高考數(shù)學(xué)“三個二次”的轉(zhuǎn)課件

專題2不等式與線性規(guī)劃第

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練“三個二次”的轉(zhuǎn)

化與應(yīng)用“二次函數(shù)、二次方程、二次不等式”是高中數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，在高考中雖然一般不直接考查，但它是解決很多數(shù)學(xué)問題的工具.如函數(shù)圖象問題、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的問題、直線與圓錐曲線的綜合問題等.“三個二次”經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，相輔相成，是一個有機的整體.如果能很好地掌握三者之間的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用方法，會有利于解決上述有關(guān)問題，提升運算能力.題型分析高考展望體驗高考高考必會題型高考題型精練欄目索引體驗高考1.(2015·陜西改編)對二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a為非零整數(shù))，四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是________.①－1是f(x)的零點；②1是f(x)的極值點；③3是f(x)的極值；④點(2,8)在曲線y＝f(x)上.12345√解析解析①正確等價于a－b＋c＝0，

(ⅰ)②正確等價于b＝－2a，

(ⅱ)12345④正確等價于4a＋2b＋c＝8. (ⅳ)下面分情況驗證，解析

1234512345解析答案12345解析記h(x)＝－f(2－x)在同一坐標系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，解析12345

12345解析答案解析

要使原函數(shù)有意義，需且僅需3－2x－x2≥0.解得－3≤x≤1.故函數(shù)定義域為[－3,1].[－3,1]12345解析答案解析

如圖，當(dāng)x≤m時，f(x)＝|x|；當(dāng)x>m時，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數(shù)，若存在實數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個不同的根，則m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.(3，＋∞)123455.(2015·浙江)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間[－1,1]上的最大值.(1)證明：當(dāng)|a|≥2時，M(a，b)≥2；解析答案12345所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}.當(dāng)a≥2時，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.當(dāng)a≤－2時，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，

得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.綜上，當(dāng)|a|≥2時，M(a，b)≥2.12345(2)當(dāng)a，b滿足M(a，b)≤2時，求|a|＋|b|的最大值.解析答案解由M(a，b)≤2得|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，故|a＋b|≤3，|a－b|≤3.返回當(dāng)a＝2，b＝－1時，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1,1]上的最大值為2.即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值為3.高考必會題型題型一函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化解析答案點評方程f(x)－a＝0在[－3,4]上有10個根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝a在[－3,4]上有10個交點.由于函數(shù)f(x)的周期為3，點評二次函數(shù)零點問題或二次函數(shù)圖象與直線交點個數(shù)問題，一般都需轉(zhuǎn)化為二次方程根的存在性及根的分布來解決，解決的方法是列出判別式和有關(guān)函數(shù)值的不等式(組)，或用數(shù)形結(jié)合的方法解決.點評

解析答案7題型二函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化例2

已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱.若對任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)＜0恒成立，則當(dāng)x＞3時，x2＋y2的取值范圍是________.解析點評答案(13,49)解析由函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).所以不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)＜0，可化為f(x2－6x＋21)＜－f(y2－8y)＝f(－y2＋8y).又因為函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，故必有x2－6x＋21＜－y2＋8y，即x2－6x＋21＋y2－8y＜0，配方，得(x－3)2＋(y－4)2＜4.點評解析它表示的區(qū)域為如圖所示的半圓的內(nèi)部.而x2＋y2表示該區(qū)域內(nèi)的點到坐標原點距離的平方.由圖可知，x2＋y2的最小值在點A處取得，但因為該點在邊界的分界線上，不屬于可行域，故x2＋y2＞32＋22＝13，而最大值為圓心(3,4)到原點的距離與半徑之和的平方，但因為該點在圓的邊界上，不屬于可行域，故x2＋y2＜(5＋2)2＝49，故13＜x2＋y2＜49.點評不等式是解決函數(shù)定義域、值域、參數(shù)范圍等問題的有效工具，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不等式解決是解答此類問題的常規(guī)思路.而二次不等式的解的確定又要借助二次函數(shù)圖象，所以二者關(guān)系密切.函數(shù)單調(diào)性的確定是抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式的關(guān)鍵.點評變式訓(xùn)練2已知f(x)＝x2－2ax＋2，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍.解析答案解設(shè)F(x)＝x2－2ax＋2－a，則問題的條件變?yōu)楫?dāng)x∈[－1，＋∞)時，F(xiàn)(x)≥0恒成立.∵當(dāng)Δ＝(－2a)2－4(2－a)＝4(a＋2)·(a－1)≤0，即－2≤a≤1時，F(xiàn)(x)≥0恒成立.解析答案故a的取值范圍是[－3,1].題型三方程與不等式的轉(zhuǎn)化例3關(guān)于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0,2]上有解，求實數(shù)m的取值范圍.解析答案點評解方法一設(shè)f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，①若f(x)＝0在區(qū)間[0,2]上有一解，∵f(0)＝1＞0，則應(yīng)有f(2)＜0，又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，解析答案點評由①②可知m的取值范圍是(－∞，－1].解析答案點評方法二顯然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，∴1－m≥2，∴m≤－1，故m的取值范圍是(－∞，－1].點評“三個二次”是一個整體，不可分割.有關(guān)“三個二次”問題的解決辦法通常是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想來將其轉(zhuǎn)化，其中用到的方法主要有數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，其最基本的理念可以說是嚴格按照一元二次不等式的解決步驟來處理.點評變式訓(xùn)練3

若關(guān)于x的方程x2＋ax－4＝0在區(qū)間[2,4]上有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________.返回解析

如果方程有實數(shù)根，注意到兩個根之積為－4＜0，可知兩根必定一正一負，因此在[2,4]上有且只有一個實數(shù)根，設(shè)f(x)＝x2＋ax－4，則必有f(2)f(4)≤0，所以2a(12＋4a)≤0，即a∈[－3,0].[－3,0]解析答案高考題型精練123451.方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的個數(shù)是________.6789101112解析答案解析

(數(shù)形結(jié)合法)∵a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個交點.22.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1＋x2＝1－a，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系為___________.123456789101112解析答案解析f(x)的對稱軸為直線x＝－1，又∵x1＋x2＝1－a，∴x1離對稱軸的距離小于x2離對稱軸的距離.又∵a＞0，∴f(x1)＜f(x2).f(x1)＜f(x2)123456789101112解析答案解析由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，求h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,4]內(nèi)的零點，即求f(x)＝g(x)在區(qū)間[－5,4]上圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，如圖，由圖可知兩圖象在[－5,4]之間有7個交點,所以所求函數(shù)有7個零點.7個數(shù)為________.4.若關(guān)于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1，x2滿足－1≤x1＜0＜x2＜2，則k的取值范圍是________.123456789101112解析答案解析構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x2＋2kx－1，∵關(guān)于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1，x2滿足－1≤x1＜0＜x2＜2，5.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結(jié)論：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正確的是________.123456789101112解析因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確；結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯誤；由對稱軸為x＝－1知，b＝2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確.解析√√123456789101112答案解析123456789101112如圖所示，直線y＝mx的圖象是繞坐標原點旋轉(zhuǎn)的動直線，當(dāng)斜率m≤0時，直線y＝mx與函數(shù)f(x)的圖象只有一個公共點；故要使直線y＝mx與函數(shù)f(x)的圖象有三個公共點，解析123456789101112即方程x2－2mx＋2＝0的判別式Δ＝4m2－4×2＞0，且m＞0，123456789101112解析答案7.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2和3，則不等式af(－2x)＞0的解集是____________.解析∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，8.已知奇函數(shù)f(x)在定義域[－2,2]上單調(diào)遞減，則滿足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的實數(shù)m的取值范圍是________.123456789101112解析答案解析

由f(1－m)＋f(1－m2)＜0，得f(1－m)＜－f(1－m2).又f(x)為奇函數(shù)，∴f(1－m)＜f(m2－1).又∵f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞減，[－1,1)∴實數(shù)m的取值范圍為[－1,1).1234567891011129.已知函數(shù)y＝f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝|lgx|的圖象的交點個數(shù)為________.解析在同一直角坐標系中，分別作出y＝f(x)和y＝|lgx|的圖象，如圖，結(jié)合圖象知，共有10個交點.10解析答案12345678910111210.若關(guān)于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析因為不等式等價于(－a＋4)x2－4x＋1＜0，其中(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a＞0，且有4－a＞0，故0＜a＜4，則一定有{1,2,3}為所求的整數(shù)解集，解析答案11.已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍.解方法一設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的兩根分別為x1，x2(x1＜x2)，則(x1－1)(x2