2022年周報杯初中數(shù)學競賽試題及參考答案

中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會多壊或錯壊都得0分)迪(D)21021 11“《周報》杯”多壊或錯壊都得0分)迪(D)21021 11TOC\o"1-5"\h\z若?=20,-=10,則=的值為( ).bc b+c11 21(A)— (B)— (C)21 II解:D 由題設(shè)得—= -h10若實數(shù)。，力滿足.-瀝+〃+2=0,則。的取值范圍是( )?2(A)a<-2 (B)a>4 (C)oW-2或a>4 (D)—2WcW4解.C因為b是實數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程庁-泌+丄+2=02的判別式△=(s)2—4xlx(?o+2)N0,解得oW—2或如圖,在四邊形ABC。中,匕3=135。,ZC=120°,AB=2右,BC=4-2皿,CD=4&則口邊的長為().(A)2灰 (B)4^/6(C)4+V6(D)2+2a/6解：D如圖，過點A,D分別作AE,DF垂直于直線8C,垂足分別為E,F.由已知可得BE=AE女,CF=2^2,DF=20于是EF=4+灰.過點A作AG±DF,垂足為G.在RtAADG中，根據(jù)勾股定理得AD=J(4+8V+(妁=7(2+V24)2=2+2—.

4.在一列數(shù)占，4.在一列數(shù)占，x2?x3,中，己知X]=1,且當AN2時，玉=丄+1-4(取整符號[用表示不超過實數(shù)"的最大整數(shù)，例如[2.6]=2,[0.2]=0),則由。等于(A)l解：B(B)2(C)3(D)4由(A)l解：B(B)2(C)3(D)4由X]=1和易=七_|+1-4可得X|=1>工2=2,工3=3, =4?

毛=1,工6=2，x7=3?&=4，因為2022=4x502+2,所以電。=2.如圖，在平面直角坐標系坦y中，等腰梯形ABC。的頂點坐標分別為A(l,1),8(2,一1),C(-2,一1),D(-1,1).)，軸上一點P(0,2)繞點,1旋轉(zhuǎn)180得點R,點Pi繞點B旋轉(zhuǎn)180得點P2,點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180得點P3,點P3繞點。旋轉(zhuǎn)180。得點Pu……，重復操作依次得到點P"2,…， P則點P2022的坐標是(). /° ?(A)(2022,2) (B)(2022,-2)(C)(2022,-2) (D)(0,2) 一舊、(弟5劇)解:B由已知可以得到，點％R的坐標分別為(2,0),(2,-2).記P^Oy,b2),其中Oj=2,b2=-2.根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：當(-4一角，—2~b2),P4(2+a2t4+Z>2),Ri(-a2,-2-b2'),4(4+%，々)?令與(％，如)，同樣可以求得，點￡o的坐標為(4+%,々)，即%(4x2+%b2)，由于2022=4x502+2,所以點與的坐標為<2022,-2).二、填空題己知a=V5—1,則2/+7。2—2a—12的值等于 .解：0由已知得(白+1)2=5,所以/+2〃=4,于是洞+7。2—2〃一12=2〃+4/+3，一2〃一12=3/+6。一12=0.7.一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛.在某一時刻.客車在前.小轎車在后.貨車在客車與小轎車的正中間.過了10分鐘.小轎車追上了貨車,又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過/分鐘，貨車追上了客車，則t= ■ 解：15設(shè)在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為a,b,c(千米/分)，并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得10(o2)=S, ①15(〃—c)=2S, ②x(b-c)=S. ③由①②，得30(b-c)=S,所以，x=30.故r=30-10-5=15(分).8.如圖，在平面直角坐標系X。)中，多OABCDE的頂點坐標分別是0(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線，經(jīng)過點M(2,3),且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線I的函數(shù)表達式是如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB,AF；連接CE,DF,且相交于點M由己知得點M(2,3)是。8,時的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線/把矩形ABFO分成面積相等的兩部分.又因為點N(5,2)是矩形CDEF的中心，所以，過點N(5,2)的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分.于是，直線MN即為所求的直線/.

設(shè)直線/的函數(shù)表達式為丫=心2,則<2k+b=3,5k+b=2,解得設(shè)直線/的函數(shù)表達式為丫=心2,則<2k+b=3,5k+b=2,解得b=j.，故所求直線/的函數(shù)表達式為y=-&+?.9.如圖，射線AMt3N都垂直于線段,1。，點E為AM上一點，過點A作B芯的垂線AC分別交BE,BN于點F,C,過點C作AM的垂線CD,垂足為D.若CD=CF,則AE（第9題）解:V5-1240（第9題）解:V5-12見題圖，設(shè)=AF=n.因為RtZ\AF8sRt/\A8C,所以AB2=AF■AC.又因為FC=DC=AB,所以m2=n（n+m）,即 （蘭）2+蘭_]=（）,m解得蘭=穿，或蘭=^1（舍去）.m2m2又Rt△疵:sR/CFB,所以-=—=—=-=ADBCFCm2io.對于1=2,3,…，k,正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i-\.若〃的最小值〃。滿足2000vv3000,則正整數(shù)k的最小值為 解：9因為〃+1為2,3,…，化的倍數(shù)，所以〃的最小值〃°滿足%+1=[2,3,?,k\.其中[2,3,…，表示2,3,…，&的最小公倍數(shù).由于[2,3,?,8]=80,[2,3,?,9]=2520,[2,3，…，10]=2520,[2,3,?,11]=27720,因此滿足2000<z?0<3000的正整數(shù)R的最小值為9.

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11.如圖，△ABC為等腰三角形，4P是底邊8C上的高，點。是線段PC上的一點,FF恥，和CP分別是和△ACD的外接圓直徑，連接時.求證：tanZPAD=—?BC證明：如圖，連接殄，F(xiàn)D.因為況和CF都是直徑，所以ED丄BC,FDLBC,因此。，E,F證明：如圖，連接殄，F(xiàn)D.因為況和CF都是直徑，所以ED丄BC,FDLBC,因此。，E,F三點共線.（5分）連接AE,AF,則ZAEF=ZABC=ZACB=ZAFD,所以，△ABCs/XAEF.（10分）（第11題）從而所以從而所以（20分）作AH丄EF,垂足為H,則AH=PD.由左A8Cs/\AEF可得EF_AH

~BC~~AP'EFPD~BC~~APf

12.如圖，拋物線y=cix2+bx（a>0）與雙曲線y=-相交于點A,B.己知點A的坐標為（1,4）,點8在第三象限內(nèi)，且ZkAOB的面積為3（0為坐（1）求實數(shù)“，b,A的值*（2）過拋物線上點4作宜線AC//X軸，交拋物線于另一點C,求所有滿足△EOCsZoB的點E的坐標.州（1）因為點A（1,4）在雙曲線y=-±,x4所以A=4.故雙曲線的函數(shù)表達式為>=蘭.x設(shè)點B（6-）,/<0.AB所在直線的函數(shù)表達式為^=次+〃，則有4=，〃+〃，4 解得m4 4（，+1）—，n= 于是，直線AB4 4（，+1）—，n= 于是，直線AB與），軸的交點坐標為0,，故Smob=?x竺戶（1一。=3,整理得2t2+31-2=0,解得，=2或七（舍去）.所以點8的坐標為（-2,-2）.因為點A,8都在拋物線y=ax2+hx（a>0）上，所以a+b=4,4a—2b=—2,解得Q=La+b=4,4a—2b=—2,解得Q=Lb=3.（【0分）（第12（第12題）（2）如圖，因為AC〃x軸，所以C（-4,4）,于是C。=4^2.又BO=2后所以——=2.BO設(shè)拋物線y=or?+bx（a>^與x軸負半軸相交于點D,則點。的坐標為（一3,0）.因為，COD=ZBOD=45°,所以ZCOB=90°,（i）將△BOA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到這時，點8（—2,2）是CO的中點，點A的坐標為（4,-1）.

延長CM,到點耳，使得。鳥=2QA，這時點片(8.?2)是符合條件的點.(ii)作左BOA關(guān)于x軸的對稱圖形△B'0\,得到點A2(1,-4)；延長。念到點E2,使得。E2=20\,這時點巳＜2,-8)是符合條件的點.所以，點E的坐標是(8,—2),或(2,-8). (20分)13.求滿足2矛+p+8=麻 2〃?的所有素數(shù)p和正整數(shù)m.解：由題設(shè)得〃(2〃+1)=(拒一4)(力+2),所以p\(m-4)(m+2),由于p是素數(shù)，故p|("—4),或p\(m+2).……(5分)(1)若/?|(w-4)?令m_4=kp,4是正整數(shù)，于是m+2>kp,3p2>p(2p+\)=(m-4)(m+2)>k2p2,故k2<3,從而k=l.所以(10分)p=5,所以(10分)m=9.(2)若p|(s+2),令m+2=kp,化是正整數(shù).當p>5時，有m-4=kp-6>kp-p=p(k-l),3p2>p(2p+l)=(〃7_4)(m+2)>R(A_l)p2,故燈*—l)v3,從而k=l,或2.由于p(2p+V)=(m-4)(m+2)是奇數(shù)，所以k暮,從而k=l.，〃一4=2p+l,m+2=p,這不可能.當p=5時，m2—2tn—63.zh=9；當p=3,trT—2m—29?無正整數(shù)解；當p=2時，麻-2所=18,無正整數(shù)解.綜上所述，所求素數(shù)p=5,正整數(shù)綜上所述，所求素數(shù)p=5,正整數(shù)，，尸9.(2()分)14.從L2,…，2022這2022個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù),使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除？解:首先，如下61個數(shù)：11,11+33,11+2x33,…，11+60x33(即2022)滿足題設(shè)條件.（5設(shè)條件.另一方面，設(shè)％<%<?..<%是從1,2, 2022中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對于這〃個數(shù)中的任意4個數(shù)即%,ak,am,因為33|（q+《'+ain）, 33|（勺+ak+am）,所以 33|（為一《）.因