第六章IIR濾波器的設計方法

第六章IIR濾波器的設計方法當前第1頁\共有121頁\編于星期五\23點主要內(nèi)容理解數(shù)字濾波器的基本概念了解最小相位延時系統(tǒng)理解全通系統(tǒng)的特點及應用掌握沖激響應不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點了解利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器的設計過程了解利用頻帶變換法設計各種類型數(shù)字濾波器的方法當前第2頁\共有121頁\編于星期五\23點6.1引言數(shù)字濾波器：

是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。

高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點：當前第3頁\共有121頁\編于星期五\23點1、濾波器的基本概念（1）濾波器的功能濾波器的功能是對輸入信號進行濾波以增強所需信號部分，抑制不要的部分。a）時域說明b）頻域說明當前第4頁\共有121頁\編于星期五\23點（2）四種基本的濾波器四種基本濾波器為低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻濾波器（BRF）：當前第5頁\共有121頁\編于星期五\23點（3）四種基本濾波器的數(shù)字表示低通高通帶通帶阻當前第6頁\共有121頁\編于星期五\23點2、LP到其他濾波器的變換由LP實現(xiàn)的HP當前第7頁\共有121頁\編于星期五\23點LP實現(xiàn)的BP當前第8頁\共有121頁\編于星期五\23點LP實現(xiàn)的BRF當前第9頁\共有121頁\編于星期五\23點3、濾波器的性能指標帶寬：當幅度降低到0.707時的寬度稱為濾波器的帶寬（3dB帶寬）當前第10頁\共有121頁\編于星期五\23點通帶、阻帶與過渡帶：信號允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過渡帶。當前第11頁\共有121頁\編于星期五\23點滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。當前第12頁\共有121頁\編于星期五\23點阻帶衰減：輸入信號在阻帶的衰減量當前第13頁\共有121頁\編于星期五\23點帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度當前第14頁\共有121頁\編于星期五\23點4、數(shù)字濾波器的設計步驟數(shù)字濾波器的設計三個步驟:(1)

按要求確定濾波器的性能參數(shù)；(2)用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近去逼近這一性能要求；(3)用有限精度的運算實現(xiàn)；實現(xiàn)可以采用通用計算機，也可以采用DSP。當前第15頁\共有121頁\編于星期五\23點5、數(shù)字濾波器的技術要求選頻濾波器的頻率響應：

為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況

為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況當前第16頁\共有121頁\編于星期五\23點

：通帶截止頻率

：阻帶截止頻率

：通帶容限

：阻帶容限阻帶：過渡帶：通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近當前第17頁\共有121頁\編于星期五\23點通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當時，稱為3dB通帶截止頻率當前第18頁\共有121頁\編于星期五\23點6、表征濾波器頻率響應的特征參量幅度平方響應

的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的H(z)的極點：單位圓內(nèi)的極點當前第19頁\共有121頁\編于星期五\23點相位響應相位響應：當前第20頁\共有121頁\編于星期五\23點群延遲響應相位對角頻率的導數(shù)的負值若濾波器通帶內(nèi)=常數(shù)， 則為線性相位濾波器當前第21頁\共有121頁\編于星期五\23點7、IIR數(shù)字濾波器的設計方法先設計模擬濾波器，再轉換為數(shù)字濾波器用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數(shù)計算機輔助設計法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器當前第22頁\共有121頁\編于星期五\23點8、將DF的技術指標轉換為ALF的技術指標一、意義

AF的設計有一套相當成熟的方法：設計公式；設計圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。二、一般轉換方法

1、

2、

3、

4、當前第23頁\共有121頁\編于星期五\23點三、轉換舉例例如，一低通DF的指標：在的通帶范圍，幅度特性下降小于1dB；在的阻帶范圍，衰減大于15dB；抽樣頻率；試將這一指標轉換成ALF的技術指標。解：按照衰減的定義和給定指標，則有

假定處幅度頻響的歸一化值為1，即當前第24頁\共有121頁\編于星期五\23點這樣，上面兩式變?yōu)橛捎冢援敍]有混疊時，根據(jù)關系式模擬filter的指標為當前第25頁\共有121頁\編于星期五\23點6.2最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：頻率響應：當前第26頁\共有121頁\編于星期五\23點模：相角：當前第27頁\共有121頁\編于星期五\23點當位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為2p位于單位圓外的零/極矢量角度變化為0當前第28頁\共有121頁\編于星期五\23點令：單位圓內(nèi)零點數(shù)為mi單位圓外的零點數(shù)為mo單位圓內(nèi)的極點數(shù)為pi單位圓外的極點數(shù)為po則：當前第29頁\共有121頁\編于星期五\23點全部極點在單位圓內(nèi)：po=0，pi=N因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)：

2）全部零點在單位圓外：

為最小相位延時系統(tǒng)為最大相位延時系統(tǒng)n<0時，h(n)=0相位延時系統(tǒng)當前第30頁\共有121頁\編于星期五\23點逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)：

2）全部零點在單位圓外：

全部極點在單位圓外：po=N，pi=0為最大相位超前系統(tǒng)為最小相位超前系統(tǒng)相位超前系統(tǒng)n>0時，h(n)=0當前第31頁\共有121頁\編于星期五\23點最小相位延時系統(tǒng)的性質1）在相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后2）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而總能量相同5）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng)轉變成一相同幅度響應的非最小相位延時系統(tǒng)4）在相同的系統(tǒng)中，唯一3）最小相位序列的最大：當前第32頁\共有121頁\編于星期五\23點6.3全通系統(tǒng)對所有w，滿足：稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)當前第33頁\共有121頁\編于星期五\23點一階全通系統(tǒng)：極點：零點：零極點以單位圓為鏡像對稱極點：零點：當前第34頁\共有121頁\編于星期五\23點實系數(shù)二階全通系統(tǒng)兩個零點（極點）共軛對稱極點：零點：零點與極點以單位圓為鏡像對稱當前第35頁\共有121頁\編于星期五\23點可以證明，一階全通節(jié)在任何頻率上，其頻率響應的模都為1：當前第36頁\共有121頁\編于星期五\23點N階數(shù)字全通濾波器極點：的根零點：的根因為所以當前第37頁\共有121頁\編于星期五\23點全通系統(tǒng)的應用1）任一因果穩(wěn)定（非最小相位延時）系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián)其中：H1(z)為最小相位延時系統(tǒng)，為單位圓外的一對共軛零點當前第38頁\共有121頁\編于星期五\23點把H(z)單位圓外的零點： 映射到單位圓內(nèi)的鏡像位置： 構成Hmin(z)的零點。而幅度響應不變：P231圖6－6當前第39頁\共有121頁\編于星期五\23點2）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個穩(wěn)定濾波器把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內(nèi)單位圓外極點：當前第40頁\共有121頁\編于星期五\23點3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性利用均方誤差最小準則求均衡器Hap(z)的有關參數(shù)當前第41頁\共有121頁\編于星期五\23點6.4用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器設計思想： s平面z平面

模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應， 即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<1當前第42頁\共有121頁\編于星期五\23點設計方法：-沖激響應不變法-階躍響應不變法-雙線性變換法當前第43頁\共有121頁\編于星期五\23點6.5沖激響應不變法一、變換原理數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)

模仿模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)T—抽樣周期)()(nTxnxa=)()(nTynya=)()(nThnha=)(txa)(tya)(tha當前第44頁\共有121頁\編于星期五\23點設則：當前第45頁\共有121頁\編于星期五\23點從頻率響應來看：數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為2p/T只有當模擬濾波器的頻率響應是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即才能使數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真當前第46頁\共有121頁\編于星期五\23點

實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在|W|>Ws/2處衰減越快，失真越小當濾波器的設計指標以數(shù)字域頻率wc給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象當前第47頁\共有121頁\編于星期五\23點二、模擬濾波器的數(shù)字化當前第48頁\共有121頁\編于星期五\23點系數(shù)相同：極點：s平面z平面穩(wěn)定性不變：S域穩(wěn)定，即極點位于s平面左半平面，故在s平面：

z平面當前第49頁\共有121頁\編于星期五\23點當T很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：當前第50頁\共有121頁\編于星期五\23點試用沖激響應不變法，設計IIR數(shù)字濾波器例：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設T=1s，則當前第51頁\共有121頁\編于星期五\23點模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：當前第52頁\共有121頁\編于星期五\23點優(yōu)點：缺點：保持線性關系：w=WT

線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應ha(t)時域逼近良好沖激響應不變法的優(yōu)缺點當前第53頁\共有121頁\編于星期五\23點6.6階躍響應不變法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應g(n)

模仿模擬濾波器的階躍響應ga(t)

T—抽樣周期當前第54頁\共有121頁\編于星期五\23點當前第55頁\共有121頁\編于星期五\23點階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應不變法要小。當前第56頁\共有121頁\編于星期五\23點例：二階Butterworth歸一化模擬濾波器（LPF）為：設計對應3dB截止模擬頻率為50Hz的二階Butterworth數(shù)字濾波器。設數(shù)字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz，并采用階躍響應不變法來設計。解：求模擬系統(tǒng)函數(shù)：當前第57頁\共有121頁\編于星期五\23點當前第58頁\共有121頁\編于星期五\23點最后得（用在z-1表示）代入T=1/500，計算ZT得當前第59頁\共有121頁\編于星期五\23點6.7雙線性變換法沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿逼近缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真為了克服這一缺點，采用雙線性變換法。使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似當前第60頁\共有121頁\編于星期五\23點一、變換原理及特點沖激或者階躍響應不變法的映射是多值映射,導致頻率響應交疊。改進思路：先將s域平面壓縮到一個中介平面s1，然后再將s1映射到Z平面。當前第61頁\共有121頁\編于星期五\23點當前第62頁\共有121頁\編于星期五\23點為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關系，引入系數(shù)c當前第63頁\共有121頁\編于星期五\23點2）某一特定頻率嚴格相對應：1）低頻處有較確切的對應關系：特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置二、變換常數(shù)c的選擇當前第64頁\共有121頁\編于星期五\23點三、逼近情況1） s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi) s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上當前第65頁\共有121頁\編于星期五\23點四、優(yōu)缺點優(yōu)點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換當前第66頁\共有121頁\編于星期五\23點

缺點：除了零頻率附近，W與w之間嚴重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產(chǎn)生畸變當前第67頁\共有121頁\編于星期五\23點預畸變

給定數(shù)字濾波器的截止頻率w1，則按W1設計模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到w1為截止頻率的數(shù)字濾波器當前第68頁\共有121頁\編于星期五\23點五、模擬濾波器數(shù)字化方法可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)當前第69頁\共有121頁\編于星期五\23點可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)當前第70頁\共有121頁\編于星期五\23點6.8常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術指標，設計模擬濾波器，再轉換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev濾波器橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器當前第71頁\共有121頁\編于星期五\23點1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實函數(shù)將左半平面的的極點歸Ha(s)將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為Ha(s)的零點，虛軸上的零點一半歸Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的零極點分布當前第72頁\共有121頁\編于星期五\23點由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)對比和，確定增益常數(shù)由零極點及增益常數(shù)，得當前第73頁\共有121頁\編于星期五\23點例：解：極點：零點：（二階）零點：的極點：設增益常數(shù)為K0當前第74頁\共有121頁\編于星期五\23點（1）巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）2、常見模擬濾波器設計1）幅度平方函數(shù)：當稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)Wc為通帶截止頻率當前第75頁\共有121頁\編于星期五\23點1）幅度函數(shù)特點：

3dB不變性

通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小

過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小當W＝Wst（阻帶截止頻率）時，衰減的d1為阻帶最小衰減當前第76頁\共有121頁\編于星期五\23點Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：2）幅度平方特性的極點分布：當前第77頁\共有121頁\編于星期五\23點

極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點

極點間的角度間隔為

極點不落在虛軸上N為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點Ha(s)Ha(-s)的零極點分布(a)N=3(三階）(b)N=4（四階）當前第78頁\共有121頁\編于星期五\23點為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構成Ha(s)，而右半平面的N個極點構成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為設N=3，極點有6個（見前頁圖），它們分別為：（下頁）3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：其中分子系數(shù)由Ha(0)=1解得。當前第79頁\共有121頁\編于星期五\23點取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)：當前第80頁\共有121頁\編于星期五\23點由前討論知，系統(tǒng)函數(shù)為：極點為：當N為偶數(shù)，Ha(s)的極點（左半平面）皆成共軛對，記為：這一對共軛點構成一個二階子系統(tǒng)：當前第81頁\共有121頁\編于星期五\23點當N為奇數(shù)，則系統(tǒng)由一個一階系統(tǒng)（極點s=-1）和(N-1)/2個二階系統(tǒng)組成：整個系統(tǒng)由N/2（N為偶數(shù)）個此二階系統(tǒng)級聯(lián)而成：N為偶數(shù)N為奇數(shù)當前第82頁\共有121頁\編于星期五\23點為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得當前第83頁\共有121頁\編于星期五\23點例：試設計一個模擬低通巴特沃思濾波器，要求通帶截止頻率Ωc=2π×4000rad/s，通帶最大衰減δ1=3dB，阻帶下限截止頻率Ωst=2π×8000rad/s，阻帶最小衰減δ2=20dB.解：（1）求階數(shù)N：聯(lián)立求解，（過程見教材）得：因此可取N=4；當前第84頁\共有121頁\編于星期五\23點（2）求極點：由式：（3）求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：實際上，求出N=4時，可以直接查表（表6-4），得到歸一化的（Ωc=1）4階巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，然后再用s/Ωc代替其中的s即可得到同樣的結果。當前第85頁\共有121頁\編于星期五\23點4）濾波器的設計步驟：根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術指標：由得：同理：令則：當前第86頁\共有121頁\編于星期五\23點求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：

或者由N，直接查表得其中技術指標Wc給出或由下式求出：

其中極點：去歸一化阻帶指標有富?；蛲◣е笜擞懈辉．斍暗?7頁\共有121頁\編于星期五\23點例：設計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應不變法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）得模擬濾波器的技術指標：選T=1s當前第88頁\共有121頁\編于星期五\23點a）確定參數(shù)

用通帶技術指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設計Butterworth模擬低通濾波器當前第89頁\共有121頁\編于星期五\23點b)求出極點（左半平面）c)構造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化當前第90頁\共有121頁\編于星期五\23點4）將Ha(s)展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：當前第91頁\共有121頁\編于星期五\23點用沖激響應不變法設計出的Butterworth濾波器當前第92頁\共有121頁\編于星期五\23點2、用雙線性變換法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：當前第93頁\共有121頁\編于星期五\23點a）確定參數(shù)

用阻帶技術指標，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設計Butterworth模擬低通濾波器當前第94頁\共有121頁\編于星期五\23點b)求出極點（左半平面）c)構造系統(tǒng)函數(shù)當前第95頁\共有121頁\編于星期五\23點或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化當前第96頁\共有121頁\編于星期五\23點4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：當前第97頁\共有121頁\編于星期五\23點（2）切貝雪夫濾波器（Chebyshev）N：濾波器的階數(shù)Wc

：截止頻率，不一定為3dB帶寬0<e<1，表示通帶波紋大小，e越大，波紋越大CN(x)：N階Chebyshev多項式TypeIChebyshev當前第98頁\共有121頁\編于星期五\23點當N=0時，C0(x)=1；當N=1時，C1(x)=x；當N=2時，C2(x)=2x2-1；當N=3時，C3(x)=4x3-3x。由此可歸納出高階切比雪夫多項式的遞推公式為:

CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)當前第99頁\共有121頁\編于星期五\23點下圖示出了階數(shù)N=0,4,5時的切比雪夫多項式特性。由圖可見：

(1)切比雪夫多項式的過零點在|x|≤1的范圍內(nèi)；

(2)當|x|<1時，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等波紋性；

(3)當|x|>1時，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。左圖：N=0,4,5切比雪夫多項式曲線當前第100頁\共有121頁\編于星期五\23點切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性當前第101頁\共有121頁\編于星期五\23點N為偶數(shù)N為奇數(shù)

通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0當前第102頁\共有121頁\編于星期五\23點Chebyshev濾波器的設計過程：Wc

：通帶截止頻率，給定

e

：表征通帶內(nèi)波紋大小由通帶衰減決定1）求e：當前第103頁\共有121頁\編于星期五\23點N：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)，N的數(shù)值可由阻帶衰減確定。若Wst為阻帶截止頻率，則：2）求N：誤差的分貝數(shù)為δ2：進而可求得A值為：從而：由此得：當前第104頁\共有121頁\編于星期五\23點阻帶衰減越大（即A越大），所需階數(shù)越高注意到：因此：結合前式：當前第105頁\共有121頁\編于星期五\23點3）求濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：已知N，Ωc，ε，故可求出Ha(s)。一種方法是直接查表（表6-5），得到歸一化的的系統(tǒng)函數(shù)，然后再求出Ha(s)；另一方法為直接求解，先求出Ha(s)的極點分布，再求出Ha(s)，介紹如下：令其分母多項式為0，即可求出極點：當前第106頁\共有121頁\編于星期五\23點為求解前式，經(jīng)過一系列變換（見教材），得到Ha(s)Ha(-s)的極點為：若記：得到Ha(s)Ha(-s)在s平面的極點滿足的關系式為：當前第107頁\共有121頁\編于星期五\23點直接利用：和計算a和b并不方便，進一步簡化（推導見教材）如下：其中：取Ha(s)H