第十二講矩陣的初等行變換

第十二講矩陣的初等行變換第一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算它在解線性方程組、求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鹬匾淖饔?/p>

矩陣的初等變換把矩陣的形式改變了，但他的一些內(nèi)涵并沒有改變。正因?yàn)橛羞@樣的特點(diǎn)我們就把復(fù)雜的矩陣通過初等變換變成簡單的形式研究，就會很方便。2第二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:一、矩陣的初等變換的定義1.初等行變換）；記作兩行(1)對調(diào)兩行（對調(diào)jrrji?,,i;0乘以某一行的所有元素(2)以數(shù)1k）記作行乘（第krkii

×,.）行上記作倍加到第行的對應(yīng)的元素上去（第倍加到另一行

(3)把某一行所有元素的jikrrikjk+3第三頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一2.初等列變換：同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．3.初等變換：矩陣的初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換

如：問:能寫等號嗎？不能，只能用4第四頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一注：初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．的逆變換為變換變換的逆變換為變換的逆變換為5第五頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一6第六頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一二、矩陣的等價(jià)關(guān)系

．～行等價(jià)，記作與就稱矩陣，成矩陣經(jīng)有限次初等行變換變?nèi)绻仃嘊ABABAr．～列等價(jià)，記作與就稱矩陣，成矩陣經(jīng)有限次初等列變換變?nèi)绻仃嘊ABABAc

．等價(jià)，記作與就稱矩陣，矩陣經(jīng)有限次初等變換變成如果矩陣BABABA~7第七頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：

(i)反身性

A~A

(ii)對稱性

若

A~B

則B~A

(iii)傳遞性若A~B

B~C

則A~C

8第八頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一三、利用初等變換求矩陣的逆的方法設(shè)n階方陣A可逆，可按如下方法求A的逆矩陣：.

)(2

1-×AEEAEAnn就變成時(shí)，原來的變成當(dāng)把施行初等行變換，矩陣對即初等行變換方法的證明在初等矩陣那一節(jié)給出9第九頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一例設(shè)求解：注意：先把第一列變成單位向量，再把第二列變成單位向量。10第十頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一解:將元化為1例2.設(shè)，求.11第十一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一將元化為1這已是階梯形矩陣,再化為行最簡形

特別要注意將元素化為零的先后順序.12第十二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一所以若矩陣不可逆，也可以用初等變換的方法判別出來。13第十三頁，共十四頁，編輯于2023年，星期一1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．初等行變換小結(jié):3.求A-1