第十六講-希爾伯特變換和解析過程分析課件

主要內容3.1

線性系統(tǒng)基本理論3.2

隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析3.3

隨機信號通過離散時間系統(tǒng)的分析3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過程3.6窄帶隨機過程表示方法3.7

窄帶隨機過程包絡和相位的特性3.8

正弦信號與窄帶SP之和的包絡和相位的特性6/7/202311

希爾伯特變換，其希爾伯特

設有一個實值函數(shù)（或記作）變換記作反變換為希爾伯特6/7/202326/7/202336/7/20234希爾伯特變換←→正交濾波器

由可知，

的希爾伯特變換看成是：將通過一個具有沖擊響應為的線性濾波器（時不變系統(tǒng)）。6/7/202346/7/20235希爾伯特變換的沖擊響應及傳遞函數(shù)證明：由對稱性性質可知，若，則因為，所以整理得：6/7/202356/7/20236正交濾波器的傳輸函數(shù)6/7/202366/7/20237希爾伯特逆變換為希爾伯特逆變換的單位沖擊響應。證明：若輸入信號為通過一個濾波器輸出為顯然有所以反變換

6/7/202376/7/202386/7/20239可見，若x(t)若為t的偶函數(shù)，則為t的奇函數(shù)。同理，可見，若x(t)若為t的奇函數(shù)，則為t的偶函數(shù)。6/7/2023106/7/2023111.的希爾伯特變換為。連續(xù)兩次希爾伯特變換相當于連續(xù)兩次90度相移，正好180度相反。希爾伯特變換的性質6/7/2023126/7/2023136/7/2023142

解析過程及其性質

定義任一實隨機過程，是的希爾伯特變換,即復隨機過程定義為為實隨機過程的復解析過程，簡稱解析過程。6/7/202315解析過程的性質（1）若為實平穩(wěn)隨機過程，則也是實隨機平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。因為希爾伯特變換是線性變換，線性系統(tǒng)輸入為平穩(wěn)過程，輸出也為平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。

6/7/202316（2）實函數(shù)與其希爾伯特變換的相關函數(shù)和功率譜相同經(jīng)傅里葉反變換，得6/7/202317（3）代入令將6/7/202318（4）6/7/202319（5）令并作變量替換希爾伯特變換與它的原實過程之間的互相關函數(shù)為奇函數(shù)6/7/202320（6）表明在同一個時刻t，隨機變量和正交，即注意，上式并不意味著和兩個隨機過程正交。6/7/202321（7）6/7/202322（8）由性質（3）可知，兩邊取傅里葉變換6/7/202323（9）由性質（7）可知，兩邊取傅里葉變換解析過程的功率譜密度只存在于正頻率，即它具有單邊功率譜密度，其強度等于原來實過程功率譜密度強度的4倍。6/7/2023244016/7/2023256/7/202326將解析信號表達式進行變換：而式中：是頻域的單位階躍函數(shù)，因此

如果是平穩(wěn)隨機信號，則解析信號是隨機的，其頻譜為：

解析信號本質是原信號的正頻率部分，為原信號頻譜正頻域分量的兩倍。它是實信號的一種“簡潔”形式。研究解析信號的意義6/7/2023266/7/202327實連續(xù)信號的包絡、瞬時相位、瞬時頻率包絡，瞬時振幅瞬時相位瞬時頻率6/7/2023276/7/202328Matlab實例clc;clearall;n=0:1:50;a=0.1;x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n)%信x的表達式y(tǒng)=hilbert(x);z=x+j*y;rz=real(z);iz=imag(z);A=sqrt(abs(x).^2+abs(y).^2);%求信號x的包絡，瞬時振幅subplot(2,2,1);plot(x);title(信號x(t)')subplot(2,2,2);plot(A);title(‘信號x(t)的包絡')thet=atan(iz./rz);%求信號x的瞬時相位subplot(2,2,3);plot(thet);title(‘信號x(t)的瞬時相位’)6/7/2023286/7/202329