2022-2023學年安徽省宿州市泗縣高二年級下冊學期開學考試數(shù)學試題含答案

2022-2023學年安徽省宿州市泗縣高二下學期開學考試數(shù)學試題

一、單選題

1.直線〃，:怎7+1=°與直線〃：x=l的夾角為（）

2兀兀兀

—71———

A.3B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】首先求出兩直線的傾斜角，即可判斷.

_兀

【詳解】解：因為直線機：瓜一了+1=0,所以y=Gx+l,則直線方的傾斜角

兀

又直線〃：x=i,所以直線〃的傾斜角為5,

71

所以直線用:后x-y+i=°與直線〃：x=i的夾角為7.

故選：D.

2.某課外興趣小組通過隨機調(diào)查，利用2x2列聯(lián)表和犬統(tǒng)計量研究數(shù)學成績優(yōu)秀是否與性別有關(guān).

計算得六=6.748,經(jīng)查閱臨界值表知尸（*->6.635）=0.010,則下列判斷正確的是（）

A.每100個數(shù)學成績優(yōu)秀的人中就會有1名是女生

B.若某人數(shù)學成績優(yōu)秀，那么他為男生的概率是0.010

C.有99%的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關(guān)

D.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與性別無關(guān)”

【答案】C

【分析】根據(jù)K?的值與臨界值的大小關(guān)系進行判斷.

【詳解】每100個數(shù)學成績優(yōu)秀的人中可能沒有女生，也可能有多名女生，已知數(shù)據(jù)不能確定結(jié)論，

A選項錯誤；

若某人數(shù)學成績優(yōu)秀，已知數(shù)據(jù)不能判斷他為男生的概率，B選項錯誤；

...K2=6.74826.635,...有99%的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關(guān)“，即在犯錯誤的概率不超過1%的

前提下認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”，C選項正確，D選項錯誤.

故選：C

1J______

3.數(shù)列一一三’…的一個通項公式為（）

A4=（7）""六Da“=（T）"J

A.2B.2

11

c.D.2"-l

【答案】D

【分析】根據(jù)規(guī)律寫出數(shù)列的通項公式

【詳解】奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，可用(-D”來實現(xiàn),

而各項分母可看作2'T=1，22-1=3,23-1=7,2」一1=15,25-1=31,…，

各項分子均為1,

?=(-1)"—

該數(shù)列的通項公式為2”-1.

故選：D.

+x)6

4.Ixp展開式中x的系數(shù)為()

A.14B.20C.25D.28

【答案】A

6sI1---7|(1+-X)6

【分析】先利用二項式定理求得(1+X)展開式中d與X的系數(shù)，從而可求得Ix')展開式

中V的系數(shù).

【詳解】因為0+X)6展開式的通項公式為*=C"'&=°l23,4,5,6),

所以(1+x)6展開式中V的系數(shù)為C：=20,f的系數(shù)為C：=6,

(1-1)(1+X)6

因此IX)展開式/的系數(shù)為20-6=14.

故選：A.

5.從3男3女共6名醫(yī)生中，抽取3名醫(yī)生參加社區(qū)核酸檢測工作，則至少有2名女醫(yī)生參加的

概率為()

1123

A.6B.2C.5D.4

【答案】B

【分析】利用分類計數(shù)原理與組合求得總的基本事件與滿足要求的基本事件的個數(shù)，從而利用古典

概型的概率公式求解即可.

【詳解】由題意從3男3女共6名醫(yī)生中，抽取3名醫(yī)生參加社區(qū)核酸檢測工作，共有C：=20種

選法，

如果至少有2名女醫(yī)生參加，則有C；C；+C；=10種選法，

所以至少有2名女醫(yī)生參加的概率為元

故選：B.

6.將6名實習教師分配到3所學校進行培調(diào)，每名實習教師只能分配到1個學校，每個學校至少

分配1名實習教師，則不同的分配方案共有()

A.240種B.360種C.450種D.540種

【答案】D

【分析】根據(jù)不均勻分組，部分均勻分組，均勻分組問題，結(jié)合先分組再分配原則解決即可.

【詳解】由題知，

6名教師分3組，有3種分法，即1,2,3；1,1,4：2,2,2,

+上與3+%夕2=90

共有仁A、種分法，

再分配給3所學校，可得9°xA；=540種

故選：D.

7.下列說法正確的是()

①若隨機變量〃的概率分布列為尸(〃=公=滋優(yōu)=123,4,5),則“-正；②若隨機變量

…(3,/),尸(腔5)=0.6,則Pg)=0.4：③若隨機變量…C，則石⑶點;④

3

P(X=2)=—

在含有4件次品的10件產(chǎn)品中，任取3件，X表示取到的次品數(shù)，則1。

A.②③B.②④C.①②③D.②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)即可判斷①，利用正態(tài)分布密度曲線判斷②，根據(jù)二項分布的期望公

式判斷③，利用超幾何分布判斷④.

【詳解】對于A,??.隨機變量4的概率分布為P(〃=Q=a"("=1，2,3,4,5),

...P(TJ=1)+尸(〃=2)+P(〃=3)+P(7=4)+P(7=5)=1,

1

a=—

...a+2a+3a+4a+5。=15。=1,15,故①不正確：

對于BP(X>5)=1-尸(X45)=0.4,

，尸(X(l)=P(X>5)=0.4,故②正確;

￡：(A，)=8x-=—

對于C,由I3人得33,故③正確：

P(X=2)=生&=3

對于D,由題意，得G。10,故④正確.

故選:D.

x2y2

口~--7"=1(。>6>°)?YZTz7_

8.設(shè)片、入橢圓/b2的左、右焦點，橢圓上存在點M,4M?FE=a,

_sin0

4MFE=B,使得離心率,sina,則e取值范圍為()

A.(0,DB.(3)

c(V2-U)D(72-1,J2+1)

【答案】C

c_\MFX\_2a-\MF2\

【分析】在巴中，由正弦定理結(jié)合條件有：1兩一1的，再由四初的范圍可求出

離心率.

【詳解】由/響居=。，產(chǎn)/=/，設(shè)口與|=%，lgl=〃，在△吟B中，由正弦定理有:

cm2a—n2a2

e=^-—=—=-------n=-----

離心率sina,貝lj?！ā?；解得：a+c,

由于q_c<|MK|<a+c,得(a+c)(a_c)<2q2<(a+c)2,

(a+c)(a-c)=/-百<2/顯然成立,

1

由2a2<(“+c)2有缶<a+c,即"2-"，得”

所以橢圓離心率取值范圍為《巧一1).

故選：C

二、多選題

9.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為:

X01234

Pq0.40.10.20.2

若離散型隨機變量y滿足y=2X-l,則下列結(jié)果正確的有()A.E(X)=2B.0(X)=L8

CE(Y)=5°。(丫)=3.6

【答案】AB

【分析】對于AB,利用數(shù)學期望與方差的計算公式求解即可判斷；對于CD,利用數(shù)學期望與方

差的性質(zhì)求得新的數(shù)學期望與方差即可判斷.

【詳解】對于A,由4+04+0/+0.2+0.2=1,則4=°」，

所以鳳X)=lx0.4+2x0.1+3x0.2+4x0.2=2,故A正確；

對于B,Q(X)=0.1x(0-2)2+0.4x(1-2)2+0.1x(2-2)2+0.2x(3-2『+0.2x(4-2)2=13，故B正

確；

對于C,因為y=2X-l,所以E(y)=2E(X)-l=3,故c錯誤：

對于D,D(y)=4O(X)=4xl.8=7.2,故口錯誤.

故選：AB.

10.已知拋物線C：「=4x的焦點為尸，準線為/,過拋物線C上一點P作的垂線，垂足為Q,則

下列說法正確的是()

A.準線/的方程為x=T

B.若過焦點廠的直線交拋物線C于"(斗必)*&，％)兩點，且不+馬=6,則|4例=7

C.若E(2,D,則1尸與+1尸尸的最小值為3

416

\PF\=-|PW|=—

D.延長尸尸交拋物線C于點若3,則3

【答案】ACD

【分析】由拋物線標準方程結(jié)合拋物線的性質(zhì)，即可求焦點坐標、準線方程、焦點弦長、拋物線上

的點到焦點和定點距離之和的最小值等.

2X=-2=-I

【詳解】因為拋物線C的方程為廣=以，所以p=2,所以準線/的方程為2,A正確；

由題意可知焦點弦長M例=占+*2+P=6+2=8,B錯誤；

由拋物線C上的點到焦點尸與到準線的距離相等可知尸切+尸尸目尸^什止國，所以當Q,P,E

三點共線時，-&+I尸用取得最小值，即為點E到準線的距離，所以最小值為3,C正確；

如圖所示，不妨設(shè)尸在第一象限，過尸作尸"》軸于點"，過〃作"N'x軸于點M過M作準

42

|PF|=|PQ\=-,\FG\=2,|FH|=-

線的垂線，垂足為D,設(shè)準線與x軸的交點為G,則33,

S_IS

|FM|=|MD|,|F2V|=|DM\-\FG|=|FM\-2易知△在"sMNF,則有1加/11四|,即

42

高=3,解得…3則也叫…電吟，口正確，

故選：ACD.

A”

11.關(guān)于lx＞的二項展開式，下列說法正確的是（）

A.二項式系數(shù)和為128B.各項系數(shù)和為々

C.X-'項的系數(shù)為-280D.第三項和第四項的系數(shù)相等

【答案】AC

【分析】對于A,根據(jù)二項式系數(shù)和為2"即可判斷；對于B,賦值法即可判斷；對于C,根據(jù)通項

為匕="（-2）"/:取2-7=-1計算即可判斷；對于D,根據(jù)第三項的系數(shù)為84,第四項的

系數(shù)為-280,即可判斷.

【詳解】由題知，【X）中二項式系數(shù)和為27=128,故選項A正確：

將x=l代入二項式中可得各項系數(shù)和為（T）'=T,故選項B錯誤；

&=C0]’（2x）=”（一27fi

在1x）中，第『+1項I",

取2-7=-1,即/l=3,

所以4=0（一2）3卡=-280/，

所以一項的系數(shù)為-280,故選項C正確.

I」［.（R=C；（-2）rf2（2Y-84

在5）中，根據(jù)I」得第三項的系數(shù)為（-2）-84,第

四項的系數(shù)為（一2）3"280,

因為84工-280,所以選項口錯誤；

故選：AC.

12.如圖，在棱長為2的正方體"8C。-48cA中，M,N分別是的中點，則（）

B.直線砂與平面所成角為彳

且

C.異面直線CN與4G所成角的余弦值為7

D.過M,B,C三點的平面截正方體所得圖形面積為2行

【答案】BCD

【分析】對A,連接“4和8G,說明.M,N在平面"'GA中，點CW平面〃即可判斷；

對B,由向量法求線面角；對C,由向量法求線線角；對D,過點M作證所求截面為

矩形尸BC。，即可求得面積.

【詳解】對A,連接和由此可知點aM,N在平面,BG2中，點cw平面"8GA,則

四點4,M,N,C不共面，A錯：

對B,分別以所在的直線為X軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系,

則M(l,0,l),N(l,l,l)，A(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0)

則礪=(0,1,0),配=(0,2,-2),。=(2,0,0),

設(shè)直線的與面所成角為c,

而〃C=2y-2z=0

4

設(shè)平面RC8的法向量為而=(x,y,z),則同C8=2x=0

令V=l,則x=0,z=l,所以而=(0,1,1),

172

國砌=^^=*=彳,7C

sina=Ha--

所以所以4,B正確;

CN=(1,T,1),=(。，2,0),

CNZ)Ci

cos0=cos（CN,D、C）=_____

設(shè)異面直線CN與面AG所成角為。，則I麗I函一H

所以異面直線CN與面AG所成角的余弦值為3,c正確;

對D,過點”作「0〃力因為8c〃/￡>,所以尸0〃8c且PQ=8C,

所以四邊形尸8C°為平行四邊形，則尸，M,Q,B,C五點共面，即過M,B,C三點的平面截正

方體所得圖形為平行四邊形P8C。，

rT

由題意可知：PB=>JPA+AB^y1\+4=y/5t

ABB

因為ABCD-AXB,CXDX為正方體，所以8C/平面A,

因為P8u平面所以8CLBP,

所以平行四邊形P8C。為矩形，則S=2x石=2石，口正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.已知向量5=(2，T，3)，B=(T，1，X),若］與B垂直，則1。+3彼|=.

【答案】a

【分析】由5與B垂直，解得x=l,從而"3彼=(-1,2,6),由此能求出|"33

【詳解】:之與石垂直，.?.晨很=0,則限B=2x(-l)+(-l)xl+3x=°,解得》=1,

../=(-1,1,1),

則2+3B=(2,—1,3)+(-3,3,3)=(T,2,6),

\a+3h|=J(-l)2+22+62=向

?,，

故答案為：標.

14.盒子里有6個球，其中有3個白球和3個紅球，每次從中抽出1個球，抽出的球不再放回，則

在第I次抽到白球的條件下，第2次抽到紅球的概率為.

3

【答案】5

【分析】先由題意求得第1次抽到白球的概率，再求得第1次抽到白球，同時第2次抽到紅球的概

率，從而利用條件概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)第1次抽到白球為事件4,第2次抽到紅球為事件8,

3333

貝產(chǎn)）=產(chǎn).工亍歷,

「（即）=曳”

所以在第1次抽到白球的條件下，第2次抽到紅球的概率為P（4）5

3

故答案為：5.

15.已知數(shù)列｛""｝對任意正整數(shù)〃都有冊+""+2=2%,且牝，4是方程--8x-5=0的兩個實根,

則q+%+%=.

【答案】12

【分析】先由已知數(shù)列遞推式，結(jié)合等差中項公式判斷得｛“"｝是等差數(shù)列，再利用韋達定理結(jié)合條

件得到生+4=8,從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得解.

【詳解】因為數(shù)列依卜寸任意正整數(shù)〃都有q+限=2%,

所以數(shù)列｛“"｝是等差數(shù)列，

因為見9是方程f-8x-5=0的兩個實根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得的+必=8,

所以"'+4+%=，+%+；（%+&）=8+4=12

故答案為：12.

16.已知數(shù)列"J的前〃項和為S",則下列說法正確的是.①若+則

%=2〃-12；②若S“=p〃2+q〃（p,qwR）,則W是等差數(shù)列；③若數(shù)列也｝為等差數(shù)列，

at＞0,S6=S9＞則S7＞S”④若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，兒＞0島＜0,貝口,=8時，S,最大.

【答案】②④

【分析】根據(jù)工和4的關(guān)系求通項，然后可判斷①②；由$6=Sg可得為，然后可判斷③；由

兒＞0，兒＜°可得%＞0,然后可判斷④.

【詳解】對于①：若S"=〃2-u〃+1,當”=1時，整理得《=-9,

當〃22時,4，，=5,,-$,7=2〃-12（《=9不滿足此式），

-9（〃=1）

故"[2?-12（?＞2）＞故①錯誤；

對于①：當“42時，=S“_S“_|=p/+w_p("_l)2_q("_l)=2p〃_p+g,

當“=］時，q=E=P+q也適合上式，故/=2p〃-p+%〃eN*,

故/i,=2p(〃+l)-p+q-2p〃+pr=2p,故包｝是等差數(shù)列，故②正確；

對于③：在等差數(shù)列"J中，S9-E=%+%+%=3%=0,

故4=°,所以*=57+6二反，故③錯誤；

對于④：在等差數(shù)列也｝中，兒=15%>0,故如>0,

16(a,+fl|6)=

162V897故4+佝<0,故為<-4<°,

故在等差數(shù)列包｝中，為，%，…，/>0，%<0嗎。<0「，故當”=8時，S,,最大，故④正確

故答案為：②④.

四、解答題

17.某企業(yè)年研發(fā)費用x(百萬元)與企業(yè)年利潤y(百萬元)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，該企業(yè)近

5年的年研發(fā)費用和年利潤的具體數(shù)據(jù)如下表:

年研發(fā)費用X(百萬元)12345

年利潤V(百萬元)23447

(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)如果該企業(yè)某年研發(fā)費用投入10百萬元，預(yù)測該企業(yè)獲得的年利潤為多少？

參考公式：線性回歸方程夕=啟+力的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:

.以龍一阿,

b=4----------------------,a=y-bx

ix^-nx2

Z=1

【答案】⑴/=l1x+07

(2)11.7百萬元

【分析】(1)運用題中所給的公式進行求解即可；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，運用代入法進行求解即可.

_J255

++3+4+=3__4ZQ，=71=55

【詳解】（1）依題意,5，而V-4,.=1/=1

5_

2再入-5孫

71-5x3x4一

b=/=1__________---------=1.1

-555-5x3?

則/=1a=j-6x=4-l.lx3=0.7

所以少關(guān)于x的線性回歸方程為=I」X+°-7

（2）由（1）知，當》=10時，＞L1X10+0.7=11.7,

所以當該企業(yè)某年研發(fā)費用投入10百萬元時，預(yù)測該企業(yè)獲得的年利潤為11.7百萬元.

18.某縣教育局從縣直學校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數(shù)

學、英語教師各2人.

（1）求選出的數(shù)學教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率；

（2）設(shè)X表示選出的3人中數(shù)學教師的人數(shù)，求X的分布列及期望.

3

【答案】（1）10

⑵分布列見解析，E（*）=l

【分析】（1）首先計算出所有基本事件數(shù)，再分別求出”選出的數(shù)學教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)”包

含的各事件的概率，利用互斥事件的加法公式即可求得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意寫出X的所有可能取值，再根據(jù)超幾何分布的概率公式即可列出分布列并求得期望

值.

【詳解】（1）由題意可知，從推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，基本事件總數(shù)

〃=C：=20,

這6名教師中，語文、數(shù)學、英語教師各2人，

設(shè)事件”表示“選出的數(shù)學教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)”，

4表示“恰好選出1名數(shù)學教師和2名英語教師”，曲表示“恰好選出2名數(shù)學教師”，

r!r221C2cl41

///=4U&P（4）=罟=梟2，小2）=普總［

則4,4彼此互斥，且c62010C6205,

,,I13

P=P（4）+P（4）=一+—=一

選出的數(shù)學教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率10510.

（2）由題可知，X的所有可能取值為°，L2；

「k「3-k

P（X=%）=」_^_

從6名教師中任選3人，恰有無體二°」，2）名數(shù)學教師的概率C6

C°C31CY3C2C11

產(chǎn)（工=0）=途#=10（*=1）=號=［尸?=2）=號=￡

所以C65。65。6$

即X的分布如下:

X012

131

P

555

131

￡（X）=0x-+lx-+2x-=l

期望值''555

19.已知數(shù)列｛""｝中為=2,且點（勺，《山）在函數(shù)V=x+2的圖像上，S,為數(shù)列｛%｝的前〃項和.

（1）求數(shù)列&"｝的通項公式；

⑵求數(shù)列J的前〃項和九

【答案】⑴見=2〃

_/+3〃

T“=c

⑵2

【分析】（1）由條件得到與+「"，，=2,從而判斷得｛“”｝是等差數(shù)列，進而利用等差數(shù)列的通項公式

求得氏=2〃；

（2）由（1）求得S”=，/+〃,從而判斷得是等差數(shù)列，進而利用等差數(shù)列的前〃項和公式求

解即可.

【詳解】（1）因為點（""'"向）在函數(shù)卜=》+2的圖像上,

所以a“+i=a，+2,即可+「?！?2,

又q=2,

所以數(shù)列｛“”｝是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,

所以％=2+2(〃-1)=2”

—=?+1

所以“，

-a±L』=〃+2-(〃+l)=l

所以〃+1〃,

[―]8=q=2

所以["J是等差數(shù)列，首項為1，公差為1,

.(24-w+l)x/?n2+3/7

1—---------------=---------

所以22.

20.已知雙曲線的焦點為片CO),乙(3,0),且其漸近線為卜=±2缶.

(1)求雙曲線的標準方程；

(2)過左焦點片作斜率為乙后的弦AB,求△鳥”8的周長

2/.

X---=1

【答案】⑴8

⑵54

---J=1

【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)雙曲線方程為/b2，求出即可得解；

(2)依題意得直線”的方程為了=26(x+3),設(shè)"(不乂),8(占,外),聯(lián)立方程，利用韋達定理

求出士+々，雙2,再利用弦長公式求出11邳，咋根據(jù)雙曲線的定義即可得解.

公y21

【詳解】(1)因為雙曲線的焦點在X軸上，設(shè)雙曲線方程為/b2,

a2+Z>2=9

,￡P(guān)；=1

由題意得I]=8,解得〔"=8,

上】

所以雙曲線方程為8.

(2)依題意得直線力8的方程為了=2后(x+3),設(shè)“6,乂),8(々,乃)，

y=2A/6(X+3)

)上=1

聯(lián)立I8,得/+9才+14=0,則芯+々=_9,?2=14,

所以|Z8|=J1+^-x,|=J1+24?J(X|+xj2-4X/2=5j81-56=25

因為%+工2=-9，鞏=14

所以再＜0應(yīng)＜0,所以48兩點都在雙曲線左支上，

又〃=1,由雙曲線定義，悶-所=忸閭-阿|=2。，

從而卜瑪|+|即|=4"+|陽|+|陽|=4a+|/B|,

的周長為|/月+忸用+|ZB|=4a+2|/3|=4+50=54

21.如圖，四棱錐尸一/88中，為等邊三角形，

AD/IBC/ABC=90\AB=BC=2AD=2,￡■為CQ的中點，平面尸N8，平面Z8CD

(1)求點。到平面P8C的距離；

(2)求平面PBC與平面PBE夾角的正弦值.

【答案］⑴百

1_

(2)2

【分析】(1)取“8的中點0,連接°P,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得尸°二平面/SCO,從而可得

08,°E,°P兩兩垂直，以。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可；

(2)利用向量法求解即可.

【詳解】(1)取力8的中點0,連接。尸，

因為AP/8為等邊三角形，所以尸°工/8,

因為平面尸.平面/8CO,平面平面/8C￡)=/8,OPu平面尸

...POl^ABCD,

又AD"BC,E為CD的中息，...OE//BC,

...N4BC=9。°,...0E1ABt

分別以08,0瓦°尸所在直線為x,乃z軸建立空間直角坐標系0-xJN,

5(l,O,O),C(l,2,O),D(-l,l,O),P(O,O,^),Efo,-,O|

則(2A

方=(1,0,-島前=(0,2,0),

PBn=x-\/3z=0

*

設(shè)平面P8C的法向量為)=("*),則，。方=2尸0,可取〃=恪°，1),

[DC-n\廠

又OC=(2,1,0),所以點。到平面尸8c的距離

而=(*，-⑸

(2)V2人設(shè)平面尸8E的一個法向量為'〃=(X|,%Z|)

(一[x,-yfiz,=0

PBm=0

則尻.麗=。，即口3一后二°,

令入=叢，得平面尸8c的一個法向量為而=(3,2,百)

1/--\|"4GG

貝廠力…42,

sin，=，

??.2,

1

故平面P5C與平面尸BE夾角的正弦值為萬

7s

X

22,

—x