2022-2023學(xué)年廣東省深圳市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，若，則實數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】化簡集合，根據(jù)，求實數(shù)的可能取值，由此可得結(jié)果.【詳解】集合，又，，所以，故實數(shù)a的取值集合為，故選：C.2．函數(shù)的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為，下列導(dǎo)數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線斜率的變化可得出結(jié)論.【詳解】由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，，，又因為曲線在點(diǎn)處切線的斜率隨著的增大而減小，即在點(diǎn)處切線的斜率隨著的增大而減小，故.故選：A.3．某種品牌手機(jī)的電池使用壽命X（單位：年）服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.9，則該品牌手機(jī)電池至少使用6年的概率為（

）A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.1【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可.【詳解】由題得：，故，因為，所以根據(jù)對稱性得：.故選：D.4．已知等差數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，則最大值時的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)解得：然后求得：，當(dāng)時取最大值，且；【詳解】因為所以因為，所以所以當(dāng)時取最大值，且；故選：B5．已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，那么函數(shù)的極大值為（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】由是函數(shù)的極小值點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得的解析式，即可得函數(shù)單調(diào)遞區(qū)間及極大值點(diǎn)為，代入求解即可.【詳解】因為所以，又因為是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以，解得，所以，，令，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以在處取極大值，在處取極小值，所以的極大值為.故選：D.6．有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個工廠實習(xí)，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．36 D．72【答案】B【分析】根據(jù)題意，分廠只接受1個女生和廠接受2個女生兩類情況，結(jié)合廠的分派方案，利用分類、分步計數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，可分為兩種情況：①若廠只接受1個女生，有種分派方案，則廠分派人數(shù)可以為或，則有種分派方案，由分步計數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案；②若廠接受2個女生，只有1種分派方案，則廠分派人數(shù)為，則有種分派方案，此時共有種不同的分派方案，綜上，由分類計數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案.故選：B.7．若曲線有三條過點(diǎn)的切線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點(diǎn)的切線方程為，利用方程的解個數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為圖象與直線在R上有3個交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.【詳解】設(shè)該切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，整理得.要使過點(diǎn)的切線有3條，需方程有3個不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個交點(diǎn)，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)圖象與直線在R上有3個交點(diǎn)，即過點(diǎn)的切線有3條.所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B.8．已知隨機(jī)變量的分布列為：xyPyx則下列說法正確的是（

）A．存在x，， B．對任意x，，C．對任意x，， D．存在x，，【答案】C【分析】對A、B：根據(jù)期望的計算公式結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算；對C：先求，利用作差法比較大??；對D：換元令，結(jié)合二次函數(shù)求的取值范圍.【詳解】由題意可得：，且，即，對A、B：由題意可得：，∵開口向下，對稱軸，，則，故，即，不存在x，，，A錯誤；例如，則，即存在x，，，B錯誤；對C：，則，故對任意x，，則，C正確；對D：令，則開口向下，對稱軸，且，故，即，不存在x，，，D錯誤；故選：C.二、多選題9．某校1000名學(xué)生在高三一模測試中數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.分?jǐn)?shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，則（

）A．B．C．70分以下的人數(shù)約為6人D．本次考試的平均分約為93.6【答案】AD【分析】根據(jù)頻率分布圖的求解頻率、頻數(shù)、平均數(shù)即可求解.【詳解】對于A，，A正確；對于B，因為第六組有40人，第五組有160人，所以，B錯誤；對于C，70分以下的人數(shù)為人，C錯誤；對于D，平均成績，D正確，故選:AD.10．已知數(shù)列{an}的前n項和為，，若，則k可能為（

）A．4 B．8 C．9 D．12【答案】AC【分析】根據(jù)已知條件列方程，從而求得的值.【詳解】，當(dāng)時，由，解得或（舍去），所以A選項正確.，，，所以B選項錯誤.，所以C選項正確.，所以，所以D選項錯誤.故選：AC11．一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，從中無放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則（

）A．事件，為互斥事件 B．事件B，C為獨(dú)立事件C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件的定義判斷AB，由組合知識求得判斷C，根據(jù)條件概率的定義求得判斷D．【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個事件不可能同時發(fā)生，它們是互斥的，A正確；由于是紅球有3個，白球有2個，事件發(fā)生時，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨(dú)立，B錯；，C正確；事件發(fā)生后，口袋中有3個紅球1個白球，只有從中取出一個紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．故選：ACD．12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在區(qū)間內(nèi)有7個零點(diǎn) D．的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性的性質(zhì)、二倍角公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)的定義、換元法逐一判斷即可.【詳解】，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故錯誤.因為，所以當(dāng)時，，，故B正確.由，則在內(nèi)共有6個零點(diǎn)，故C錯誤.由題意可得，令，則，從而，當(dāng)，，或，故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.因為，，所以的最大值為，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)二倍角公式，利用換元法、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、填空題13．若的展開式中含有常數(shù)項，則正整數(shù)的一個取值為_________.【答案】3（只要是3正整數(shù)倍即可）【分析】根據(jù)二項式通項公式即可求出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項為，的展開式中含有常數(shù)項需要滿足，即，所以只要是3正整數(shù)倍即可.故答案為：3（只要是3正整數(shù)倍即可）.14．大氣壓強(qiáng)，它的單位是“帕斯卡”（Pa，），已知大氣壓強(qiáng)隨高度的變化規(guī)律是，其中是海平面大氣壓強(qiáng)，.當(dāng)?shù)馗呱缴弦惶幋髿鈮簭?qiáng)是海平面處大氣壓強(qiáng)的，則高山上該處的海拔為___________米.（答案保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）【答案】【分析】根據(jù)題意解方程即可得解.【詳解】由題意可知：，解得，所以.故答案為：.15．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則k的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)已知條件得恒成立，運(yùn)用分離參數(shù)求最值即可.【詳解】解：∵定義域為，，在上是單調(diào)減函數(shù)，∴恒成立；∴，，∵，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.∴，∴，即：k的取值范圍是．故答案為：.16．已知函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，則________【答案】2【分析】由題可得，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件即得.【詳解】因為函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，則，即，又，則，即，所以.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用同構(gòu)函數(shù)可得，可得，結(jié)合條件即得.四、解答題17．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求的前項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算可得，，即可得數(shù)列的通項公式；（2）由題可得，然后利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，，解得，所以，即的通項公式為；（2）由題可知，則，，兩式相減得：，.18．設(shè)函數(shù).(1)若在點(diǎn)處的切線為，求a，b的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)，；(2)答案見解析.【分析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.【詳解】（1）的定義域為，，因為在點(diǎn)處的切線為，所以，所以；所以把點(diǎn)代入得：.即a，b的值為：，.（2）由（1）知：.①當(dāng)時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，解得：，列表得：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問題第一步求導(dǎo)，第二步列切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個方程，可解切線相關(guān)問題.19．為貫徹落實《健康中國行動（2019—2030年）》《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》等文件精神，確保2030年學(xué)生體質(zhì)達(dá)到規(guī)定要求，各地將認(rèn)真做好學(xué)生的體制健康監(jiān)測.某市決定對某中學(xué)學(xué)生的身體健康狀況進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從該校抽取200名學(xué)生測量他們的體重，得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求這200名學(xué)生體重的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.(2)由頻率分布直方圖可知，該校學(xué)生的體重服從正態(tài)分布，其中μ近似為平均數(shù)，近似為方差.①利用該正態(tài)分布，求；②若從該校隨機(jī)抽取50名學(xué)生，記表示這50名學(xué)生的體重位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求.參考數(shù)據(jù)：.若，則，，.【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)的求法即可求出，利用方差公式計算即可求解；（2）由（1）可知，，結(jié)合題意給的參照數(shù)據(jù)即可求出，進(jìn)而得，利用二項分布求數(shù)學(xué)期望公式計算即可求解.【詳解】（1）由題意得，；.所以這200名學(xué)生體重的平均數(shù)為60，方差為86；（2）①由（1）可知，，則；②由①可知1名學(xué)生的體重位于的概率為0.6826.則，所以.20．已知正項數(shù)列的前n項和為，且，，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項之間依次插入，得到數(shù)列，求的前100項和.【答案】(1)，(2)186【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，即可求解，（2）根據(jù)的形成規(guī)律，分組即可求解.【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，

因為，所以，故．當(dāng)時，適合上式，所以，.（2）（方法1）因為，，所以當(dāng)時，．所以所以數(shù)列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，設(shè)，則，因為，所以.

所以的前100項是由14個1與86個2組成．所以.

（方法2）設(shè)，則，因為，所以.

根據(jù)數(shù)列的定義，知.21．甲、乙兩人進(jìn)行下象棋比賽（沒有平局）．采用“五局三勝”制．已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為，．(1)設(shè)甲以3：1獲勝的概率為，求的最大值；(2)記（1）中，取得最大值時的值為，以作為的值，用表示甲、乙兩人比賽的局?jǐn)?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意列出的解析式，通過求導(dǎo)即可得到的最大值.（2）由（1）得到的值，再根據(jù)的可能取值為3,4,5，分別求出其所對應(yīng)概率即可得出分布列，再由公式求得期望即可.【詳解】（1）甲以3：1獲勝，則前三局中甲勝兩局?jǐn)∫痪?，第四局甲必須獲勝，所以，，，令，得；令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值為．（2）由（1）知，由題意，知X的所有可能取值為3、4、5，相應(yīng)的概率為，，，所以X的分布列為X345PX的數(shù)學(xué)期望．22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，證明：：(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，由此證明，再證明；(2)由條件可得在上恒成立，化簡可得在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值可得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，要證，即證，設(shè)，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，