(精心整理)高中數(shù)學導數(shù)知識點歸納總結

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦(精心整理)高中數(shù)學導數(shù)知識點歸納總結§14.導數(shù)學問要點

1.導數(shù)（導函數(shù)的簡稱）的定義：設0x是函數(shù))(xfy=定義域的一點，假如自變量x在0x處有增量x?，則函數(shù)值y也引起相應的增量)()(00xfxxfy-?+=?；比值x

xfxxfxy?-?+=

??)

()(00稱為函數(shù))(xfy=在點0x到xx?+0之間的平均變化率；假如極限xxfxxfxy

xx?-?+=??→?→?)()(lim

lim

0000存在，則稱函數(shù))(xfy=在點0x處可導，并把這個極限叫做)(xfy=在0x處的導數(shù)，

記作)(0'xf或0|'xxy=，即)(0'xf=x

xfxxfxy

xx?-?+=??→?→?)()(lim

lim0000.注：①x?是增量，我們也稱為“轉變量”，由于x?可正，可負，但不為零.

②以知函數(shù))(xfy=定義域為A，)('xfy=的定義域為B，則A與B關系為BA?.2.函數(shù))(xfy=在點0x處延續(xù)與點0x處可導的關系：

⑴函數(shù))(xfy=在點0x處延續(xù)是)(xfy=在點0x處可導的須要不充分條件.可以證實，假如)(xfy=在點0x處可導，那么)(xfy=點0x處延續(xù).事實上，令xxx?+=0，則0xx→相當于0→?x.

于是)]

()()([lim)(lim)(lim0000

00

xfxfxxfxxfxfxxxx+-+=?+=→?→?→

).

()(0)()(limlim)

()(lim)]()()([

lim000'0000000000xfxfxfxfx

xfxxfxfxxxfxxfxxxx=+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵假如)(xfy=點0x處延續(xù)，那么)(xfy=在點0x處可導，是不成立的.例：||)(xxf=在點00=x處延續(xù)，但在點00=x處不行導，由于x

xxy??=

??|

|，當x?＞0時，1=??x

y；當x?＜0時，

1-=??xy，故xy

x??→?0lim不存在.注：①可導的奇函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為偶函數(shù).

②可導的偶函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為奇函數(shù).3.導數(shù)的幾何意義：

函數(shù))(xfy=在點0x處的導數(shù)的幾何意義就是曲線)(xfy=在點))(,(0xfx處的切線的斜率，也就是說，曲線)(xfy=在點P))(,(0xfx處的切線的斜率是)(0'xf，切線方程為

).)((0'0xxxfyy-=-

4.求導數(shù)的四則運算法則：

''')(vuvu±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21xfxfxfyxfxfxfynn+++=?+++=?

''''''')()(cvcvvccvuvvuuv=+=?+=（c為常數(shù)）

)0(2'''

≠-=

??

?

??vvuvvuvu注：①vu,必需是可導函數(shù).

②若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不行導，則它們的和、差、

積、商不一定不行導.

例如：設xxxf2sin2)(+=，x

xxg2

cos)(-=，則)(),(xgxf在0=x處均不行導，但它們和

=+)()(xgxf

xxcossin+在0=x處均可導.

5.復合函數(shù)的求導法則：)()())(('''xufxfx??=或xuxuyy'''?=復合函數(shù)的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.

6.函數(shù)單調性：

⑴函數(shù)單調性的判定辦法：設函數(shù))(xfy=在某個區(qū)間內可導，假如)('xf＞0，則)(xfy=為增函數(shù)；假如)('xf＜0，則)(xfy=為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定辦法；

假如函數(shù))(xfy=在區(qū)間I內恒有)('xf=0，則)(xfy=為常數(shù).

注：①0)(xf是f（x）遞增的充分條件，但不是須要條件，如32xy=在),(+∞-∞上并不是都有

0)(xf，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣0)(xf是f（x）遞減的充分非須要條

件.

②普通地，假如f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上照舊是單調增強（或單調削減）的.7.極值的判別辦法：（極值是在0x附近全部的點，都有)(xf＜)(0xf，則)(0xf是函數(shù))(xf的極大值，微小值同理）

當函數(shù))(xf在點0x處延續(xù)時，

①假如在0x附近的左側)('xf＞0，右側)('xf＜0，那么)(0xf是極大值；②假如在0x附近的左側)('xf＜0，右側)('xf＞0，那么)(0xf是微小值.

也就是說0x是極值點的充分條件是0x點兩側導數(shù)異號，而不是)('xf=0①

.此外，函數(shù)不

可導的點也可能是函數(shù)的極值點②

.固然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比微小值?。ê瘮?shù)在某一點附近的點不同）.

注①：若點0x是可導函數(shù))(xf的極值點，則)('xf=0.但反過來不一定成立.對于可導函數(shù)，其一點0x是極值點的須要條件是若函數(shù)在該點可導，則導數(shù)值為零.例如：函數(shù)3)(xxfy==，0=x使)('xf=0，但0=x不是極值點.

②例如：函數(shù)||)(xxfy==，在點0=x處不行導，但點0=x是函數(shù)的微小值點.

8.極值與最值的區(qū)分：極值是在局部對函數(shù)值舉行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值舉行比較.

注：函數(shù)的極值點一定故意義.9.幾種常見的函數(shù)導數(shù)：

I.0'=C（C為常數(shù)）xxcos)(sin'

=2

'

11)(arcsinx

x-=

1')(-=nnnxx（Rn∈）xxsin)(cos'-=2

'11)(arccosx

x--

=

II.xx1)(ln'=

exxaalog1

)(log'=1

1)(arctan2'+=xxxxee=')(aaaxxln)('=1

1)cot(2'+-

=xxarc

III.求導的常見辦法：

①常用結論：x

x1|)|(ln'=

.②形如))...()((21naxaxaxy=或)

)...()(()

)...()((2121nnbxbxbxaxaxaxy=兩邊同取自然對數(shù)，可轉化

求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如xxy=這類函數(shù)，如xxy=取自然對數(shù)之后可變形為xxylnln=，對兩邊

求導可得xxxxxyyxyyx

xxyy+=?+=??+=lnln1

ln'''.

導數(shù)學問點總結復習

經(jīng)典例題剖析考點一：求導公式。例1.()fx'是3

1()213

fxxx=

++的導函數(shù)，則(1)f'-的值是?？键c二：導數(shù)的幾何意義。

例2.已知函數(shù)()yfx=的圖象在點(1(1))Mf，處的切線方程是1

22

yx=

+，則(1)(1)ff'+=。

例3.曲線3

2

242yxxx=--+在點(13)-，處的切線方程是。點評：以上兩小題均是對導數(shù)的幾何意義的考查?？键c三：導數(shù)的幾何意義的應用。

例4.已知曲線C：xxxy232

3

+-=，直線kxyl=:，且直線l與曲線C相切于點

()00,yx00≠x，求直線l的方程及切點坐標。

點評：本小題考查導數(shù)幾何意義的應用。解決此類問題時應注重“切點既在曲線上又在切線上”這個條件的應用。函數(shù)在某點可導是相應曲線上過該點存在切線的充分條件，而不是須要條件。

考點四：函數(shù)的單調性。

例5.已知()132

3

+-+=xxaxxf在R上是減函數(shù)，求a的取值范

點評：本題考查導數(shù)在函數(shù)單調性中的應用。對于高次函數(shù)單調性問題，要有求導意識。

考點五：函數(shù)的極值。

例6.設函數(shù)32

()2338fxxaxbxc=+++在1x=及2x=時取得極值。（1）求a、b的值；

（2）若對于隨意的[03]x∈，，都有2

()fxc<成立，求c的取值范圍。

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值。求可導函數(shù)()xf的極值步驟：①求導數(shù)()xf'；

②求()0'=xf的根；③將()0'=xf的根在數(shù)軸上標出，得出單調區(qū)間，由()xf'在各區(qū)間上取值的正負可確定并求出函數(shù)()xf的極值?？键c六：函數(shù)的最值。

例7.已知a為實數(shù)，()()

()axxxf--=42

。求導數(shù)()xf'；（2）若()01'=-f，求()

xf在區(qū)間[]2,2-上的最大值和最小值。

點評：本題考查可導函數(shù)最值的求法。求可導函數(shù)()xf在區(qū)間[]ba,上的最值，要先求出函數(shù)()xf在區(qū)間()ba,上的極值，然后與()af和()bf舉行比較，從而得出函數(shù)的最大最小值?？键c七：導數(shù)的綜合性問題。

例8.設函數(shù)3