平面向量四心問題(最全).及平面向量數量積練習題

PAGEPAGE1近年來，對于三角形的“四心”問題的考察時有發(fā)生，尤其是和平面向量相結合來考察很普遍，難度上偏向中等，只要對于這方面的知識準備充分，就能應付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”問題的類型題做一闡述：一、

重心問題三角形“重心”是三角形三條中線的交點，所以“重心”就在中線上.例1

已知O是平面上一

定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：，則P的軌跡一定通過△ABC的

（

）Ａ

外心

Ｂ

內心

C

重心

D

垂心解析：如圖1，以AB，AC為鄰邊構造平行四邊形ABCD，E為對角線的交點，根據向量平行四邊形法則

，因為，所以，上式可化為，E在直線AP上，因為AE為的中線，所以選C.點評：本題在解題的過程中將平面向量的有關運算與平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質等相關知識巧妙結合.二、

垂心問題三角形“垂心”是三角形三條高的交點，所以“垂心”就在高線上.例2

P是△ABC所在平面上一點，若，則P是△ABC的（

）.A．外心

B．內心

C．重心

D．垂心解析:由.

即.

則，

所以P為的垂心.故選D.點評：本題考查平面向量有關運算，及“數量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關運算及“數量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關知識巧妙結合.三、

內心問題三角形“內心”是三角形三條內角平分線的交點，所以“內心”就在內角平分線線上.例3

已知P是△ABC所在平面內的一動點，且點P滿足，則動點P一定過△ABC的〔

〕.A、重心

B、垂心

C、外心

D、內心解析：如圖2所示，因為是向量的單位向量設與方向上的單位向量分別為，

又，則原式可化為，由菱形的基本性質知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.點評：這道題給人的印象當然是“新穎、陌生”，首先是什么？想想一個非零向量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質、角平分線的性質等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，這道題就迎刃而解了.四、

外心問題三角形“外心”是三角形三條邊的垂直平分線的交點，所以“外心”就在垂直平分線線上.例4已知O是△ABC內的一點，若，則O是△ABC的〔

〕.A．重心

B.垂心

C.外心

D.內心解析：，由向量模的定義知到的三頂點距離相等.故

是

的外心

，選C.點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質等相關知識巧妙結合三角形的“四心”與平面向量向量本身是一個幾何概念，具有代數形式和幾何形式兩種表示方法，易于數形結合，而且向量問題在進行數形結合時具有新形式、新特點，因此可稱為高中數學的一個交匯點。三角形的“四心”（外心、內心、重心、垂心）是與三角形有關的一些特殊點，各自有一些特殊的性質。在高考中，往往將“向量作為載體”對三角形的“四心”進行考查。這就需要我們在熟悉向量的代數運算的基礎上讀懂向量的幾何意義。與三角形的“四心”有關的一些常見的重要的向量關系式有：設，則向量必平分∠BAC，該向量必通過△ABC的內心;設，則向量必平分∠BAC的鄰補角設，則向量必垂直于邊BC，該向量必通過△ABC的垂心△ABC中一定過的中點，通過△ABC的重心點是△ABC的外心點是△ABC的重心點是△ABC的垂心點是△ABC的內心(其中a、b、c為△ABC三邊)△ABC的外心、重心、垂心共線，即∥設為△ABC所在平面內任意一點，G為△ABC的重心，，I為△ABC的內心，則有并且重心G（EQ\F(XA+XB+XC,3)，EQ\F(YA+YB+YC,3)）內心I（EQ\F(aXA+bXB+cXC,a+b+c)，EQ\F(ayA+byB+cyC,a+b+c)）AFECTB例1：（2003年全國高考題）是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則動點P的軌跡一定通過△ABC的（）AFECTB（A）外心（B）內心（C）重心（D）垂心事實上如圖設都是單位向量易知四邊形AETF是菱形故選答案B例2：（2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）為△ABC所在平面內一點，如果，則O必為△ABC的（）（A）外心（B）內心（C）重心（D）垂心事實上OB⊥CA故選答案D例3：已知O為三角形ABC所在平面內一點，且滿足，則點O是三角形ABC的（）（A）外心（B）內心（C）重心（D）垂心事實上由條件可推出故選答案D例4：設是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則動點P的軌跡一定通過△ABC的（）（A）外心（B）內心（C）重心（D）垂心事實上故選答案D例5、已知向量滿足條件，，求證：是正三角形．分析對于本題中的條件，容易想到，點是的外心，而另一個條件表明，點是的重心．故本題可描述為，若存在一個點既是三角形的重心也是外心，則該三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考題，原題是：若一三角形的重心與外接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實質是相同的．顯然，本題中的條件可改為．高考原題例6、O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P的軌跡一定通過△ABC的（）． A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心分析已知等式即，設，顯然都是單位向量，以二者為鄰邊構造平行四邊形，則結果為菱形，故為的平分線，選．例7、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數m=．分析：本題除了利用特殊三角形求解外，純粹利用向量知識推導則比較復雜，更加重要的一點是缺乏幾何直觀．解法如下，由已知，有向量等式，將其中的向量分解，向已知等式形式靠攏，有，將已知代入，有，即，由是外心，得，由于是任意三角形，則不恒為０，故只有恒成立．或者，過點作與，則是的中點，有；是垂心，則，故與共線，設，則，又，故可得，有，得．根據已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心坐標公式，設三角形的重心為，是平面內任一點，均有，由題意，題目顯然敘述的是一個一般的結論，先作圖使問題直觀化，如圖１，由圖上觀察，很容易猜想到，至少有兩個產生猜想的誘因，其一是，均與三角形的邊垂直，則；其二，點是三角形的中線的三等分點．此時，會先猜想，但現在缺少一個關鍵的條件，即，這樣由兩個三角形的兩邊長對應成比例，同時，夾角對應相等可得相似．當然，在考試時，只需大膽使用，也可利用平面幾何知識進行證明．本題結論是關于三角形的歐拉定理，即設O、G、H分別是△ABC的外心、重心和垂心，則O、G、H三點共線，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是．例8、點O是三角形ABC所在平面內的一點，滿足，則點O是的（ ）．A．三個內角的角平分線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點C．三條中線的交點 D．三條高的交點分析移項后不難得出，，點O是的垂心，選．3推廣應用題例9在內求一點，使最?。治鋈鐖D２，構造向量解決．取為基向量，設，有．于是，．當時，最小，此時，即，則點為的重心．例10已知為所在平面內一點，滿足，則為的心．分析將，也類似展開代入，已知等式與例４的條件一樣．也可移項后，分解因式合并化簡，為垂心．例11已知為的外心，求證：．分析構造坐標系證明．如圖３，以為坐標原點，在軸的正半軸，在軸的上方．，直線的方程是，由于點與點必在直線的同側，且，因此有，得．直線的方程是，由于點與點必在直線的同側，且，因此有，得．于是，容易驗證，，又，，，又，則所證成立．總結：知識綜述（一）三角形各心的概念介紹1、重心——三角形的三條中線的交點；2、垂心——三角形的三條垂線的交點；3、內心——三角形的三個內角角平分線的交點（三角形內切圓的圓心）；4、外心——三角形的三條垂直平分線的交點（三角形外接圓的圓心）根據概念，可知各心的特征條件．比如：重心將中線長度分成2：1；垂線與對應邊的向量積為0；角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；外心到三角形各頂點的距離相等．（二）三角形各心的向量表示O是的重心；O是的垂心；O是的外心(或)；O是的內心；注意：向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)平面向量數量積練習題一.選擇題1.下列各式中正確的是（）（1）(λ·a)·b=λ·(ab)=a·(λb),（2）|a·b|=|a|·|b|, （3）(a·b)·c=a·(b·c),（4）(a+b)·c=a·c+b·cA．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不對.2.在ΔABC中,若,則ΔABC為（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．無法確定3．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，則向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．24.已知||=1,||=，且(－)與垂直，則與的夾角為（）A．60°B．30°C．135°D．45°5.設||=4，||=3，夾角為60°，則|+|等于（）A．37 B．13 C． D．6．設x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|等于()A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．2eq\r(5)D．107．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))二.填空題8.已知是單位向量，∥且，則向量=__________.9．已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，則|b|＝________.10．已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是__________．三.解答題11．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)(n>1)，a與b的夾角是45°.(1)求b；(2)若c與b同向，且a與c－a垂直，求c.兩角和與差的正弦余弦正切公式一、選擇題：1．Sin165o等于（）A．B．C．D．2．Sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是（）A．B．C．D．-3．若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，則sin（α+2β）+sin（α－2β）等于()A．1 B．－1 C．0 D．±14．sin-cos的值是．（）A．0B．—C．D．2sin5.△ABC中，若2cosBsinA=sinC則△ABC的形