邏輯代數(shù)基礎(chǔ)后半部分

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)后半部分第一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.4.1邏輯函數(shù)的概念一、邏輯變量和邏輯函數(shù)

從數(shù)字系統(tǒng)的角度看，邏輯函數(shù)定義如下：設(shè)某一邏輯電路的輸入邏輯變量A、B、C、...，輸出邏輯變量Y，如果當(dāng)A、B、C的取值確定后，Y的值就唯一的確定下來(lái)，則Y被稱為A、B、C...的邏輯函數(shù)，記作：

Y=f(A、B、C...)輸出邏輯變量（邏輯函數(shù)）輸入邏輯變量第二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、邏輯函數(shù)的特點(diǎn)：（1）邏輯變量和邏輯函數(shù)的的取值只有0和1兩種可能；在研究問(wèn)題時(shí)，0和1究竟代表什么意義，要看具體的對(duì)象而定。（2）函數(shù)和變量之間的關(guān)系由“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算決定。輸出邏輯變量（邏輯函數(shù)）輸入邏輯變量Y=f(A、B、C...)第三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、邏輯函數(shù)與邏輯問(wèn)題的描述任何一種邏輯命題（因果關(guān)系）都可用一個(gè)邏輯函數(shù)來(lái)描述。例：一個(gè)控制樓梯照明燈的電路，單刀雙擲開(kāi)關(guān)A裝在樓下，B裝在樓上，這樣在樓下開(kāi)燈后，可在樓上關(guān)燈；同樣,也可以在樓上開(kāi)燈，而在樓下關(guān)燈。因?yàn)橹挥挟?dāng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)都向上扳或向下扳時(shí)，燈才亮；而一個(gè)向上扳，另一個(gè)向下扳時(shí)，燈就不亮。ABY000110111001

第四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二設(shè)Y表示燈的狀態(tài)，Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；用Ａ、Ｂ表示開(kāi)關(guān)Ａ、開(kāi)關(guān)Ｂ的位置狀態(tài)，1表示開(kāi)關(guān)向上扳，０表示開(kāi)關(guān)向下扳。變量Ａ、Ｂ、Y，?。敝档挠迷兞勘硎?，取０值用反變量表示。ABY000110111001Y=A·B+A·B第五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.4.3邏輯函數(shù)的表示方法一、真值表（表格表示邏輯函數(shù)的方法）1、將輸入邏輯變量的全部取值組合與函數(shù)值（輸出邏輯變量）間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列成的表格。邏輯函數(shù)與輸入邏輯變量的各種取值之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，一個(gè)確定的邏輯函數(shù)的真值表是唯一的。

邏輯函數(shù)真值表對(duì)應(yīng)一一真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖、工作波形圖、卡諾圖第六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)Y1和Y2Y1=f1(A、B、C)Y2=f2(A、B、C)如果對(duì)應(yīng)于邏輯變量A、B、…C的每一種取值組合，Y1和Y2的值都相同，則稱邏輯函數(shù)Y1和Y2相等，記作Y1=Y2。推論：

如果Y1=Y2，則Y1和Y2對(duì)應(yīng)的真值表完全相同；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)邏輯函數(shù)的真值表完全相同，則Y1=Y2。判斷兩個(gè)邏輯函數(shù)是否相等的方法主要有兩種：一、真值表法邏輯函數(shù)相等第七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則進(jìn)行證明。例:已知函數(shù)F=x+y，G=x·y，求證：F=GxyF=x+yG=x·y0011011110111100第八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二3、特點(diǎn)①直觀明了，可直接看出邏輯函數(shù)值與輸入邏輯變量取值之間的關(guān)系；②便于把實(shí)際邏輯問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；③變量多時(shí)過(guò)于復(fù)雜；④無(wú)法利用公式進(jìn)行直接運(yùn)算。2、列寫(xiě)方法邏輯函數(shù)有n個(gè)輸入邏輯變量時(shí)，共有2n

個(gè)不同取值組合狀態(tài)。①按二進(jìn)制遞增順序列出n個(gè)輸入邏輯變量的2n

個(gè)不同的取值組合；②找出各種組合下的函數(shù)值，一一填入表中。第九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1、把輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系寫(xiě)成與、或、非等運(yùn)算的組合式，即為邏輯表達(dá)式。書(shū)寫(xiě)時(shí)注意：（1）“與”運(yùn)算符可以省略。（2）進(jìn)行“非”運(yùn)算可省略括號(hào)。（3）在一個(gè)表達(dá)式中如果既有“與”運(yùn)算又有“或”運(yùn)算，按先“與”后“或”的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，從而省去括號(hào)。（

）+（）可寫(xiě)為AB+CD。（4）“與”、“或”運(yùn)算均滿足結(jié)合律，（A+B）+C=A+（B+C）=A+B+C

（AB）C=A（BC）=ABC

二、邏輯函數(shù)表達(dá)式

第十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二2、列寫(xiě)方法

①由實(shí)際邏輯問(wèn)題寫(xiě)表達(dá)式②由真值表寫(xiě)表達(dá)式3、特點(diǎn)：將實(shí)際邏輯問(wèn)題高度抽象概括為數(shù)學(xué)形式。第十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、邏輯圖將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用邏輯運(yùn)算的圖形符號(hào)表示出來(lái)。

用基本邏輯門(mén)和復(fù)合邏輯門(mén)的邏輯符號(hào)組成的對(duì)應(yīng)于某一邏輯功能的電路圖。例如：邏輯函數(shù)Y=A（B+C）邏輯圖的特點(diǎn)：接近工程實(shí)際，常用來(lái)制作和分析電路。第十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二四、工作波形圖五、卡諾圖描述輸入、輸出波形間的關(guān)系?？衫谜嬷当懋?huà)出工作波形圖，第十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二五、各種表示方法間的轉(zhuǎn)換1、從真值表寫(xiě)出邏輯函數(shù)表達(dá)式ABCY000

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0當(dāng)A=0、B=1、C=1時(shí)，當(dāng)A=1、B=0、C=1時(shí)，當(dāng)A=1、B=1、C=0時(shí)，第十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二①找出真值表中使邏輯函數(shù)（輸出邏輯變量）Y=1的所有輸入邏輯變量的取值組合；②每種輸入邏輯變量的取值組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫(xiě)為原變量，取值為0的寫(xiě)為反變量；③將這些乘積項(xiàng)相加，即得函數(shù)Y的邏輯表達(dá)式。ABCY000

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0第十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二2、從邏輯表達(dá)式寫(xiě)出真值表將輸入邏輯變量的全部組合狀態(tài)逐一代入邏輯式求出函數(shù)值，列成表。方法：第一步：將輸入變量的所有取值組合按二進(jìn)制遞增順序排列，列成表；第二步：將輸入變量取值的所有狀態(tài)一一帶入邏輯表達(dá)式，求出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并填入表中。例如：已知邏輯函數(shù),求它對(duì)應(yīng)的真值表。ABCA000

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1Y001000000

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0第十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二3、從邏輯函數(shù)表達(dá)式畫(huà)出邏輯圖用門(mén)電路的邏輯圖形符號(hào)代替邏輯函數(shù)表達(dá)式中的各個(gè)邏輯運(yùn)算符號(hào)，并依據(jù)運(yùn)算優(yōu)先順序把這些圖形符號(hào)連接起來(lái)，即得與邏輯函數(shù)對(duì)應(yīng)的邏輯圖。例1.9已知邏輯函數(shù)，試畫(huà)出其邏輯圖。

第十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4、從邏輯圖寫(xiě)出邏輯函數(shù)表達(dá)式從輸入端到輸出端逐級(jí)寫(xiě)出每個(gè)圖形符號(hào)輸出的對(duì)應(yīng)邏輯式。例1.8已知函數(shù)的邏輯圖，試寫(xiě)出其邏輯表達(dá)式。

第十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二例：A、B、C輸入變量，F(xiàn)邏輯函數(shù)。開(kāi)關(guān)閉合、燈亮用邏輯“1”表示；開(kāi)關(guān)斷開(kāi)、燈滅用邏輯“0”表示。解：1.列出輸入、輸出對(duì)應(yīng)的真值表一個(gè)實(shí)際邏輯命題的實(shí)現(xiàn)一個(gè)舉重裁判電路，用一個(gè)邏輯函數(shù)描述它的邏輯功能。比賽規(guī)則：在一名主裁判和兩名副裁判中，必須有兩人以上（而且必須包括主裁判）認(rèn)定運(yùn)動(dòng)員動(dòng)作合格，試舉才算成功。比賽時(shí)主裁判掌握開(kāi)關(guān)C，兩名副裁判分別掌握開(kāi)關(guān)A、B。當(dāng)運(yùn)動(dòng)員舉起杠鈴時(shí)，裁判認(rèn)為動(dòng)作合格就合上開(kāi)關(guān)，否則不合。顯然指示燈的狀態(tài)是開(kāi)關(guān)A、B、C狀態(tài)的函數(shù)。ABCF000

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1第十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.寫(xiě)出邏輯函數(shù)式1）使函數(shù)值為1的輸入變量取值組合。2）將每個(gè)這樣的取值組合寫(xiě)成一個(gè)乘積項(xiàng)。變量取值為1，用原變量表示；變量取值為0，用反變量表示。3）將這幾個(gè)乘積項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得該控制電路邏輯表達(dá)式：ABCY000

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1第二十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.邏輯圖將邏輯表達(dá)式中的“與”運(yùn)算符用與門(mén)代替，“或”運(yùn)算符用或門(mén)代替，畫(huà)出與函數(shù)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的邏輯圖。第二十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.工作波形圖ABCY000

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1tttAYBtC00000010010001111000101111001110第二十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二例：有一個(gè)T型走廊，在相會(huì)處有盞路燈，在進(jìn)入走廊的A、B、C三地各有一個(gè)控制開(kāi)關(guān)，都能對(duì)路燈進(jìn)行獨(dú)立控制?？刂埔螅喝我忾]合一個(gè)開(kāi)關(guān)，燈亮；任意閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)，燈滅；三個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)閉合，燈亮。ABCY00000101001110010111011101101001解：1.列出真值表2.寫(xiě)出邏輯函數(shù)式一個(gè)實(shí)際邏輯命題的實(shí)現(xiàn)第二十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.邏輯圖第二十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.工作波形圖tttAYBtC00000011010101101001101011001111ABCY00000101001110010111011101101001第二十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.5邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)4.5.1化簡(jiǎn)的意義和標(biāo)準(zhǔn)一、邏輯函數(shù)的幾種常見(jiàn)形式和變換第二十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二①“與―或”式②“或―與”式③“與非―與非”式④“或非―或非”式⑤“與―或―非”式摩根定律：⑤→②摩根定律：⑤→④③→⑤：同一邏輯函數(shù)①↓②反演規(guī)則：①→②摩根定律：①→③第二十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的意義邏輯電路邏輯函數(shù)邏輯命題實(shí)現(xiàn)表示簡(jiǎn)單復(fù)雜電路簡(jiǎn)單電路復(fù)雜第二十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、邏輯函數(shù)最簡(jiǎn)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)注意：將最簡(jiǎn)與或式直接變換為其他類型的邏輯式時(shí)，得到的結(jié)果不一定也是最簡(jiǎn)的。與-或表達(dá)式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)：1、邏輯函數(shù)式中所含乘積項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少；2、每個(gè)乘積項(xiàng)中變量個(gè)數(shù)也不能再減少。例：第二十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.5.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法------運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對(duì)邏輯函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法叫代數(shù)化簡(jiǎn)法。一、并項(xiàng)法把兩個(gè)乘積項(xiàng)合并成一項(xiàng)，消去一個(gè)變量（表達(dá)式）。A可以是任何復(fù)雜的邏輯式。例：使用并項(xiàng)法化簡(jiǎn)下列函數(shù)。第三十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二★1第三十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、吸收法利用吸收律消去多余的與項(xiàng)。例：第三十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、消項(xiàng)法利用將BC消去，其中A、B、C都可以是任何復(fù)雜的邏輯式。第三十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二★3第三十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二四、消因子法利用可將中的消去。五、配項(xiàng)法利用，重新配項(xiàng)，以便消去其他項(xiàng)。添一項(xiàng)加一項(xiàng)乘一項(xiàng)第三十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二例：化簡(jiǎn)下列邏輯函數(shù)。第三十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二★2第三十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二代數(shù)化簡(jiǎn)法優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單方便，對(duì)邏輯函數(shù)式中的變量個(gè)數(shù)沒(méi)有限制，適用于變量較多，較復(fù)雜的邏輯函數(shù)式。缺點(diǎn)：需要熟練掌握和靈活應(yīng)用邏輯代數(shù)基本定律和基本公式;還要有一定的化簡(jiǎn)技巧；不易判斷化簡(jiǎn)的邏輯函數(shù)式是否已經(jīng)達(dá)到最簡(jiǎn)式。第三十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式有兩種：

1、標(biāo)準(zhǔn)“與－或”表達(dá)式（最小項(xiàng)之和形式）

2、標(biāo)準(zhǔn)“或－與”表達(dá)式（最大項(xiàng)之積形式）。

（一）.最小項(xiàng)1、定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量的邏輯函數(shù)的某個(gè)與項(xiàng)(乘積項(xiàng))包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則該與項(xiàng)被稱為最小項(xiàng)、標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)、全積項(xiàng)。一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)

4.5.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法第三十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二對(duì)于n個(gè)輸入邏輯變量的函數(shù)其最多有2n個(gè)最小項(xiàng)輸入變量最小項(xiàng)函數(shù)ABC000100000001001010000001010001000001011000100001100000010001101000001001110000000101111000000011第四十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二用mi表示最小項(xiàng)，編號(hào)方法：將最小項(xiàng)中原變量用1表示，反變量用0表示，將所得二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為最小項(xiàng)的編號(hào)。ABC最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7第四十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.最小項(xiàng)性質(zhì):

（1）對(duì)于任何一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為1，而對(duì)變量的其他任何取值，這個(gè)最小項(xiàng)的值均為0。

（2）不同的最小項(xiàng)，使它的值為1的那組變量取值也不同。（3）對(duì)于任一組取值，任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)的乘積為0。

（4）對(duì)于任何一組取值，全部最小項(xiàng)之和為1，即（5）具有相鄰性的二個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)并消去一個(gè)因子。（6）n個(gè)變量構(gòu)成的最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰最小項(xiàng)。相鄰性---二個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子不同，這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性。第四十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二

（二）.最大項(xiàng)1、定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量的邏輯函數(shù)的或項(xiàng)包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則該或項(xiàng)被稱為最大項(xiàng)、標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)、全和項(xiàng)。第四十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二11111111對(duì)于n個(gè)自變量的函數(shù)而言，可有2n個(gè)最大項(xiàng)。第四十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二為什么稱該或項(xiàng)為最大項(xiàng)呢？表中列出3變量的邏輯函數(shù)的8個(gè)最大項(xiàng)，在輸入邏輯變量的8種取值的組合中，針對(duì)每一種組合使任一最大項(xiàng)為0的機(jī)會(huì)僅一次，其余皆為1，故稱其為最大項(xiàng)。用Mi表示最大項(xiàng)，編號(hào)方法：將最大項(xiàng)中原變量用0表示，反變量用1表示，將所得二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)作為最大項(xiàng)的編號(hào)。第四十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二ABC最大項(xiàng)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)編號(hào)0000M00011M10102M20113M31004M41015M51106M61117M7第四十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二2、最大項(xiàng)性質(zhì)：（1）

任意一組變量取值，只能使一個(gè)最大項(xiàng)的值為0，其它最大項(xiàng)的值均為1。

（2）

同一組變量取值，可使任意兩個(gè)不同最大項(xiàng)的和為1。

（3）對(duì)于任意一組變量取值，全部最大項(xiàng)之積為0，即

（4）只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)（相鄰最大項(xiàng)）的乘積等于各相同變量之和。（5）

n個(gè)變量構(gòu)成的最大項(xiàng)有n個(gè)相鄰最大項(xiàng)。相鄰最大項(xiàng)是指除一個(gè)變量互為相反外，其余變量均相同的兩個(gè)最大項(xiàng)。

(A+B+C)(A+B+C)=A+B2n-1第四十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二3、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)間關(guān)系m0m1m2m3m4m5m6m7相同編號(hào)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)存在互補(bǔ)關(guān)系例如：m0=，則m0=A+B+C=M0

第四十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二11111111M0M1M2M3M4M5M6M72n-1第四十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二----由若干最小項(xiàng)相“或”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式。

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成若干個(gè)最小項(xiàng)之和的形式，對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)其標(biāo)準(zhǔn)“與－或”表達(dá)式是唯一的。①由一般與或表達(dá)式得最小項(xiàng)表達(dá)式；②另一種是由真值表得到。

二、邏輯函數(shù)的兩種表準(zhǔn)形式如何得到最小項(xiàng)表達(dá)式？（1）邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與－或”表達(dá)式（最小項(xiàng)之和形式）第五十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二①一般“與或”表達(dá)式得到最小項(xiàng)表達(dá)式

將一般“與或”表達(dá)式中每個(gè)與項(xiàng)乘上未出現(xiàn)變量的原變量與反變量和的形式，展開(kāi)后即得到最小項(xiàng)表達(dá)式。

例寫(xiě)出Y=AB+BC+AC的最小項(xiàng)表達(dá)式。第五十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二②由真值表得到最小項(xiàng)表達(dá)式

首先找出使邏輯函數(shù)F=1的輸入變量取值組合對(duì)應(yīng)的乘積項(xiàng)（最小項(xiàng)），再將這些最小項(xiàng)相或，即得到標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（或最小項(xiàng)表達(dá)式）。

例：寫(xiě)出下真值表對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)表達(dá)式。輸入變量輸出最小項(xiàng)ABCF0001m0

0

011m1

0100m2

0110m3

10

01m4

1

0

11m5

110

1

m6

1110m7

最小項(xiàng)表達(dá)式：第五十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二

----由若干最大項(xiàng)相“與”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式。任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成若干個(gè)最大項(xiàng)之積的形式，（2）邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或－與”表達(dá)式（最大項(xiàng)之積形式）第五十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二

如何寫(xiě)出函數(shù)的最大項(xiàng)之積表達(dá)式？

例已知函數(shù)F(A,B,C)=AB+BC,試寫(xiě)出其最大項(xiàng)表達(dá)式。

將該函數(shù)的真值表列出，將F為0對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)寫(xiě)出來(lái)相乘。輸入變量輸出變量最小項(xiàng)最大項(xiàng)ABCF0000m0

M0

0010m1

M1

0100m2

M2

0111m3

M3

1000m4

M4

1010m5

M5

1101m6

M6

1111m7

M7

最大項(xiàng)表達(dá)式：F(A,B,C)=∏M(0,1,2,4,5)第五十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二（3）兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換輸入變量輸出變量最小項(xiàng)最大項(xiàng)ABCF0000m0

M0

0011m1

M1

0100m2

M2

0111m3

M3

1000m4

M4

1011m5

M5

1100m6

M6

1111m7

M7

第五十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二=M0M2M4M6

6例：寫(xiě)出函數(shù)F(A,B,C)=∑m(1,3,6,7)的最大項(xiàng)之積表達(dá)式。第五十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)特點(diǎn)：一個(gè)具有n變量的邏輯函數(shù)有2n全部最小項(xiàng)，卡諾圖實(shí)質(zhì)上是將n變量的2n最小項(xiàng)各用一個(gè)小方格表示，并使最小項(xiàng)按相鄰原則排列構(gòu)成的方塊圖。

相鄰原則，指卡諾圖上鄰近的任意兩個(gè)小方格所代表的兩個(gè)最小項(xiàng)是相鄰最小項(xiàng)（僅有一個(gè)變量互為反變量，其余變量均相同)。相鄰關(guān)系：上下相鄰、左右相鄰、首尾相鄰（一列中最上格與最下格相鄰、一行中最左格與最右格相鄰）。一、卡諾圖的構(gòu)成簡(jiǎn)單又直觀；具有確定的化簡(jiǎn)步驟；可以明確獲得的是最簡(jiǎn)與-或式。三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法第五十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二一變量卡諾圖---21個(gè)最小項(xiàng)，每個(gè)最小項(xiàng)僅有1個(gè)相鄰項(xiàng)。二變量卡諾圖---22個(gè)最小項(xiàng)，每個(gè)最小項(xiàng)均有2個(gè)相鄰項(xiàng)。

A01m0m1

（0）

（1）AB010/m0/m11/m2/m3(00)(01)(10)(11)三變量卡諾圖---23個(gè)最小項(xiàng)，每個(gè)最小項(xiàng)均有3個(gè)相鄰項(xiàng)。/m0/m1/m3/m2/m4/m5/m7/m6000001010011110111100101ABC0110000111第五十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二四變量卡諾圖---24個(gè)最小項(xiàng)，每個(gè)最小項(xiàng)均有4個(gè)相鄰項(xiàng)。00000001001100100100010101110110110011011111111010001001101110101000011110000111ABCD/m0/m1/m3/m2/m4/m5/m7/m6/m12/m13/m15/m14/m8/m9/m11/m10第五十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二五變量卡諾圖---25小方格分別代表32個(gè)最小項(xiàng)，每個(gè)最小項(xiàng)均有5個(gè)相鄰項(xiàng)。第六十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD第六十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二卡諾圖特點(diǎn)：（1）n變量的卡諾圖由2n個(gè)小方格組成，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)；（2）卡諾圖上處在相鄰、相對(duì)或相重位置上的小方格所代表的最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)，n變量的最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰最小項(xiàng)。

/m0/m1/m3/m2/m4/m5/m7/m6/m12/m13/m15/m14/m8/m9/m11/m101000011110000111ABCD第六十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二相鄰最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同（互補(bǔ)），將兩相鄰的最小項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，消去兩項(xiàng)中互補(bǔ)的變量（不同的因子），只保留相同的變量。二、卡諾圖化簡(jiǎn)法的依據(jù)第六十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二2=21個(gè)相鄰最小項(xiàng)（同一列上下兩端、同一行左右兩端）可以合并一項(xiàng)，消去1個(gè)不同的變量；消去了一個(gè)變量A。m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDABC0110000111m0m1m3m2m4m5m7m6ABC01100001111000011110000111ABCD第六十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二m0m1m3m2m4m5m7m6ABC0110000111m0m1m3m2m4m5m7m6ABC0110000111m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD第六十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4=22個(gè)相鄰最小項(xiàng)（包括兩行兩列的兩端、四個(gè)角）可以合并為一項(xiàng)，消去2個(gè)不同的變量；m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD1000011110000111ABCD第六十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二8=23個(gè)相鄰最小項(xiàng)（相鄰兩行、兩列，上下端兩行、左右端兩列）可以合并為一項(xiàng)，消去3個(gè)不同的變量；2n

個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，消去n個(gè)不同的變量；…卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)原理：利用卡諾圖對(duì)相鄰最小項(xiàng)進(jìn)行合并，消去互反變量，保留公有變量，達(dá)到化簡(jiǎn)目的。如2n

個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，能消去n個(gè)變量。m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD第六十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二

n變量函數(shù)的卡諾圖中，全部小方格就是整個(gè)卡諾圖中的一個(gè)大相鄰矩形區(qū)域，可消去全部n個(gè)互反變量，使函數(shù)值恒為“1”即。

m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD第六十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

卡諾圖每個(gè)方格都唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，要用卡諾圖表示某個(gè)邏輯函數(shù)時(shí)，先將該函數(shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)“與－或”式(最小項(xiàng)之和表達(dá)式)，再將表達(dá)式含有的最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格中填入“1”，其余方格則填入“0”，就得該函數(shù)對(duì)應(yīng)的卡諾圖。第六十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。

解：（1）變量數(shù)為3，先畫(huà)三變量空卡諾圖。（2）把邏輯式中四個(gè)最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)方格中填入1，其余填入0。得該函數(shù)的卡諾圖。01110010ABC0110000111邏輯函數(shù)卡諾圖對(duì)應(yīng)一一利用卡諾圖也可證明兩個(gè)邏輯函數(shù)相等第七十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）變量數(shù)為4，畫(huà)四變量空卡諾圖。（3）把邏輯式中八個(gè)最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)方格中填入1，其余填入0。解：（1）將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和形式

例2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。01001001001011111000011110000111ABCD第七十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二利用真值表與標(biāo)準(zhǔn)“與－或”式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可從真值表直接得邏輯函數(shù)卡諾圖。方法：將真值表中輸出為“1”的最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的卡諾圖小方格填入“1”，其余小方格填入人“0”。

例3已知函數(shù)的真值表，試畫(huà)出其卡諾圖。解：（1）先畫(huà)三變量空卡諾圖。（2）把真值表中Y=1對(duì)應(yīng)的四個(gè)最小項(xiàng)m0，m2，m4，m6對(duì)應(yīng)的方格中填入1，其余填入0。ABCY0000010100111001011101111010101010011001ABC0110000111第七十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）畫(huà)四變量空卡諾圖。（3）根據(jù)與－或式中的每個(gè)與項(xiàng)，填卡諾圖。例4用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。解：（1）先把邏輯式展開(kāi)成與－或式。111111111000011110000111ABCD第七十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1、將原始函數(shù)轉(zhuǎn)換為“與或”表達(dá)式；2、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。根據(jù)邏輯函數(shù)所含變量個(gè)數(shù)，畫(huà)出該函數(shù)對(duì)應(yīng)的空卡諾圖，凡式中包含了的最小項(xiàng)，其對(duì)應(yīng)小方格都填入“1”，其余小方格填入“0”。3、對(duì)卡諾圖中相鄰的“1”方格畫(huà)包圍圈。把卡諾圖中相鄰的“1”方格用包圍圈圈起來(lái)進(jìn)行合并，直到所有最小項(xiàng)全部圈完為止。4、將每個(gè)包圍圈中相同的變量提出來(lái)（相鄰區(qū)域中的互反變量因子消去，保留共有變量因子），將所得對(duì)應(yīng)的“與”項(xiàng)再進(jìn)行邏輯加，便得到最簡(jiǎn)“與或”式。四、卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的一般步驟第七十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二畫(huà)包圍圈應(yīng)遵循的原則：①只有相鄰的最小項(xiàng)才能畫(huà)在一個(gè)包圍圈中，每個(gè)包圍圈內(nèi)的方格數(shù)必定是2n個(gè)，n等于0、1、2、3、…，即只能按照2，4，8，16…的數(shù)目畫(huà)包圍圈。②相鄰方格包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。③為充分化簡(jiǎn)，同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍，但在新增包圍圈中一定要有未被圈過(guò)的1方格，否則該包圍圈為多余。

④為避免劃出多余的包圍圈，畫(huà)包圍圈時(shí)應(yīng)遵從有少到多的順序。先將與其它任何“1”方格都不相鄰的孤立“1”方格單獨(dú)圈出，再找出那些僅與另一個(gè)“1”方格惟一相鄰的“1”方格，將它們兩兩相圈，組成含有兩個(gè)“1”方格的相鄰區(qū)域；最后再依次將含有四個(gè)“1”方格、八個(gè)“1”方格、甚至更多個(gè)“1”方格的相鄰區(qū)域圈出來(lái)。比如：先圈1個(gè)相鄰最小項(xiàng)，在圈2個(gè)相鄰最小項(xiàng)，然后4個(gè)相鄰最小項(xiàng)，8個(gè)相鄰最小項(xiàng)。第七十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二⑤包圍圈內(nèi)的1方格數(shù)要盡可能多，即包圍圈應(yīng)盡可能大，這樣消去的變量就多，所得乘積項(xiàng)中的變量越少，與門(mén)輸入端的數(shù)目就少。⑥包圍圈個(gè)數(shù)盡可能少，這樣得到的函數(shù)表達(dá)式中乘積項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少，就可以獲得最簡(jiǎn)的邏輯函數(shù)與或表達(dá)式。⑦有時(shí)用圈0的方法更簡(jiǎn)便，但得到的是原函數(shù)的反函數(shù)。第七十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二例5

用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)解：①畫(huà)出與原始函數(shù)對(duì)應(yīng)的卡諾圖。②畫(huà)包圍圈。③將每個(gè)包圍圈中互反變量因子消去，保留共有變量因子，得化簡(jiǎn)后表達(dá)式。

1000011110000111ABCD1111111111000011110000111ABCD第七十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二例6

用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)解：①畫(huà)出與原始函數(shù)對(duì)應(yīng)的卡諾圖。②注意，此時(shí)若先圈大圈(如圖中虛線所示)，則將產(chǎn)生多余圈。③將每個(gè)圈中互反變量因子消去，保留共有變量因子，得化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。111111111000011110000111ABCD111111111000011110000111ABCD√×第七十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二利用卡諾圖表示邏輯函數(shù)式時(shí)，也可采用包圍0方格的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出反函數(shù)，再對(duì)其求非，其結(jié)果相同。例7

用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)解：①畫(huà)出與原始函數(shù)對(duì)應(yīng)的卡諾圖。②寫(xiě)出反函數(shù)③求出函數(shù)表達(dá)式10011001111111111000011110000111ABCD第七十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二★2★111111111ABC011000