平面上的坐標(biāo)變換及平面三角形單元有限元程序設(shè)計(jì)

第二章平面上的坐標(biāo)變換2-1平移原坐標(biāo)系S平移(h,k)得新坐標(biāo)系S’；一個(gè)P點(diǎn)相對於S及S’的坐標(biāo)分別(x,y)S及(x’,y’)S’則1.將坐標(biāo)軸平移新原點(diǎn)(3,2)，若點(diǎn)(x,y)的新坐標(biāo)為(2,-3)，試求x、y之值?！緓=5,y=-1】2.移軸至新原點(diǎn)O’(-2,3)，試求下列各點(diǎn)之坐標(biāo)：(1)P點(diǎn)的原坐標(biāo)為(5,-4)，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)。(2)q點(diǎn)的新坐標(biāo)為(5,-4)，求q點(diǎn)的新坐標(biāo)。【(1)(7,-7)(2)(3,-1)】3.移軸至新原點(diǎn)q’(h,k)後，點(diǎn)P(1,1)之新坐標(biāo)為(5,-2)，(1)求新原點(diǎn)O’之原點(diǎn)(h,k)。(2)若q點(diǎn)的新坐標(biāo)為(6,-7)那麼q點(diǎn)原坐標(biāo)為何？【(1)(-4,3)(2)(2,-4)】4.移軸至新原點(diǎn)O’(-2,3)，求下列曲的新方程式：(1)x2+y2+4x-6y+12=0(2)y2-4x-6y+1=0(3)9x2-16y2+36x+96y-252=0【(1)x’2+y’2=1(2)y’2=4x’(3)】5.設(shè)拋物線：y=x2上有兩點(diǎn)P、q，當(dāng)坐標(biāo)軸平移到O’(h,k)後，P、q的新坐標(biāo)依次為(5,7)，(7,19)，(1)求新原點(diǎn)O’(h,k)。(2)求拋物線的新方程式?！?1)(-3,-3)(2)y’-3=(x’-3)2】6.平移坐標(biāo)軸至新原點(diǎn)O’(h,k)使曲線：3x2+4xy+2y2+8x+4y+6=0之新方程式?jīng)]有一次項(xiàng),試求：(1)求新原點(diǎn)O’的坐標(biāo)(h,k)。 (2)曲線的新方程式?！?1)(-2,1)(2)3x’2+4x’y’+2y’2=0】7.把坐標(biāo)系的原點(diǎn)沿著直線4x-2y+3=0的右上方移動(dòng)單位，某一圖形之方程式F，經(jīng)平移後得到的新方程式為9x’2+4y’2=36,試求F之方程式?！?x2+4y2+18x+16y+9=0】8.將坐標(biāo)軸的原點(diǎn)平移到(-2,-1)後，下列各方程式對於新坐標(biāo)系x’、y’的方程式為何？並分別說明其圖形。(1)3x-5y+2=0(2)x2+y2+4x+2y+4=0(3)x2-2y2+12x-4y-9=0【(1)3x’-5y’+1=0。一條直線(2)x’2+y’2=1。一個(gè)圓(3)3x’2-2y’2=19。一個(gè)雙曲線】9.平移坐標(biāo)軸,把原點(diǎn)移到O’(2,1)，求下列曲線的新方程式：(1)L：x-3y+8=0(2)C：x2+y2-6x-2y+1=0(3)：y2-8x-2y+17=0【(1)x’-3y’+3=0(2)x’2+y’2-2x’=8(3)y’2=8x’】2-2旋轉(zhuǎn)原坐標(biāo)系S旋轉(zhuǎn)得新坐標(biāo)系S’；一個(gè)P點(diǎn)相對於S及S’的坐標(biāo)分別(x,y)及(x’,y’)則或1.將坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，得一個(gè)新坐標(biāo)系,(1)求點(diǎn)P(-3,2)對新坐標(biāo)系的坐標(biāo)。(2)若q點(diǎn)之新坐標(biāo)為(4,2)，求q點(diǎn)的原坐標(biāo)?！?1)(，)(2)(，)】2.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，求曲線：x2+4xy+y2=3在新坐標(biāo)系中的方程式，並作圖?！荆骸?.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)300。(1)求(1,0)，(0,1)，(1,1)之新坐標(biāo)。(2)若P點(diǎn)之新坐標(biāo)為(-1,)，求P點(diǎn)之原坐標(biāo)?！?1)(2)(,1)】4.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一角，且=tan-1，則點(diǎn)(-10,20)在新坐標(biāo)系中坐標(biāo)為何？【(4,22)】5.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一角，而0<<900，若點(diǎn)A(,6)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，求。【300】6.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，求方程式xy=8對新坐標(biāo)系的之新方程式。【x’2-y’2=16】7.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，求方程式x2-y2=8對新坐標(biāo)系的之新方程式?！緓’y’=-4】8.求方程4xy-3x2=10經(jīng)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)後的新方程式,其中旋轉(zhuǎn)角?！緓’2-4y’2=10】9.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)450角，方程式在新坐標(biāo)系中的方程式為y’2=-4x’，求原坐系中的方程式?！緓2-2xy+y2+8x+8y=0】10.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)450，求下曲線的新方程式，並且作圖。(1)xy=1 (2)x2-2xy+y2-4(x+y)=0 (3)x=1【(1)(2)y’2=4x’(3)x’-y’=】11.轉(zhuǎn)軸一個(gè)銳角=tan-12,求曲線：4x2-4xy+y2+2x+4y+8=0之新方程式,並作出的圖形?！尽?2.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角(0<<)，使得曲線：2x2-xy+y2=10對新坐標(biāo)系中的方程式消去xy項(xiàng)。(1)試問旋轉(zhuǎn)角如何選擇？(2)作出的圖形?！尽?3.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角(0<<)，使得曲線：52x2-72xy+73y2=100之新方程式中沒有xy項(xiàng)。(1)求cot2，cos2，sin，cos的值。(2)寫出轉(zhuǎn)軸公式。(3)求的新方程式，並作圖明的形狀。【(1)(2)，(3)】14.利用轉(zhuǎn)軸變換,使曲線x2-xy+y2=3的新方程式中沒有xy項(xiàng)。【】15.利用”移軸、轉(zhuǎn)軸”化簡下列曲線,並作出其圖形。(1)5x2+4xy+8y2-2x+28y-7=0(2)7x2-6xy-y2-26x+2y+7=0【(1)(2)】16.在坐標(biāo)平面上,A(2,4)，O為原點(diǎn)，若繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)600，求A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)後之點(diǎn)坐標(biāo)?！?1-2,+2)17.求將直線x-3y+4=0繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)300後之新方程式?！?+3)x+(1-)y+8=0】2-3,4二元二次方程式的圖形及二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)化1.試分別求k值,使得方程式x2+kxy+y2=1為(1)橢圓型。(2)雙曲線型?！?1)-2<k<2(2)k>2或k<-2】2.試分別求k值,使得方程式k2x2+(k-1)xy+y2-1=0為(1)橢圓型。(2)雙曲線型(3)拋物線。【(1)k>或k<-1(2)-1<k<(3)k=1，-】3.試判斷二元二次方程式3x2+4xy-3y2=0之圖形?！鞠嘟粌芍本€】4.試判斷二元二次方程式8x2+4xy+3y2+2x-3y-10=0之圖形。【橢圓】5.試判斷二元二次方程式4x2+4xy+y2-6x-3y+2=0之圖形。【兩平行線】6.試判斷二元二次方程式x2-2xy+y2-2x-4y-1=0之圖形?！緬佄锞€】7.判別方程式x2-2xy+y2-4x-4y=0的圖形?！緬佄锞€】8.判別方程式x2+6xy+y2+12x+4y=0的圖形?！倦p曲線】9.判別下列方程式的類型：(1)3x2-7xy+5y2+x-3y-3=0 (2)5x2+12xy+5y2-18x-18y+9=0(3)x2+2xy+y2+2x-2y-4=0【(1)橢圓類(橢圓、圓、一點(diǎn)、)(2)雙曲線類(雙曲線、相交兩直線)(3)拋物線(拋物線、平行兩直線、重合兩直線、)】10.判別下列方程式的圖形：(1)x2+xy+5y2+2x+4y-7=0 (2)4x2+4xy+3y2+2x-4y+16=0(3)x2+2xy+3y2+2x+6y+3=0【(1)橢圓(2)(3)一點(diǎn)】11.判別下列方程式的圖形：(1)2x2+5xy-3y2+15x-4y+11=0 (2)5x2-16xy+3y2-6x-10y-8=0【(1)雙曲線(2)相交兩直線】12.判別下列方程式的圖形：(1)x2-2xy+y2+3x-y-4=0 (2)x2-4xy+4y2+3x-6y-28=0(3)x2-2xy+y2+8x-8y+16=0 (3)x2+4xy+4y2+2x+4y+2=0【(1)拋物線(2)平行兩直線(3)一直線x-y+4=0(4)】13.求實(shí)數(shù)k的值,使得方程式x2-5xy+6y2+12x+ky+35=0的圖形為相交兩直線。【k=-29或k=-31】14.利用坐標(biāo)變換，將曲線：5x2-6xy+5y2-4x-4y-4=0化成標(biāo)準(zhǔn)式，並作出的圖形。【】15.利用坐標(biāo)變換，將曲線：x2-6xy+y2-8x+8y+12=0化成標(biāo)準(zhǔn)式，並作圖說明的形狀?！尽?6.利用坐標(biāo)變換，將曲線：4x2-4xy+y2-2x-4y+8=0化成標(biāo)準(zhǔn)式，並作圖說明的形狀?！尽?7.利用坐標(biāo)變換，將方程式xy+2x-3y-8=0化成圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)式，並描繪其圖形?！尽?8.將坐標(biāo)軸平移使方程式x2+6xy+y2-10x-14y+9=0的新方程式不含一次項(xiàng),並判別方程式的圖形。【4x’2-2y’2-8=0雙曲線】19.將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一正銳角，使方程式13x2+10xy+13y2+36x+36y=0的新方程式不具xy項(xiàng)，並判別方式的圖形?！緳E圓】20.利用坐標(biāo)變換，將下列曲線化成標(biāo)準(zhǔn)式，並描繪其圖形。(1)5x2-4xy+2y2+2x-8y+5=0(2)6x2-12xy+y2-12x-8y-44=0(3)x2-2xy+y2+3x-y-4=0【(1)(2)(3)】一、題目如圖1所示，一個(gè)厚度均勻的三角形薄板，在頂點(diǎn)作用沿板厚方向均勻分布的豎向載荷。已知：P=150N/m，E=200GPa，QUOTE=0.25，t=0.1m，忽略自重。試計(jì)算薄板的位移及應(yīng)力分布。要求：編寫有限元計(jì)算機(jī)程序，計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移及單元應(yīng)力。（劃分三角形單元，單元數(shù)不得少于30個(gè)）；采用有限元軟件分析該問題（有限元軟件網(wǎng)格與程序設(shè)計(jì)網(wǎng)格必須一致），詳細(xì)給出有限元軟件每一步的操作過程，并將結(jié)果與程序計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比（任選取三個(gè)點(diǎn)，對比位移值）；提交程序編寫過程的詳細(xì)報(bào)告及計(jì)算機(jī)程序；所有同學(xué)參加答辯，并演示有限元計(jì)算程序。有限元法中三節(jié)點(diǎn)三角形分析結(jié)構(gòu)的步驟如下：1）整理原始數(shù)據(jù)，如材料性質(zhì)、荷載條件、約束條件等，離散結(jié)構(gòu)并進(jìn)行單元編碼、結(jié)點(diǎn)編碼、結(jié)點(diǎn)位移編碼、選取坐標(biāo)系。2）單元分析，建立單元?jiǎng)偠染仃嚒?）整體分析，建立總剛矩陣。4）建立整體結(jié)構(gòu)的等效節(jié)點(diǎn)荷載和總荷載矩陣5）邊界條件處理。6）解方程，求出節(jié)點(diǎn)位移。7）求出各單元的單元應(yīng)力。8）計(jì)算結(jié)果整理。一、程序設(shè)計(jì)網(wǎng)格劃分如圖，將薄板如圖劃分為6行，并建立坐標(biāo)系，則 PPPPXXXXYYYY單元編號節(jié)點(diǎn)編號單元編號節(jié)點(diǎn)編號剛度矩陣的集成建立與總剛度矩陣等維數(shù)的空矩陣，已變單元?jiǎng)偠染仃嚨募?。由單元分析已知?jié)點(diǎn)、單元的排布規(guī)律，繼而通過循環(huán)計(jì)算求得每個(gè)單元對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)序號。通過循環(huán)逐個(gè)計(jì)算：（1）每個(gè)單元對應(yīng)2種單元?jiǎng)偠染仃囍械哪囊环N；（2）該單元對應(yīng)總剛度矩陣的那幾行哪幾列（3）將該單元的單元?jiǎng)偠染仃嚰尤肟倓偠染仃嚨膶?yīng)行列循環(huán)又分為3層循環(huán)：（1）最外層：逐行計(jì)算（2）中間層：該行逐個(gè)計(jì)算（3）最里層：區(qū)分為第奇/偶數(shù)個(gè)計(jì)算單元?jiǎng)偠鹊募桑哼吔缂s束的處理：劃0置1法適用：這種方法適用于邊界節(jié)點(diǎn)位移分量為已知(含為0)的各種約束。

做法：

（1）

將總剛矩陣〔K〕中相應(yīng)于已知位移行主對角線元素置1，其他元素改為零；同時(shí)將載荷列陣｛R｝中相應(yīng)元素用已知位移置換。

◎

這樣，由該方程求得的此位移值一定等于已知量。

（2）

將〔K〕中已知位移相應(yīng)的列的非主對角成元素也置0，以保持〔K〕的對稱性。

◎

當(dāng)然，在已知位移分量不為零的情況下，這樣做就改變了方程左端的數(shù)值，為保證方程成立，須在方程右端減去已知位移對該方程的貢獻(xiàn)——已知位移和相應(yīng)總剛元素的乘積。

◎

若約束為零位移約束時(shí)，此步則可省去。

特點(diǎn)：

（1）

經(jīng)以上處理同樣可以消除剛性位移(約束足夠的前提下)，去掉未知約束反力。

（2）

但這種方法不改變方程階數(shù)，利于存貯。

（3）

不過，若是要求出約束反力，仍要重新計(jì)算各個(gè)劃去的總剛元素。程序如下：變量說明NNODE單元節(jié)點(diǎn)數(shù)NPION總結(jié)點(diǎn)數(shù)NELEM單元數(shù)NVFIX受約束邊界點(diǎn)數(shù)FIXED約束信息數(shù)組NFORCE節(jié)點(diǎn)力數(shù)FORCE節(jié)點(diǎn)力數(shù)組COORD結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組LNODS單元定義數(shù)組YOUNG彈性模量POISS泊松比THICK厚度B單元應(yīng)變矩陣(3*6)D單元彈性矩陣(3*3)S單元應(yīng)力矩陣(3*6)A單元面積ESTIF單元?jiǎng)偠染仃嘇STIF總體剛度矩陣ASLOD總體荷載向量ASDISP節(jié)點(diǎn)位移向量ELEDISP單元節(jié)點(diǎn)位移向量STRESS單元應(yīng)力%**********************************************************%初始化clearformatshorte%設(shè)定輸出類型clear%清除內(nèi)存變量NELEM=36%單元個(gè)數(shù)（單元編碼總數(shù)）NPION=28%結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)（結(jié)點(diǎn)編碼總數(shù)）NVFIX=2%受約束邊界點(diǎn)數(shù)NFORCE=1%結(jié)點(diǎn)荷載個(gè)數(shù)YOUNG=2e11%彈性模量POISS=0.25%泊松比THICK=0.1%厚度LNODS=[123;245;253;356;478;485;589;596;6910;71112;7128;81213;8139;91314;91410;101415;111617;111712;121718;121813;131819;131914;141920;142015;152021;162223;162317;172324;172418;182425;182519;251926;192620;202627;202721;212728]%單元定義數(shù)組（單元結(jié)點(diǎn)號）%相應(yīng)為單元結(jié)點(diǎn)號（編碼）、按逆時(shí)針順序輸入COORD=[00;-0.751.5;0.751.5;-1.53;03;1.53;-2.254.5;-0.754.5;0.754.5;2.254.5;-36;-1.56;06;1.56;36;-3.757.5;-2.257.5;-0.757.5;0.757.5;2.257.5;3.757.5;-4.59;-39;-1.59;09;1.59;39;4.59]%結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組%坐標(biāo)：x，y坐標(biāo)（共NPOIN組）FORCE=[10-15]%結(jié)點(diǎn)力數(shù)組（受力結(jié)點(diǎn)編號,x方向,y方向）FIXED=[2211;2811]%約束信息（約束點(diǎn)，x約束，y約束）%有約束為1，無約束為0%**********************************************************%生成單元?jiǎng)偠染仃嚥⒔M成總體剛度矩陣ASTIF=zeros(2*NPION,2*NPION);%生成特定大小總體剛度矩陣并置0%**********************************************************fori=1:NELEM%生成彈性矩陣DD=[1POISS0;POISS10;00(1-POISS)/2]*YOUNG/(1-POISS^2)%**********************************************************%計(jì)算當(dāng)前單元的面積A=-det([1COORD(LNODS(i,1),1)COORD(LNODS(i,1),2);1COORD(LNODS(i,2),1)COORD(LNODS(i,2),2);1COORD(LNODS(i,3),1)COORD(LNODS(i,3),2)])/2%**********************************************************%生成應(yīng)變矩陣Bforj=0:2b(j+1)=COORD(LNODS(i,(rem((j+1),3))+1),2)-COORD(LNODS(i,(rem((j+2),3))+1),2);c(j+1)=-COORD(LNODS(i,(rem((j+1),3))+1),1)+COORD(LNODS(i,(rem((j+2),3))+1),1);endB=[b(1)0b(2)0b(3)0;0c(1)0c(2)0c(3);c(1)b(1)c(2)b(2)c(3)b(3)]/(2*A);B1(:,:,i)=B;%**********************************************************%求應(yīng)力矩陣S=D*BS=D*B;ESTIF=B'*S*THICK*A;%求解單元?jiǎng)偠染仃嘺=LNODS(i,:);%臨時(shí)向量,用來記錄當(dāng)前單元的節(jié)點(diǎn)編號forj=1:3fork=1:3ASTIF((a(j)*2-1):a(j)*2,(a(k)*2-1):a(k)*2)=ASTIF((a(j)*2-1):a(j)*2,(a(k)*2-1):a(k)*2)+ESTIF(j*2-1:j*2,k*2-1:k*2);%根據(jù)節(jié)點(diǎn)編號對應(yīng)關(guān)系將單元?jiǎng)偠确謮K疊加到總剛%度矩陣中endendend%**********************************************************%將約束信息加入總體剛度矩陣（對角元素改一法）fori=1:NVFIXifFIXED(i,2)==1ASTIF(:,(FIXED(i,1)*2-1))=0;%一列為零ASTIF((FIXED(i,1)*2-1),:)=0;%一行為零ASTIF((FIXED(i,1)*2-1),(FIXED(i,1)*2-1))=1;%對角元素為1end%**********************************************************%生成單元?jiǎng)偠染仃嚥⒔M成總體剛度矩陣%*****************************