高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章計數(shù)原理103二項式定理課件理

§10.3

二項式定理基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.二項式定理知識梳理二項式定理(a＋b)n＝______________________________

(n∈N*)二項展開式的通項公式

，它表示第

項二項式系數(shù)二項展開式中各項的系數(shù)

(k∈{0,1,2，…，n})k＋12.二項式系數(shù)的性質(zhì)11二項展開式形式上的特點(1)項數(shù)為

.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按

排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按

排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.知識拓展n＋1降冪升冪判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)an－kbk是二項展開式的第k項.(

)(2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.(

)(3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān).(

)(4)在(1－x)9的展開式中系數(shù)最大的項是第五、第六兩項.(

)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為128.(

)思考辨析××√××

考點自測1.(教材改編)(x－y)n的二項展開式中，第m項的系數(shù)是答案解析(x－y)n展開式中第m項的系數(shù)為

2.(2016·四川)設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為A.－15x4

B.15x4

C.－20ix4 D.20ix4答案解析

答案解析A.130 B.135 C.121 D.139式中含x2項的系數(shù)為4.在

的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是________.答案解析7題型分類深度剖析題型一二項展開式例1

(1)(2016·全國乙卷)(2x＋

)5的展開式中，x3的系數(shù)是_______.(用數(shù)字填寫答案)答案解析命題點1求二項展開式中的特定項或指定項的系數(shù)10∴x3的系數(shù)是10.

(2)(2015·課標全國Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為A.10 B.20 C.30

D.60答案解析方法一利用二項展開式的通項公式求解.(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，方法二利用組合知識求解.例2

(1)(2015·課標全國Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝______.答案解析命題點2已知二項展開式某項的系數(shù)求參數(shù)令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，

①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展開式中x的奇數(shù)次冪的系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.3－2答案解析求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為________.(用數(shù)字填寫答案)－20答案解析(2)(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a＝________.(用數(shù)字填寫答案)答案解析題型二二項式系數(shù)的和或各項系數(shù)的和的問題例2在(2x－3y)10的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；(5)x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和.解答設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，

(*)各項系數(shù)的和為a0＋a1＋…＋a10，奇數(shù)項系數(shù)和為a0＋a2＋…＋a10，偶數(shù)項系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次項系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次項系數(shù)和為a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和.(2)令x＝y(tǒng)＝1，各項系數(shù)和為(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)令x＝y(tǒng)＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，

①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，

②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝

，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝

.思維升華

跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2016·北京海淀區(qū)模擬)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m等于A.5 B.6 C.7 D.8答案解析經(jīng)檢驗符合題意，故選B.解答當x＝0時，左邊＝1，右邊＝a0，∴a0＝1.

題型三二項式定理的應(yīng)用例4

(1)設(shè)a∈Z且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，則a等于A.0 B.1 C.11 D.12答案解析(2)1.028的近似值是________.(精確到小數(shù)點后三位)1.172答案解析(1)整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常見的應(yīng)用問題，整除問題中要關(guān)注展開式的最后幾項，而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開式的前幾項.(2)二項式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項式定理，注意選擇合適的形式.思維升華

A.－1 B.1 C.－87 D.87∵前10項均能被88整除，∴余數(shù)是1.答案解析

(2)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整數(shù)a的最小值.解答原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a顯然正整數(shù)a的最小值為4.典例

(1)(2016·河北武邑中學(xué)期末)若

展開式的各項系數(shù)絕對值之和為1024，則展開式中含x項的系數(shù)為________.(2)(2016·河北邯鄲一中調(diào)研)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展開式中x4的系數(shù)是－35，則a1＋a2＋…＋a7＝________.

二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)現(xiàn)場糾錯系列15錯解展示現(xiàn)場糾錯糾錯心得和二項展開式有關(guān)的問題，要分清所求的是展開式中項的系數(shù)還是二項式系數(shù)，是系數(shù)和還是二項式系數(shù)的和.解析

答案(1)5

(2)27－1返回解析

故展開式中含x項的系數(shù)為－15.

答案

(1)－15

(2)1令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7，即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1.令x＝0，∴a0＝(－m)7.∴m＝1.∴a0＝(－m)7＝－1.在(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，返回課時作業(yè)1.在x2(1＋x)6的展開式中，含x4項的系數(shù)為A.30 B.20 C.15 D.10答案解析√12345678910111213142.(2015·湖南)已知

的展開式中含

的項的系數(shù)為30，則a等于答案解析1234567891011121314√3.(4x－2－x)6(x∈R)展開式中的常數(shù)項是A.－20 B.－15

C.15

D.20√答案解析1234567891011121314∵12x－3kx＝0恒成立，∴k＝4，4.(2015·湖北)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為A.29

B.210 C.211 D.212√答案解析12345678910111213145.若在(x＋1)4(ax－1)的展開式中，x4的系數(shù)為15，則a的值為1234567891011121314∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4的系數(shù)為4a－1＝15，∴a＝4.答案解析√6.若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，則a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan等于答案解析在展開式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，1234567891011121314√7.若(x＋a)2(－1)5的展開式中常數(shù)項為－1，則a的值為A.1 B.9

C.－1或－9 D.1或91234567891011121314√答案解析依題意－a2＋10a－10＝－1，解得a2－10a＋9＝0，即a＝1或a＝9.8.(2016·北京)在(1－2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為_____.(用數(shù)字作答)答案解析6012345678910111213149.(2016·天津)

的展開式中x7的系數(shù)為________.(用數(shù)字作答)答案解析1234567891011121314－5610.若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3＝________.答案解析123456789101112131410f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，11.(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是________.答案解析1234567891011121314168解答12.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.12345678910111213141234567891011121314令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(2)(