電路的過渡過程課件

第5章電路的過渡過程5.1過渡過程的產(chǎn)生和換路定律5.2RC電路過渡過程及三要素法5.3RL電路的過渡過程5.4RC電路對矩形波的響應思考題與習題5.1過渡過程的產(chǎn)生和換路定律5.1.1過渡過程產(chǎn)生的必然性在含有儲能元件的電路中，當電路結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生改變時，會引起電路中電流和電壓的變化，而電路中電壓和電流的建立或其量值的改變，必然伴隨著電容中電場能量和電感中磁場能量的改變。這種改變是能量漸變，而不是躍變（即從一個量值即時地變到另一個量值），否則將導致功率P=dw/dt成為無限大，這在實際中是不可能的。在電容中儲能表現(xiàn)為電場能量

，由于換路時能量不能躍變，故電容上的電壓一般不能躍變。從電流的觀點來看，電容上電壓的躍變將導致其中的電流變?yōu)闊o限大，這通常也是不可能的。由于電路中總要有電阻，iC只能是有限值，所以有限電流對電容充電，電容電荷及電壓uC就只能逐漸增加，而不可能在瞬間突然躍變。對電感中儲存的磁場能量，電感中的電壓電流關(guān)系為，能量不能躍變，電壓為有限值，故電感中的電流一般也不能躍變。因此，當電路結(jié)構(gòu)或電路參數(shù)發(fā)生改變時，電感的電流和電容的電壓必然有一個從原先值到新的穩(wěn)態(tài)值的過渡過程，而電路中其他的電流、電壓也會有一個過渡過程。5.1.2換路定律和初始值的計算用直接求解微分方程的方法分析電路的過渡過程需要確定積分常數(shù)，因此就必須知道響應的初始值，而初始值可由換路定律得到。電路理論中把電路結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)的改變稱為換路。如圖5-1（a），開關(guān)S由打開到閉合，假設開關(guān)動作瞬時完成，開關(guān)的動作改變了電路的結(jié)構(gòu)，這就稱為換路，開關(guān)動作的時刻選為計時時間的起點，記為t=0。我們研究的就是開關(guān)動作后，即t=0以后的電路響應。圖5-1例5-1的圖在換路瞬間，電容元件的電流有限時，其電壓uC不能躍變；電感元件的電壓有限時，其電流iL不能躍變，這一結(jié)論叫做換路定律。把電路發(fā)生換路時刻取為計時起點t=0，而以t=0-表示換路前的最后一瞬間，它和t=0之間的間隔趨近于零；以t=0+表示換路后的最前一瞬間，它和t=0之間的間隔也趨近于零，則換路定律可表示為（5-1）電容上的電荷量和電感中的磁鏈也不能躍變，而電容電流、電感電壓、電阻的電流和電壓、電壓源的電流、電流源的電壓在換路瞬間是可以躍變的。它們的躍變不會引起能量的躍變，即不會出現(xiàn)無限大的功率。響應在換路后的最初一瞬間（即t=0＋時）的值稱為初始值。電容電壓的初始值uC(0+)和電感電流的初始值iL(0+)可按換路定律(5-1)式求出。t=0-時的值由換路前的電路求出，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，此時電容相當于開路，電感相當于短路。其他可以躍變的量的初始值可由t=0+時的等效電路求出。首先畫出0+等效電路，在0+等效電路中，將電容元件用電壓為uC(0+)的電壓源替代，將電感元件用電流為iL(0+)的電流源替代，若uC(0+)=uC(0-)=0，

iL(0+)=iL(0-)=0，則在t=0+這一瞬間電容相當于短路，電感相當于開路。電路中的獨立電源則取其在0+時的值，0+等效電路是一個電阻性電路，可根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律求出其他相關(guān)初始值。［例5-1］作出圖5-1（a）所示電路t=0+時的等效電路，并計算iR3(0+)、iR2(0+)、

uC(0+)、

uL(0+)。已知開關(guān)閉合前，電路無儲能。［解］因為換路前電路無儲能，所以uC(0-)=0,

iL(0-)=0。作出t=0+時的等效電路如圖5-1（b）所示。因為uC(0+)=uC(0-)=0，所以電容可看成短路；因iL(0+)=iL(0-)=0，所以電感可看成開路。用直流電阻電路分析方法計算得：5.1.3研究過渡過程產(chǎn)生的實際意義研究電路的過渡過程有著重要的實際意義:一方面是為了便于利用它，例如電子技術(shù)中多諧振蕩器、單穩(wěn)態(tài)觸發(fā)器及晶閘管觸發(fā)電路都應用了RC充放電電路；另一方面，在有些電路中，由于電容的充放電過程可能出現(xiàn)過電壓、過電流，進行過渡過程分析可獲得預見，以便采取措施防止出現(xiàn)過電壓、過電流。5.2RC電路過渡過程及三要素法

5.2.1RC電路的零輸入響應電路沒有外加電源，只靠儲能元件初始能量產(chǎn)生的響應稱為零輸入響應。設電路如圖5-2（a）所示，開關(guān)S置于1的位置，電路處于穩(wěn)態(tài)，電容C被電壓源充電到電壓U0。在t=0時將開關(guān)S倒向2的位置，電容C此時通過電阻R進行放電。圖5-2（b）為換路后的電路，列寫換路后的電路方程，可求出其電路響應。圖5-2零輸入響應電路根據(jù)圖5-2（b），在所選各量的參考方向下，由KVL得-uR+uC=0（5-2）

將元件的電壓電流關(guān)系uR=Ri,i=-C(負號表示電容的電壓和電流為非關(guān)聯(lián)參考方向)代入上式，得（5-3）解此RC電路的零輸入響應方程，得到電容電壓隨時間的變化規(guī)律。用一階常系數(shù)線性齊次常微分方程求解方法和初始條件解得它的通解為

uC=AePt

將其代入式（5-3），得特征方程

RCp+1=0

解得特征根所以（5-4）式中的常數(shù)A由電路的初始條件確定。由換路定律得

uC(0+)=uC(0-)=U0

即t=0+時uC=U0,將其代入式（5-4）得A=U0。最后得電容的零輸入響應電壓（t≥0）（5-5）它是一個隨時間衰減的指數(shù)函數(shù)，uC隨時間變化的曲線如圖5-3所示，在t=0時uC=u0，沒有躍變。uC求得后，可得電路中的電流響應(t>0)(5-6)圖5-3uC變化曲線圖5-4i變化曲線它也是一個隨時間衰減的指數(shù)函數(shù)，波形如圖5-4所示，在t=0時，電流由零躍變?yōu)閁0/R，發(fā)生了躍變,這正是由電容電壓不能躍變所決定的。在式（5-5）、（5-6）中,令（t≥0）（5-7）(t>0)（5-8）

e的指數(shù)項（-t/τ）必然是一個無量綱的數(shù)，因此R和C的乘積具有時間的量綱，與電路初始情況無關(guān)，所以把τ=RC叫做RC電路的時間常數(shù)。當C用法拉，R用歐姆為單位時，有下面以式（5-7）為例來說明時間常數(shù)τ的意義。開始放電時，uC=u0,經(jīng)過一個τ的時間，uC衰減為

uC(τ)=U0e-1=0.368U0時間常數(shù)就是按指數(shù)規(guī)律衰減的量衰減到它的初始值的36.8%時所需的時間?？梢宰C明，若以τ和τ的倍數(shù)標注時間軸，那么，uC和i的指數(shù)曲線上任意點的次切距長度都等于時間常數(shù)τ,即以任意點的切線勻速衰減到零所需要的時間為τ。當t=4τ時，uC(4τ)=U0e-4=0.0183U0，

電壓已下降到初始值U0的1.83%，可認為電壓已基本衰減到零。工程上一般認為,換路后，時間經(jīng)過3τ～5τ，過渡過程就結(jié)束。由此可看出，電壓、電流衰減的快慢取決于時間常數(shù)τ的大小，時間常數(shù)越大，衰減越慢，過渡過程越長；反之，時間常數(shù)越小，衰減越快，過渡過程越短。RC電路的零輸入響應是由電容的初始電壓U0和時間常數(shù)τ=RC所確定的。τ對過渡過程的影響見圖5-5給出的RC電路在三種不同τ值下電壓uC隨時間變化的曲線。圖5-5不同τ值下的uC曲線在放電過程中，能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系是電容不斷放出能量，電阻則不斷消耗能量，最后，原來儲存在電容中的電場能量全部為電阻吸收而轉(zhuǎn)換為熱量。［例5-2］電路如圖5-6所示，開關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時將開關(guān)閉合，試求t>0時的電壓uC和電流iC、i1及i2。圖5-6例5-2的圖［解］在t>0時，左邊電路被短路，對右邊電路不起作用，這時電容經(jīng)電阻1Ω和2Ω兩支路放電，等效電阻為故時間常數(shù)為由式（5-7）和（5-8）得

5.2.2RC電路的零狀態(tài)響應當電容的初始電壓為零時，電路與直流電壓源或電流源接通，由外施激勵引起的響應稱為RC電路的零狀態(tài)響應。電路如圖5-7所示，設開關(guān)S合上前電容C未充電，t=0時合上開關(guān)，此時的電路響應求解可用與求解零輸入響應同樣的方法，即求解微分方程的方法。圖5-7零狀態(tài)響應電路由KVL得

uR+uC=us

把代入上式，得（t>0）（5-9）由高等數(shù)學知識可知，式（5-9）是一個一階常系數(shù)線性非齊次微分方程，它的解由其特解uC′和相應的齊次微分方程的通解uC″組成，即

uC=uC′+uC″

其特解為uC=us

而通解為與式（5-9）對應的齊次方程式（5-10）的解：

由前面可知（5-10）因此，uC的解為(t≥0)將uC的初始值t=0時uC(0+)=uC(0-)=0代入上式確定出常數(shù)A：

0=us+A

A=-us

最后得出電容電壓的零狀態(tài)響應為(t≥0)

令τ=RC，則(t≥0)（5-11）進而可得電路的電流i(t)和電阻電壓uR為(t＞0)(5-12)(t＞0)（5-13）

uC(t)、

uR(t)和i(t)隨時間變化的曲線如圖5-8所示。圖5-8零狀態(tài)響應變化曲線由上述分析可知，電容元件與恒定的直流電壓源接通后，電容的充電過程是：電容電壓從零值按指數(shù)規(guī)律增長，最后趨于直流電壓源的電壓Us；充電電流從零值躍變到最大值Us/R后按指數(shù)規(guī)律衰減到零；電阻電壓與電流變化規(guī)律相同，從零值躍變到最大值Us后按指數(shù)規(guī)律衰減到零。電壓、電流上升或下降的快慢仍然由時間常數(shù)τ決定，τ越大，uC上升越慢，過渡過程時間越長；反之，τ越小，uC上升越快，過渡過程時間也越短。當t=τ時，uC(τ)=(1-e-1)Us=0.632Us，電容電壓增至穩(wěn)態(tài)值的0.632倍。當t=5τ時，uC=0.997Us,可以認為充電已經(jīng)結(jié)束。電容充電過程中的能量關(guān)系為電源供給的能量一部分轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中，一部分則被電阻消耗掉。在充電過程中，電阻所消耗的電能為圖5-9例5-3的圖［例5-3］電路如圖5-9所示，開關(guān)在t＝0時閉合，在閉合前電容無儲能，試求t≥0時電容電壓以及各電流。［解］因為在開關(guān)閉合前無儲能，所以由換路定律得

uC(0+)=uC(0-)=0

因此，電路響應是零狀態(tài)響應，電路的時間常數(shù)τ＝RC，其中則

τ=RC=15×103×20×10-6=0.3s

t＝∞時電容上的電壓為電源電壓Us，所以電路的零狀態(tài)響應為(t≥0)(t＞0)由于并聯(lián)支路電阻相等，得(t＞0)［例5-4］電路如圖5-10所示，電容原未充電，

t＝0時開關(guān)從1扳向2，求uC（t)和iC(t)。［解］電容原未充電，所以uC(0+)=uC(0-)=0。根據(jù)開關(guān)動作后的電路，列寫電路方程為

iC+iR=Is

將代入上式，得圖5-10例5-4的圖整理得零狀態(tài)響應為（t≥0）（t>0）5.2.3RC電路的全響應及三要素法電路的全響應就是在初始狀態(tài)及外加激勵共同作用下的響應。圖5-11所示電路中，設電容C原已被充電，且uC(0+)=U0，在t=0時將開關(guān)合上，RC串聯(lián)電路與直流電壓源接通。

顯然，換路后的電路響應由輸入激勵Us和初始狀態(tài)U0共同產(chǎn)生，是全響應。求解全響應仍然可以用求解微分方程的方法，描述圖5-11RC電路全響應的微分方程與前述RC電路的零狀態(tài)響應的電路方程一樣，為(t≥0)其解為(t≥0)圖5-11

但由于初始條件不同，待定系數(shù)A值不同，將初始值代入得

A=U0-Us

令τ＝RC，則全響應(5-14)

(5-15)

(5-16)全響應曲線如圖5-12所示。圖5-12全響應曲線(a)Us＞U0;(b)Us＜U0

式（5-14）可以看作是由兩個分量組成的，第一項稱為穩(wěn)態(tài)分量，它僅決定于激勵的性質(zhì)；第二項稱為暫態(tài)分量，按指數(shù)規(guī)律衰減。所以，全響應也可表示為

全響應=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量這是全響應的第一種分解形式。式（5-14）也可寫成如下形式：(5-17)可以看出，第一項是uC的零輸入響應，第二項則是uC的零狀態(tài)響應，即

全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應實質(zhì)上，這是線性電路疊加的必然結(jié)果。因為全響應是由初始值和輸入激勵共同產(chǎn)生的，所以全響應就等于初始值和輸入激勵分別作用產(chǎn)生的響應之和。不難看出，電路中的任意電壓、電流的全響應都可看成是零輸入響應和零狀態(tài)響應之和，而零輸入響應和零狀態(tài)響應都是全響應的一種特例。圖5-13例5-5的圖［例5-5］電路如圖5-13所示，已知R=6Ω，

C=1F，Us=10V，

uC(0-)=-4V，開關(guān)在t＝0時閉合，求t>0時的uC(t)、

iC(t)。［解］電路的微分方程為電路的時間常數(shù)為

τ=RC=6×1=6s方程的解為將初始值uC(0-)=-4V=uC(0+)代入上式得

-4＝10＋A所以

A＝-14V最后得（t≥0）（t>0）前面我們求解零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應都是采用解一階微分方程的方法，又知道零輸入響應和零狀態(tài)響應都是全響應的特例，從解的形式可以發(fā)現(xiàn)，還有更直接的方法求出一階電路的全響應。對RC電路的全響應式進行分析，如果將待求的電壓或電流用f(t)表示，其初始值和穩(wěn)態(tài)值分別為f(0+)和f(∞)，其響應可寫成在t=0+時有

f(0+)=f(∞)+A

A=f(0+)-f(∞)所以一階電路的解就可表達為

f(t)=f(∞)+［f(0+)-f(∞)］(5-18)式中f(∞)、f(0+)和τ稱為一階電路的三要素，式（5-18）稱為一階電路的三要素公式。直接利用三要素公式來求解一階電路稱為求解一階電路的三要素法。一階電路的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為

f(t)=f(0+)

(5-19)f(t)=f(∞)(1-)(5-20)用三要素法求解一階電路時，只要求出待求電壓或電流的初始值（0＋值）、t＝∞時的穩(wěn)態(tài)值和電路的時間常數(shù)τ這三個量，將其代入式（5-18）即可得到所求電壓或電流的響應。初始值f(0+)的求法已在5.1節(jié)中講述。穩(wěn)態(tài)值f(∞)由t＝∞時的等效電路求得，在等效電路中，電容相當于開路。同一電路只有一個時間常數(shù)τ＝RC，其中R應理解為從動態(tài)元件兩端看進去的戴維南或諾頓等效電路中的等效電阻。［例5-6］電路如圖5-14所示，開關(guān)S在t＝0時閉合，用三要素法求uC(t)、i(t)和iC(t)，并畫出其波形。［解］（1）求初始值uC(0+)、i(0+)和iC(0+)。

根據(jù)換路定律有

uC(0+)=uC(0-)=Us

因此，在t＝0＋瞬間，電容相當于電壓源Us，得t＝0＋時的等效電路圖5-14(b)，由此得圖5-14例5-6的圖（2）求穩(wěn)態(tài)值uC(∞)、i(∞)和iC(∞)。

在穩(wěn)態(tài)時，電容相當于開路，等效電路如圖5-14(c)所示，所以有（3）求時間常數(shù)。電壓源用短路替代，從電容兩端看進去，R1和R2并聯(lián)，其等效電阻為所以(4)將初始值、穩(wěn)態(tài)值和時間常數(shù)代入三要素公式，寫出全響應為（t≥0）(t≥0）（t＞0）（t＞0）圖5-15uC(t)、i(t)和iC(t)波形圖5-15

5.3RL電路的過渡過程在5.2節(jié)中對RC電路的過渡過程進行了詳細的分析，對RL電路過渡過程的分析與RC電路類似，這里討論的是含有一個電感元件的RL電路，描述電路的微分方程是一階微分方程。我們已知道，當電感電壓為有限值時，電感電流不能躍變，假如在t＝0時換路，則

iL(0+)=

iL(0-)，即電感電流的初始值由換路定律求得，其他電壓或電流的初始值由0＋等效電路求出。在0＋等效電路中，電感元件用電流為iL(0+)的電流源替代。求t＝∞時的穩(wěn)態(tài)值時，電感相當于短路。RL電路的時間常數(shù)τ＝L/R，R為從電感元件兩端看進去無源二端網(wǎng)絡的等效電阻。下面通過幾個例子說明如何求解RL電路的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。［例5-7］電路如圖5-16(a)所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)S在t＝0時閉合，求t≥0時的i(t)、

uL(t)、

uR(t)并畫出曲線。［解］換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電感相當于短路。由換路定律得電感電流初始值列換路后的電路方程。在所選各量參考方向下，由KVL得

uL+uR=0圖5-16將元件的電壓電流關(guān)系

，uR=Ri代入上式得（t＞0）（t＞0）它是一階常系數(shù)線性齊次常微分方程，求解微分方程即可得出電流的變化規(guī)律，在這里我們不再贅述。采用與RC電路零輸入響應的微分方程

對照的辦法，其解可直接寫出。得RL電路的零輸入響應電流為(t≥0)電感電壓及電阻電壓為(t＞0)(t＞0)i(t)、

uL(t)、

uR(t)隨時間變化的曲線如圖5-16(b)所示。

RL電路的時間常數(shù)τ＝L/R，單位是秒（s），RL電路的零輸入響應也是以初始值開始按指數(shù)規(guī)律衰減的，衰減的快慢決定于時間常數(shù)的大小。τ越小，衰減越快。在這一過程中，電感中原先儲存的磁場能量逐漸被電阻消耗，轉(zhuǎn)化為熱能。RL電路的零狀態(tài)響應和全響應可直接按三要素法寫出。［例5-8］圖5-17所示電路中，開關(guān)S在t＝0時閉合，已知iL(0-)=0，求t≥0時的iL（t）、

uL（t）。［解］

因為iL(0-)=0，故換路后的電路響應是零狀態(tài)響應，因此電感電流可直接套用式（5-20）。又因為電流穩(wěn)定后，電感相當于短路，故圖5-17例5-8的圖時間常數(shù)為所以（t≥0）（t＞0）［例5-9］電路如圖5-18（a）所示，開關(guān)動作前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t＝0時開關(guān)閉合，試求iL、

uL、i并畫出其波形。圖5-18例5-9的圖(a)電路；(b)0+等效電路［解］用三要素法。（1）求初始值。根據(jù)對換路前電路的分析及換路定律，有畫出0＋等效電路如圖5-18（b）所示，可得（2）求穩(wěn)態(tài)值。在穩(wěn)態(tài)時電感相當于短路，所以（3）求時間常數(shù)。換路后的電路除電感外的等效電阻為（4）寫出全響應如下：（t≥0）（t＞0）（t＞0）（5）iL、i和uL的波形如圖5-19所示。圖5-19波形圖采用三要素法進行計算時，需要求出待求電壓和電流的初始值、穩(wěn)態(tài)值和時間常數(shù)。對RL電路，電感電流的三要素一般必須求出，而且計算也不太復雜，其他的電壓和電流可由0+等效電路求出初始值，并由換路后電路達到穩(wěn)態(tài)時的電路求出穩(wěn)態(tài)值。某些量的計算較復雜，根據(jù)換路后的電路中所求電壓、電流與電感電流的關(guān)系求出初始值可能更簡便。在RC電路中，也可采用此方法，即先求出電容電壓，其他的電壓或電流根據(jù)其與電容電壓的關(guān)系求出。對例5-9中的i(t)和uL(t)即可按上述方法求出。前面已經(jīng)求出了則（t＞0）根據(jù)換路后的電路，有（t＞0）含有動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路，由于動態(tài)元件的伏安關(guān)系為微分或積分關(guān)系，因此描述動態(tài)電路的方程為微分方程。線性動態(tài)電路由常系數(shù)線性微分方程來描述。求解微分方程的解析法稱為時域分析法。任何只含有一個動態(tài)元件的線性電路都是用一階常系數(shù)線性微分方程描述的，這種電路稱為一階電路。一階電路的全響應為利用此公式求解一階電路的方法稱為一階電路的三要素法。f(0+)、f(∞)、τ稱為一階電路的三要素。一階電路的零輸入響應為一階電路的零狀態(tài)響應為5.4RC電路對矩形波的響應在電子技術(shù)中，利用RC電路的過渡過程可以構(gòu)成周期性震蕩、周期性信號變換等各種功能電路，RC電路對矩形波的響應就可以被用于進行波形變換。例如，圖5-20(a)所示的RC電路，當電容初始能量為零，外加電壓源波形如圖5-20(b)所示為單個矩形波時，電路的響應可以分段求解如下。圖5-20RC電路輸入單個矩形波在t＝0～t0這一段，電路的響應為零狀態(tài)響應；

t＞t0為零輸入響應；t＝t0＋時的值為零輸入響應的初始值。由于電容電壓不能躍變，因而uC(t0+)=uC(t0-)，

uC(t0-)為零狀態(tài)響應t＝t0時的值，則

當0≤t＜t0時，有當t≥t0時，有響應曲線如圖5-21所示。注意，t≥t0時的響應式中，e的指數(shù)時間要用t-t0，這是因為t＝t0時為e0。然后按指數(shù)規(guī)律衰減，t-t0＝3τ～5τ時，過渡過程結(jié)束。在分析線性電路的過渡過程時，特別是對矩形波或矩形脈沖序列激勵的響應進行分析時，利用階躍函數(shù)來描述電路的激勵和響應有時比較方便。下面先介紹什么是階躍函數(shù)，然后介紹階躍響應。圖5-21RC電路對單個矩形波的響應曲線

1．單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)用符號1（t）表示，定義為

0

t＜01（t）=1t＞0

其波形如圖5-22（a）所示。圖5-22階躍函數(shù)(a)單位階躍函數(shù)；(b)幅度為A的階躍函數(shù)；(c)延時階躍函數(shù)

2．幅度為A的階躍函數(shù)躍變幅度為A的階躍函數(shù)為A·1(t)，其數(shù)學定義為t＜0t＞0（5-22）其波形如圖5-22（b）所示。利用單位階躍函數(shù)可以表示在t＝0時電路接入電壓源或電流源，單位階躍函數(shù)的起始特性代替了開關(guān)的動作，如圖5-23所示。于是，對于圖5-24(a)所示的矩形脈沖，可以被看作由圖5-24（b）、（c）所示的兩個階躍函數(shù)相加而成，表達式為

f(t)=A·1(t)-A·1(t-t0)(5-24)圖5-23用單位階躍函數(shù)代替開關(guān)圖5-24矩形脈沖分解成階躍函數(shù)圖5-25RC串聯(lián)電路電路對階躍激勵的零狀態(tài)響應稱為階躍響應。階躍響應的求法與零狀態(tài)響應求法相同。圖5-25所示的RC串聯(lián)電路的階躍響應為

uC(t)=Us(1-

)·1(t)(5-25)

式（5-25）后面不需再標明t≥0，因為1（t）已表示出這一條件。電路對單個矩形波的響應若用階躍函數(shù)表示激勵，則圖5-20的RC電路激勵和響應分別為激勵為us(t)=Us·1(t)-Us·1(t-t0)響應為(5-26)式(5-26)是兩個階躍電壓響應的疊加，波形圖如圖5-26所示。從前面的分析可看出，對矩形波的響應既可以分段來求，也可以寫成階躍響應疊加的形式。圖5-26單個矩形波的響應等于階躍響應的疊加［例5-10］圖5-27（a）所示電路，如果T=10τ，求uC(t)和uR(t)，并畫出波形圖。圖5-27例5-10的圖［解］圖5-27（b）所示電壓波形是一周期為2T的周期函數(shù)，第一個周期內(nèi)的函數(shù)可表示為

us(t)=Us·1(t)-Us·1(t-T)V

此電壓加在RC串聯(lián)電路上時，電容在前半周期內(nèi)充電，在后半周期內(nèi)放電。由于T＝10τ，因此，在每半個周期結(jié)束時，已足夠精確地認為充電過程和放電過程已經(jīng)完畢。即在前半個周期結(jié)束時，電容已充電到電壓Us；在后半個周期結(jié)束時，電容已放電到電壓為零。如此過程周而復始，不斷重復。第一個周期內(nèi)uC(t)為uC(t)、

uR(t)的波形如圖5-27（c）、（d）所示。通過求解RC電路對矩形波的響應可以看出：（1）當時間常數(shù)τ遠小于T時，RC串聯(lián)電路如果從電阻上取輸出，則輸出波形uR對應于矩形波的上升沿為正脈沖，對應于下降沿為負脈沖，可以用作微分電路。

（2）如果從電容上取其輸出，則輸出波形uC對應于矩形波輸入邊沿變平緩，體現(xiàn)了電容電壓的滯后作用。當時間常數(shù)τ增大時，uC會將輸入的矩形波變成鋸齒波或三角波，此特性可在電子線路中用于波形變換；如時間常數(shù)τ遠大于T，則由于電容充電的累積，uC會逐漸升高，這時該電路還可近似作為積分電路。本章小結(jié)含有儲能元件并處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的電路，由于能量不能躍變，當電路參數(shù)或輸入激勵改變時，會逐漸變換到另一種穩(wěn)定工作狀態(tài)繼續(xù)工作，這個隨時間變換的過程被稱為電路的過渡過程或暫態(tài)過程。電路換路的初始值f(0+)可以由換路定律確定。換路定律的基本含義是：電容兩端的電壓不能躍變，流過電感的電流不能躍變。具體表達式為

uC（0+）=uC（0-）iL（0+）=iL（0-）

一階電路過渡過程可以通過解一階微分方程的零輸入響應和零狀態(tài)響應來求解，也可以由三要素法更快地求解，三要素法的計算公式為

f（t）=f(∞)+［f(0+)-f(∞)］換路后新的穩(wěn)態(tài)值f(∞)可利用新的穩(wěn)態(tài)電路求出。對直流電路應注意將電感短路，電容開路。一階電路過渡過程的時間長短取決于電路的時間常數(shù)τ。在RC電路中，τ=RC；在RL電路中，τ=L/R,注意R為電路的等效電阻。過渡過程在經(jīng)歷一個τ時間后，f(t)的變化量達到總變化量的63.2%；在經(jīng)歷(3～5)τ時間后，可認為f(t)到達穩(wěn)態(tài)。利用RC電路對矩形波的響應可以在不同的τ參數(shù)下設計不同的R