V=S7x+S35,那么表格中.的

值為

A.3B.3.15C.3.25D.3.5

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析:,線性回歸方

程過(guò)樣本點(diǎn)的中心

華叫好堿得心,

故答案為A.

考點(diǎn)：線性規(guī)劃的應(yīng)用.

x+y—340

<x-y+2>0

7.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件卜,1,則z=2x+?的最小值是（）

A.-1B.1C.3D.3.5

【答案】A

【解析】

【分析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，平移目標(biāo)函數(shù)，找出直線V=-2x+z在），軸上的

截距最小時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,從而求出目標(biāo)函數(shù)的最小值.

x+y—3Ko

<x-y-^-2>0

【詳解】畫出約束條件I7'】表示的平面區(qū)域，如圖陰影三角形N8C所示:

x+y-3=0P

4-1,1)'、.

目標(biāo)函數(shù)z=2x+y可化為y=-2x+z,平移目標(biāo)函數(shù)知，

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線V=-2x+z在y軸上的截距最小，此時(shí)z取得最小值,

x-y-h2=0

由1丁=1,求得'(T」)，

代入目標(biāo)函數(shù)可得Z的最小值為Zmin=2、(-1)+1=-1

故選：A.

8.命題“Vxe[2,+8),/“，，的否定為()

2

AVxe[2,+oo),X<4b3xne[2,+oo)(片《4

c3x0e[2,+oo)(x^>4口.*()e[2,+e),片<4

【答案】D

【解析】

【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.

【詳解】解：因?yàn)閂xe[2,+oo),/N4是全稱量詞命題，

所以其否定為存在量詞命題,即招42,+8),片<4,

故選：D

9.若夕為直線2x+P+l=0的傾斜角，則過(guò)兩點(diǎn)尸和4°)、Q(0,2cos8-3sm6)的

直線的斜率為()

【答案】B

【解析】

【分析】求出tan。的值，利用直線的斜率公式結(jié)合弦化切可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得tan6=-2,所以，

3sin8-2cos。

_3sin。-2cos。_cos。_3tan6^-2_

PQsin0sin。tan0

cose

故選：B.

10.為比較甲，乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員的近期競(jìng)技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場(chǎng)的得分制成

如圖所示的莖葉圖.有下列結(jié)論：

甲乙

985289

2130I2

①甲最近五場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)：

②甲最近五場(chǎng)比賽得分的平均數(shù)低于乙最近五場(chǎng)比賽得分的平均數(shù)；

③從最近五場(chǎng)比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定；

④從最近五場(chǎng)比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是o

A.②③B.①④

C.①③D.②④

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)莖葉圖得到甲、乙的得分，求出中位數(shù)、平均數(shù)、方差，即可判斷;

【詳解】甲的得分為25,28,29,31,32；

乙的得分為28,29,30,31,32；

-（25+28+29+31+32）=29，（28+29+30+31+32）=30

因?yàn)?,5

222

-P（25-29）+（28-29）2+啰_29）+（31-29）+（32-29）[=6

5L-

,（28—30）2+（29-30）2+（30—30）2+（31—30）2+（32—30）2]=?

故甲、乙得分中位數(shù)分別為29、30：平均數(shù)分別為29、30：方差分別為6、2.

故正確的有②③；

故選：A

11.已知加，〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題:

①若M〃n,,mua,則。，夕；

②若a，/?,a[}p=m,〃_L加，則〃_La或〃JL￡：

③若用,a,mIn,nu/3,則a〃〃或a_L￡；

④若?？谑?加，n//mt〃za,〃0廣，則〃〃a且“II尸.

其中正確命題的序號(hào)是()

A.@@B.①③C.①④D.②④

【答案】C

【解析】

【分析】對(duì)于①，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可知該命題正確；對(duì)于②，只有當(dāng)

〃ua或〃<=4時(shí)，才能得出該命題正確；對(duì)于③，a與,還有可能相交但不垂直；對(duì)

于④，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該命題正確.

【詳解】對(duì)于①，由加〃〃，n工。,得加工尸，又mua,所以故①正確；

對(duì)于②，若01?4，《口?=加，〃_Lm,則當(dāng)〃ua時(shí)，可得〃,方；當(dāng)〃u夕時(shí)，可

得“_La；當(dāng)〃za且“且月時(shí)，”與&和,都不垂直，故②不正確；

對(duì)于③，若加，a,mA,nu/3,則a〃/或/或a與夕相交但不垂直，故③

不正確，

對(duì)于④，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，若二口小=加，

〃//加，nua,〃UB,則“"a且〃〃￡是正確的，故④正確，

故選：c.

12.三棱錐P-/8C中，P/J_平面48C,//8C=45°,△/尸。的面積為40,則三棱

錐產(chǎn)一/18C的外接球體積的最小值為()

4血兀

A.4近兀B.3c,6472rD.

64垃兀

3

【答案】D

【解析】

8V2

-尸A=_____

【分析】設(shè)〃C=x,利用的面積為4所以x,由正弦定理

ahc.

-----=-----=------=2r

sin/sin8sinC,得出△/8C外接圓半徑，再用勾股定理表示出外接球半徑，

用基本不等式求出半徑的最小值，從而得出體積的最小值.

【詳解】設(shè)〃C=x,因?yàn)榈拿娣e為4后，所以x,N/8C=45。，

ACFTV2x

設(shè)△“BC外接圓半徑為r,利用正弦定理得sin45°，即2.

因?yàn)槭?_L平面ABC,所球心。在過(guò)△/BC外心且與平面ABC垂直的直線上，

,1472

d=-PDAJ=----

球心。到平面/8C的距離為2x,

.=.產(chǎn)+屋=二+與2y/^=2也

設(shè)球O的半徑為R,則V2x,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2a時(shí)，等號(hào)成立，

何二史生

故三棱錐尸一Z8C的外接球體積的最小值為33.

故選：D.

第n卷（非選擇題共四分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案直接填寫在答

題卡上.

13.已知兩條直線4：G+⑼％+4y=5—3%4：2x+（5+m）y=8.若直線/（與直線4平行,

則實(shí)數(shù)加=.

【答案】f

【解析】

【詳解】試題分析：由直線方程分析可知4斜率必存在,由直線4與直線4平行可得

3+加45—3加

----=-----w------

5+加#0.則有25+m8，解得加=一7.

考點(diǎn)：兩直線平行.

14.如圖，在正方體488-48|CQi中，上底面中心為O,則異面直線/O與。G所成

【答案】2

【解析】

【分析】建立空間坐標(biāo)系，求出兩異面直線的方向向量，利用數(shù)量積公式求出兩向量夾角

余弦的絕對(duì)值，即所求的異面直線A0與L?C,所成角的余弦值.

【詳解】建立如圖的坐標(biāo)系，以■所在直線為橫軸，DC所在直線為縱軸，所在直線

為豎軸.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2.

則/(2,0,0),O(1,1,2),G(0,2,2),

益=(—1,1,2),函=(0,2,2)

則異面直線AO片DC,所成角0前余弦值為

即時(shí)2+4V3

cos6=

西?|西―Vl+1+4xV4+4V

故答案為：2.

15.以下5個(gè)命題中真命題的序號(hào)有.

①樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征中，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本

數(shù)據(jù)全體的信息；

②若數(shù)據(jù)X】，*2,X3,…，X”的標(biāo)準(zhǔn)差為S,則數(shù)據(jù)g+6,ax?+b,/+力，…，

叫的標(biāo)準(zhǔn)差為aS；

③將二進(jìn)制數(shù)UM。。。⑵轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)是200；

3

④x是區(qū)間［0,5］內(nèi)任意一個(gè)整數(shù)，則滿足“》＜3”的概率是

【答案】①②③

【解析】

【分析】命題①由平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的關(guān)系比較即可；命題②，通過(guò)平均

數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式代入計(jì)算即可；命題③，由十進(jìn)制與其他進(jìn)制的換算法則計(jì)算即可;

命題④，通過(guò)枚舉，由古典概型計(jì)算概率即可.

【詳解】對(duì)于命題①，平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引

起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)，故與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均

數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，命題①是真命題；

_1n1n_

X=—S?=—七一'A

對(duì)于命題②，數(shù)據(jù)“1,%2,“3,…，Z的平均數(shù),〃，=1

而數(shù)據(jù)g+”,ax2+b,平+~…，叼,+'的平均數(shù)為

1〃1〃2〃

S'2=+b-x）=~-+b-ax-by=—￡（毛-x）'=a2S2

方差為nI=INI=I〃i=i

所以S'=aS,命題②是真命題;

“工人所自H001000.=1X27+1X26+1X23=200八的臺(tái)旦吉人師

對(duì)于命題③，⑵2)，命題③是真命題；

對(duì)于命題④，x是區(qū)間［0,5］內(nèi)任意一個(gè)整數(shù)，則x可取0、1、2、3、4、5共6種結(jié)果，滿足“

3_J_

乂<3，，的有0、1、2共3種結(jié)果，故概率為％,，命題④不是真命題.

故答案為：①②③.

16.已知左eR,是直線x+N=2左與圓F+產(chǎn)=/_4左+5的公共點(diǎn)，則時(shí)的

最大值為.

【答案】25

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓有公共點(diǎn)可知圓心到直線距離由此可解得左的范圍；利用

a-+b2=(a+b)-可將ab表示為關(guān)于左的二次函數(shù)，由二次函數(shù)最值求法可求得結(jié)

果.

【詳解】由圓的方程知：圓心(°'°),半徑尸="2-4k+5,

...直線x+y=2后與圓一+/二/-4個(gè)+5有公共點(diǎn)，

/、-=畢4〃2-4〃+5

，圓心“川)到直線x+>=2后的距離V2,

即父+4左一5<0,解得：-5<k<\.

a+b=2k

22

小Q2+b?=/一4左+5［曰(a+b)—2ah—4k—2ab=k—4k+5

由i得：、,，

,3,2c,53f,2?19

ah=—k"+2k——=—k+—----

222（3）6

即，

316919?

-x------=25

則當(dāng)上=—5時(shí)，ab取得最大值296

故答案為：25.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓綜合應(yīng)用中的最值問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠

將46表示為關(guān)于左的函數(shù)的形式，從而利用函數(shù)最值的求解方法來(lái)求得最值；易錯(cuò)點(diǎn)是忽

略直線與圓的位置關(guān)系，導(dǎo)致變量人的范圍出現(xiàn)錯(cuò)誤.

三、解答題：本大題6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)

程或演算步驟.

22

17.設(shè)aGR,命題p：VxeR,ax+2ax+l>0t命題/a-a-20<0,

（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若p或夕為真命題，p且q為假命題，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】（1）°Wa<l

⑵（<0）/1,5）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)命題0為真，利用判別式法求解；

（2）由p或夕為真命題，p且q為假命題，則p,q中一真一假求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：若命題p為真，

則當(dāng)4=0時(shí)，1〉0,滿足題意；

（7>0

當(dāng)”0時(shí)，［A=4"--4a<0,解得0<a<l,

綜上：04a<l；

【小問(wèn)2詳解】

若命題g為真，則-4<a<5,

由P或4為真命題，0且4為假命題，則°,夕中一真一假.

當(dāng)p真g假時(shí)，°〈”<1且。之5或aW-4,無(wú)解；

當(dāng)P假4真時(shí)，a<°或且一4<。<5得-4<a<°或lWa<5,

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為㈠⑼“⑸.

18.廣元市某中學(xué)校為鼓勵(lì)學(xué)生課外閱讀，高二學(xué)年進(jìn)行了一次百科知識(shí)競(jìng)賽考試（滿分

150分）.全年級(jí)共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的考試成績(jī)，繪制成頻率分布直方圖

（如圖所示）.

上頻率/組距

a-----------------

0.019---------

0.015_________

0.014--------T

0.010---------

0.008------1—

0.005---------

0.002——

O708090100110120130140150分?jǐn)?shù)

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求。的值；

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在［MO,150）的兩組同學(xué)中隨機(jī)抽取6名同

學(xué)，從這6名同學(xué)中再任選2名同學(xué)發(fā)言，求這2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)在同一組內(nèi)的概率.

［答案］（1）a=0.027

7

⑵15

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頻率和為1求出縱坐標(biāo)即可；

（2）應(yīng)用古典概型公式，列出基本事件即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

（0.002+0.008+0.014+0.019+?+0.015+0.01+0.005）x10=1

解得：a=0.027.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)“抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)”為事件人

由題意知，在分?jǐn)?shù)為13°140）的同學(xué)中抽取4人，分別用％,ai,a3,%表示,

在分?jǐn)?shù)為“4°，150）的同學(xué)中抽取2人,分別用牝均表示,

從這6名同學(xué)中抽取2人所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：

（《'生）（《嗎）（《‘4）（。1，4）（%也）（生嗎）（。2，%）（。2,4）

，，，，，，，，

Q也）

f

（%，4）,（。3也），（44,4）,（。4也），（4，臺(tái)2）,共15種

抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)在同一組內(nèi)的結(jié)果有：

（。1，。2）,（“I'%）,（"I,%）,（。2,。3）,（。2嗎），（％'。4）,（"1也）共7種，

P(A)=L

故這2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)在同一組內(nèi)的概率15.

19.如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)￡是線段N8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段BC上的

動(dòng)點(diǎn)，均不含端點(diǎn)，且滿足6￡=8尸，將MED,△DCF分別沿OE,。尸折起，使/,C

兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P.

(1)求證：PD1EF,

BE=BF=LBC

(2)當(dāng)3時(shí)，求三棱錐尸-￡7口的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)2

【解析】

【分析】(1)由線線垂直證平面尸環(huán)，再證PZ)J_Eb；

(2)由等體積法求七-PEF.

【小問(wèn)1詳解】

證明：4c重合于P,...OP,PE,???QC,CE,.?.DPJ.PE,

又PEu平面PEF,Pbu平面PEE,PECPF=P,...DP工平面PEF,

EEu平面PEF,：.PDVEF.

【小問(wèn)2詳解】

由已知得BE=8R=1,EF=叵,PE=PF=2,

,FTV14

則在尸中，七戶邊上的高N22

1

S°&PEF_=-xV/27x—V1—4=_V—7

則222,

.VP-EFD=VD-PEF=g“。EFX1X3X

20.已知坐標(biāo)平面上兩個(gè)定點(diǎn)'(3‘°)Q(°°),動(dòng)點(diǎn)"(XJ)滿足%|=2QM.

(1)求點(diǎn)”的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形;

（2）記（1）中的軌跡為曲線C,直線/過(guò)點(diǎn)PG"）且與曲線c交于￡尸兩點(diǎn)，點(diǎn)。在

以E尸為直徑的圓上，求直線/的方程.

【答案】（1）（x+iy+V=4；以（T°）為圓心，以2為半徑的圓；

y=±gx-2）

（2）3

【解析】

222

【分析】⑴由.=2|。徵，得到7（X-3）+K=2yjx+y；化簡(jiǎn)求解；

（2）設(shè)/:尸％*-2）,代入（x+l）2+y2=4,設(shè)F（x2,y2）根據(jù)點(diǎn)。在

以E尸為直徑的圓上，由演工2+凹為=°求解.

【小問(wèn)1詳解】

解:由喇=2|。町

得yl（x-3）2+y2=2舊+y2,

化簡(jiǎn)整理得點(diǎn)"的軌跡方程為：（X+1）2+/=4,

點(diǎn)M的軌跡是以（一1'°）為圓心，以2為半徑的圓；

【小問(wèn)2詳解】

由題可知直線斜率存在可設(shè)/y=4（x-2）,代入（x+l）2+》=4,

，旦（l+k2）x2+（2-4k2）x+4k2-3=0

△=（2—4公］—4（1+公*4左2一3）＞0

4F-24k2-3

設(shè)￡（國(guó),乂），/&，必），貝J+X2=7TF

由點(diǎn)°在以￡尸為直徑的圓上，

則OEOF=0,即+必8=0,

即斗工2+%~（再-2）（工2-2）=0,

2

所以再乙+左2玉々-2k（xt+12）+4左2=0

4k2-2、

1+r,

公2k=±2

整理可得3,即3,代入△＞（）成立,

y=士—(x—2)

所以直線/的方程為3

21.如圖，四棱錐P—ABCD,平面。/6工平面力BCD,PALAB,AB//CD

ADAB=90°(PA=AD,DC=2AB,E為PC中點(diǎn)、.

（2）平面尸6C1平面尸Z）C.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）取中點(diǎn)證明平行四邊形，應(yīng)用線面平行判定定理證明即可；

（2）先證明線面垂直，再應(yīng)用面面垂直判斷定理證明.

【小問(wèn)1詳解】

取PD中點(diǎn)F,連接EF,AF,由E為尸C中點(diǎn)，

...2,又2,：.EF//AB,EF=AB,故四

邊形/BEF為平行四邊形，

???BE/IAF，

又4Fu平面p/o,8￡0平面4。，，3￡//平面尸49.

由已知有力BAVAD,ADC\AP^At平面/尸。，“夕匚平面/尸。,

84_1_平面/P。，又NEu平面/尸。84_L4F,

ABHCDAF1DC,又P4=4D,

：.AF工PD,PDcDC