選修12講義精練階段質(zhì)量檢測（二）

階段X檢測綜合能力評估一自測自評（時間120分鐘，總分值150分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，總分值60分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的）1.觀看一歹！J算式：lglJg2,2?4Jg3,2?2,3?l,l04,2g3,3?2,4^L3,用B么式子3⑥5是第（）A.22項 .B.23項C.24項 D.25項解析：兩數(shù)和為2的有1個，和為3的有2個，和為4的有3個，和為5的有4個，和為6的有5個，和為7的有6個，前面共有21個，3⑥5為和為8的第3項，所以為第24項.答案：C.用反證法證明命題“也+小是無理數(shù)〃時，假設(shè)正確的選項是（）A.假設(shè)也是有理數(shù) B.假設(shè)班是有理數(shù)C.假設(shè)也或班是有理數(shù) D.假設(shè)地+仍是有理數(shù)解析：應(yīng)對結(jié)論進行否認(rèn)，那么也十出不是無理數(shù)，即吸+班是有理數(shù).答案：D.△A3C中，ZA=30°,ZB=60°,求證：。<瓦證明：VZA=30°,ZB=60°,A<ZB9：.a<b,畫線局部是演繹推理的（）A.大前提 B.小前提C.結(jié)論 D.三段論解析：由題意知，該推理中的大前提為：三角形中大角對大邊；小前提為：ZA<ZB;結(jié)論為a<b9應(yīng)選B.答案：B.設(shè)*0,b>Q,那么以下不等式中不恒成立的是（）A.（〃+A）g+324 B.a3-\-b3^2ab2C.砂+52+2,2〃+2。 T）^\a—b\^y[a—yjb解析：???》（）,於0,對于A,S+北+在2眄2\^=4,故A恒成立；2對于B,a3-^-b3^2ab29取〃=孑，〃=陽那么B不成立；對于C,a2+b2+2-(2a+2b)=3—1)2+。一1)2-0,故C恒成立；對于D,假設(shè)那么,|〃一〃|2W一也恒成立,假設(shè)a2b,那么'T。一加?出一巾Oa—b2a+b—2yO2b—2y[^W0ObWy[^,由于aW>0,明顯bWyf正成立.答案：B5.觀看以下各式：a+b=l,a2+ft2=3,a3+b3=4fa4+ft4=7,a5+b5=ll,???,那么 小+61°=( )A.28 B.76C.123 D.199解析：記a"+析=曲0,那么{3)=/U)+f(2)=l+3=4;{4)=42)+{3)=3+4=7;犬5)=八3)+{4)=11.通過觀看不難發(fā)覺f(n)=f(ii—1) -2)(〃GN*,〃23),那么{6)=44)+{5)=18;{7)=火5)+<6)=29;{8)=火6)+<7)=47;{9)=47)+<8)=76;犬10)=48)+{9)=123.所以小+3°=123.答案：CTOC\o"1-5"\h\z6.觀看以下各式：72=49,73=343,74=2401,…，那么72015的末兩位數(shù)字為( )A.01 B.43C.07 D.49解析：???75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,…：?7〃(nGZ,且〃25)的末兩位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為4,記7〃(〃￡Z,且〃25)的末兩位數(shù)為大〃)，那么八2015)=^503X4+3)=43),，72。15與的末兩位數(shù)相同，均為43.答案：B.將平面對量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算相類比，易得以下結(jié)論：①。?)=〃?〃；②(a?b)?c=a?S?c)；③。?(5+c)=。?力+a?c；④由a協(xié)=a?c(arO)可得b=c.以上通過類比得到的結(jié)論正確的有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析：平面對量的數(shù)量積的運算滿意交換律和安排律，不滿意結(jié)合律，故①③正確，②錯誤；由〃6=a?c(〃W0)得a?(A—c)=0,從而b—c=Q或a.L(b—c)f故④錯誤.答案：B.a>0,不等式x+W23,x+424,…，可推廣為工+3?〃+1，那么a的值為()C.2〃D.22n~2.nC.2〃D.22n~21 4 22解析：由x+;22,x+；3=x+；3,3,?A*可推廣為故a=nn.答案：B.來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，剛好碰在一起.他們除懂本國語言外，每人還會說其他三國語言中的一種.有一種語言是三個人會說的，但沒有一種語言四人都懂，現(xiàn)知道：①甲是人，丁不會說日語，但他倆能自由交談；②四人中沒有一個人既能用日語交談，又能用法語交談；③乙、丙、丁交談時，不能只用一種語言；④乙不會說英語，當(dāng)甲與丙交談時，他能做翻譯.針對他們懂的語言，正確的推理是()A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析題目和選項，由①知，丁不會說日語，排解B選項；由②知，沒有人既會日語又會法語，排解D選項；由③知乙、丙、丁不會同一種語言，排解C選項，應(yīng)選A.答案：A.如圖，圓周上按順時針方向標(biāo)有1,2,345五個點.一只青蛙按順時針方向繞圓從一個點跳到另一點.假設(shè)它停在奇數(shù)點上，那么下一次只5能跳一個點；假設(shè)停在偶數(shù)點上，那么跳兩個點.該青蛙從5這點跳起，經(jīng)2018次跳后它將停在的點是()A.1C.3B.2D.4解析：青蛙第一次跳后停留在1點，其次次跳后停在2點，第三次跳后停在4點，第四次跳后又停在B.2D.472018=3X672+2,A2018次跳后將停在2點.答案：B.設(shè)△A3C的三邊長分別為a,b,c,△A3C的面積為S,那么△A8C的內(nèi)切圓半徑為.將此結(jié)論類比到空間四周體：設(shè)四周體S.A〃C的四個面的面積分別為S、，S2,S3,S4,體積為匕那么四周體的內(nèi)切球半徑為,=()Afi+Sz+Ss+Sdr2EAfi+Sz+Ss+SdC.3V

S1+S2+S3+S44VC.3V

S1+S2+S3+S44V$+S2+S3+S4解析：設(shè)四周體的內(nèi)切球的球心為O,那么球心0到四個面的距離都是r,所以四周體的體積等于以O(shè)為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和.那么四周體的體積為V=1(Si+S2+S3+S4)r,.二3VS1+S2+S3+S/答案：C.下面的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形〃，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的.X11211163111112124J_J_152030205第〃行有〃個數(shù)且兩端的數(shù)均為每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如；=；+；,；=!+*，!=:+白，…，那么第10行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）L/ —JL/B*504D1260解析：依題意，結(jié)合所給的數(shù)陣，歸納規(guī)律可知第8行的第一個數(shù)、其次個數(shù)分別等于第9行的第一個數(shù)、其次個數(shù)、第三個數(shù)分別等于今|-1,第io行的第一個數(shù)、其次個數(shù)、第三個數(shù)、第四個數(shù)分別等于古，J—（"—二），答案：c二、填空題（本大題共4小題，每題5分，總分值20分.把答案填寫在題中的橫線上）.在△ABC中，。為8c的中點，那么而=3咨+衣），將命題類比到三棱錐中去得到一個類比的命題為.答案：在三棱錐AICD中，G為△BCD的重心，那么前=/而+就+而）.用火柴棒擺“金魚”，如下圖：依據(jù)上面的規(guī)律，第〃個“金魚”圖需要火柴棒根.解析：由圖形的變化規(guī)律可以看出，后一個圖形比前一個圖形多6根火柴棒，第一個圖形為8根，可以寫成由=8=6+2.又02=14=6X2+2,“3=20=6X3+2,…所以可以猜想，第〃個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為6〃+2.答案：6〃+2.觀看以下式子：1,1+2+1,1+2+3+2+1J+2+3+4+3+2+L…，由以上可推想出一個一般性結(jié)論：對于1+2+…+〃+…+2+1=.解析：???1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，1+2+3+4+3+2+1=42,…，，歸納可得i+2+???+〃+???+2+1=/.答案：n2.如圖，圓環(huán)可以看作線段繞圓心。旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面o_|_?積s=MR2—/）=（R—r）x27TX一廠.所以圓環(huán)的面積等于以線段AB=R-r為寬，以A3中點繞圓心0旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2真義”2r為長的矩形面積.請你將上述想法拓展到空間，并解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，假設(shè)將平面區(qū)域知=｛(工，y)\(x-d)2+V〈戶｝(其中0V*①繞7軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是.rTrT.T解析：平面區(qū)域M的面積為幾戶，由類比學(xué)問可知：平面區(qū)域M繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于以半徑為r的圓為底面，以圓心為0、半徑為d的圓的周長27rd為高的圓柱的體積，所以旋轉(zhuǎn)體的體積V=nr2X2nd=In2!2^答案：2M闖三、解答題(本大題共6小題，總分值70分.解容許寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟).(本小題總分值10分)畫出圖形，可知凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，…，請歸納猜想凸〃⑴>3,〃EN+)邊形對角線的條數(shù)八〃)，并證明所得結(jié)論.4X1解：由題意得當(dāng)〃=4時，f(4)=2=—^~;t l 5X2當(dāng)鹿=5時，｛5)=5=亍；t l 6X3當(dāng)〃=6時，/(6)=9=—;…，由此猜想_/(〃)=""J",fi(fi—3)即凸〃(〃>3,〃￡N+)邊形有,條不同的對角線.證明：由于凸〃￡N+)邊形中從每一^個頂點動身的對角線有(〃-3)條，所以從全部的頂點動身的對角線有n(n-3).又每條對角線都被數(shù)了兩次，所以凸〃CN+)邊形的對角線的條數(shù)為她戶..(本小題總分值12分)△ABC的三條高分別為總，/%,瓦，，為內(nèi)切圓半徑，且心+比+加=9r,求證：該三角形為等邊三角形.證明：設(shè)三角形三邊分別為〃，b,c,故只需證〃=b=c.2q 2s 2q由于兒=十，hh=-r9hc=—9其中S為△A3C的面積,U <z Cz所以兒+d+九=258+[+0.又由于S=；(a+力+c)r,ha+hb+hc=9r9所以(a+A+c)&4+5=9.所以a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b—6abc=0.將上式分解因式，得a(b—c)2+b(c—a)2+c(a—b)2=0.由于a>0,方>0,c>0,所以(〃-c>=(c—a)2=(〃一》)2=0?所以a=b=c.，該三角形為等邊三角形..（本小題總分值12分）如下圖，設(shè)S4,SB是圓錐S。的兩條母線,O是底面圓心，。是S3上一點，求證：4C與平面S05不垂直.證明：假設(shè)ACL平面S03,由于直線SO在平面S03內(nèi).所以SOLAC.由于SO,底面圓0,所以50,4艮由于4504。=4,所以SOJ■平面SAB.所以平面S4b〃底面圓O,這明顯與平面￡43與底面圓。相交沖突，所以假設(shè)不成立，即AC與平面SO3不垂直.〃12.（本小題總分值12分）數(shù)列｛斯｝的前"項和記為S〃，ai=L斯+i=2l〃（〃￡N+）,試?yán)萌握撔问阶C明：⑴數(shù)列圖是等比數(shù)列；（2）S〃+i=4a〃.%___ 〃+2證明：（l）*；a〃+i=S〃+i—S,i9a〃+i=~-Sn,/?(//+2)S,t=n(S,t+1—Sn),即“S〃+i=2(〃+l)S〃.故落=2?中,（小前提）故｛）｝是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列.（結(jié)論）（大前提是等比數(shù)列的定義）（2）由（1）可知黑'=4?署?（〃22）,S〃 1I2.?.Sw+i=4（n+l）-^7=4---即（〃22）.（小前提）又丁〃2=3Si=3,S2=ai+a2=1+3=4=4。1,（小前提）???對于任意正整數(shù)凡都有％+1=4斯.（結(jié)論）21.（本小題總分值12分）數(shù)列｛%｝中,S〃為其前〃項和且＜+i=4斯+2（/丹N+）,@1=1,（1）設(shè)?！?斯+1—2斯（〃￡N+）,求證：數(shù)列｛兒｝是等比數(shù)列；（2）設(shè)c產(chǎn)蜘i￡N+）,求證：數(shù)列｛c〃｝是等差數(shù)列.證明：(1)???S〃+i=4a〃+2,?**Sw+2=4aw+i+2,兩式相減，得S〃+2—S〃+1=4q〃+i—4au(n￡N+).即“〃+2=4a〃+i-4?！?變形得?！?2-2〃〃+i=2(〃〃+i—2斯).?；bn=即+1—2afl(n￡N+),/.b〃+1=2btl.V?i=l,S〃+1=4即+2,；?S2=4〃i+2=6,即。2=5.，歷=。2—2ai=5—2=3????力〃=3?2〃-1.由此可知，數(shù)列｛瓦｝是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列.(2)Vcw=f^(neN+),du 2an hn_ 3將瓦=3?2〃-i代入，得c〃+i—c〃=w（〃￡N+）.4_￡1_1又ci=5=5，1 3由此可知，數(shù)列｛c〃｝是首項為:，公差為7的等差數(shù)列.22.（本小題總分值12分）十字繡有著悠久的歷史，如以下圖，①②③④為十字繡最簡潔的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越美麗.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第〃個圖案包含/個小正方形.①②③④(1)求出＜5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想〃，歸納出/(〃+1)與之間的關(guān)系式，并依據(jù)你得到的關(guān)系式求出/(〃)的表達(dá)式；(3)求而十/2)―]+八3)—]+…+而二22)的值.解：(1)按所給圖案的規(guī)律畫出第五個圖如下：由圖可得45)=41.(2)可得式2)-/(l)=4Xl；43)