2022-2023學(xué)年安徽省六安市高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省六安市高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列求導(dǎo)不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算后可判斷．【詳解】A：；B：；C：；D：．故選：C．2．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列舉出的所有可能的情況，即得.【詳解】因?yàn)榧?、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．3．函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）A． B．和C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求的遞增區(qū)間.【詳解】由題設(shè)，且，可得，所以遞增區(qū)間為.故選：C4．將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，則不同的站法有（

）A．1440種 B．2880種 C．4320種 D．3600種【答案】C【分析】采用間接法，先求出沒有限制的所有站法，再排除不滿足條件的站法可求解.【詳解】7個(gè)人從左到右排成一排，共有種不同的站法，其中甲、乙、丙3個(gè)都相鄰有種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰的不同站法有種不同的站法.故選：C5．端午節(jié)為每年農(nóng)歷五月初五，又稱端陽節(jié)、午日節(jié)、五月節(jié)等.端午節(jié)是中國(guó)漢族人民紀(jì)念屈原的傳統(tǒng)節(jié)日，以圍繞才華橫溢、遺世獨(dú)立的楚國(guó)大夫屈原而展開，傳播至華夏各地，民俗文化共享，屈原之名人盡皆知，追懷華夏民族的高潔情懷.小華的媽媽為小華煮了8個(gè)粽子，其中5個(gè)甜茶粽和3個(gè)艾香粽，小華隨機(jī)取出兩個(gè)，事件A“取到的兩個(gè)為同一種餡”，事件B“取到的兩個(gè)都是艾香粽”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解.【詳解】由題意，，，所以.故選：B.6．展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為64，則該展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C．100 D．160【答案】C【分析】先用賦值法求得項(xiàng)數(shù)n，由于原式為三項(xiàng)式，需將作為整體進(jìn)行二項(xiàng)式展開，從原式展開式中取出前兩項(xiàng)再進(jìn)行展開，分別求出包含項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)，最后代回原式求和即可.【詳解】取代入，得，解得則原式其中，只有前兩項(xiàng)包含項(xiàng).，其中項(xiàng)的系數(shù)為；，其中項(xiàng)的系數(shù)為.故原式展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：C.7．已知函數(shù)在上的最小值為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】對(duì)于函數(shù)，則.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為，由，可得或，函數(shù)在上的極大值為，極小值為，且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.故選：B.8．已知是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)時(shí)，有，則不等式（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，解?故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題的常用模型有：模型1，若的系數(shù)為x，且同時(shí)出現(xiàn)與的和或差，考慮構(gòu)造x與的積或者商；模型2，若出現(xiàn)與且系數(shù)相同時(shí)，考慮構(gòu)造e與的積或者商.模型3，若出現(xiàn)與系數(shù)分別是常數(shù)和x時(shí)，考慮構(gòu)造與的積或者商；模型4，若出現(xiàn)與且系數(shù)為與時(shí)，考慮構(gòu)造與的積或者商，或者與的積或者商.二、多選題9．記，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用賦值法判斷A、C、D，寫出展開式的通項(xiàng)，即可判斷B.【詳解】因?yàn)椋羁傻?，故A正確；令可得，令可得，兩式相加可得，故C正確；令可得，所以，故D正確；又二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，所以，所以，故B錯(cuò)誤；故選：ACD10．若件產(chǎn)品中有件次品和件正品．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，記取得的次品數(shù)為隨機(jī)變量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若是有放回的抽取，則B．若是無放回的抽取，則C．無論是有放回的抽取還是無放回的抽取，的數(shù)學(xué)期望相等D．無論是有放回的抽取還是無放回的抽取，的方差相等相等【答案】BC【分析】若是有放回的抽取，則，求出及、，若是無放回的抽取，則服從超幾何分別，求出所對(duì)應(yīng)的概率，從而得到、，即可判斷.【詳解】若是有放回的抽取，則，則，，，故A錯(cuò)誤；若是無放回的抽取，則可能取，，，，其對(duì)應(yīng)的概率為，，，，，．故B、C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC11．下列說法正確的是（

）A．從含有2件次品和98件正品的100件產(chǎn)品中任取2件，則至少取到1件次品的取法有種B．甲乙等6名同學(xué)和1名老師站成一排照相，則老師必須站在最中間且甲乙必須站在一起的站法有192種C．將10個(gè)“三好生”名額分給4個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額，共有84種分法D．將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，共有150種放法【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A至少取到1件次品的取法分為兩類，抽1個(gè)次品1個(gè)正品和抽2個(gè)次品；選項(xiàng)B特殊位置優(yōu)先排，相鄰問題要捆綁處理；選項(xiàng)C相同元素分配問題，可用隔板法；選項(xiàng)D不同元素分配問題，先分組再分配.【詳解】選項(xiàng)A：從含有2件次品和98件正品的100件產(chǎn)品中任取2件，則至少取到1件次品的取法有種，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：甲乙等6名同學(xué)和1名老師站成一排照相，則老師必須站在最中間，故只需排6名學(xué)生，老師左右各三個(gè)位置，甲乙必須站在一起，將甲乙捆綁看作一個(gè)元素，若甲乙在老師左邊，則左邊還有1個(gè)位置可以在甲乙左側(cè)或右側(cè)，右邊有3個(gè)位置，若甲乙在老師右邊，則左邊還有1個(gè)位置可以在甲乙左側(cè)或右側(cè)，左邊有3個(gè)位置，共有種，故B正確；選項(xiàng)C：隔板法，可以把問題看做由3個(gè)隔板插入10個(gè)相同元素中的9個(gè)空里，把10個(gè)元素分為4份，故共有種，C正確；選項(xiàng)D：先分組，再排列，第一類，將5個(gè)不同的小球分為數(shù)量為3、1、1的三組，再排列，有種；第二類，將5個(gè)不同的小球分為數(shù)量為2、2、1的三組，再排列，有種共有種，故D正確.故選：BCD12．已知，，a是參數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則 B．至多2個(gè)零點(diǎn)C．若，則的零點(diǎn)之和為0 D．無最大值和最小值【答案】ACD【分析】求導(dǎo)，把兩個(gè)極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)方程有兩個(gè)解問題，分離參數(shù)數(shù)形結(jié)合即可求解a的范圍，判斷A，求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，直接判斷即可判斷B；問題等價(jià)于直線y＝a與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是否為0，由函數(shù)的奇偶性容易判斷C，結(jié)合函數(shù)的的單調(diào)性及圖象變化趨勢(shì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的解，分參得，有兩個(gè)不同的解，記，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，作出函數(shù)的圖象，要使有兩個(gè)不同的解，則直線與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖知，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，結(jié)合A選項(xiàng)知，存在，，使得，又，所以，又，x趨向負(fù)無窮大時(shí)，函數(shù)無限趨向于負(fù)無窮大，x趨向正無窮大時(shí)，函數(shù)無限趨向于正無窮大，且，由零點(diǎn)存在性可知，有三個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的根即為的根，亦即直線y＝a與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以直線y＝a與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)A知，，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且x趨向負(fù)無窮大時(shí)，函數(shù)無限趨向于負(fù)無窮大，x趨向正無窮大時(shí)，函數(shù)無限趨向于正無窮大，此時(shí)函數(shù)無最大值和最小值；當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)B知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且x趨向負(fù)無窮大時(shí)，函數(shù)無限趨向于負(fù)無窮大，x趨向正無窮大時(shí)，函數(shù)無限趨向于正無窮大，此時(shí)函數(shù)無最大值和最小值；綜上，函數(shù)無最大值和最小值，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.三、填空題13．若，則________【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與賦值法求解，【詳解】，令，得，故答案為：14．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，記向上的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的方差________．【答案】【分析】依題意的可能取值為、、、、、，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望與方差.【詳解】依題意的可能取值為、、、、、，且，所以，則.故答案為：15．若函數(shù)有極值,則函數(shù)的極值之和的取值范圍是________.【答案】【分析】先求導(dǎo)，方程在上有根求出的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理即可化簡(jiǎn)，根據(jù)的范圍即可求出．【詳解】解：的定義域是，，存在極值，在上有根，即方程在上有根．設(shè)方程的兩根為，，，，即，，，，故函數(shù)的極值之和的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)函數(shù)極值的關(guān)系，以及韋達(dá)定理及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題16．設(shè)直線l是函數(shù)，和函數(shù)的公切線，則l的方程是________．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義和斜率的比值定義式，以及導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)直線l與函數(shù)的切點(diǎn)為A，直線l與函數(shù)的切點(diǎn)為B，，所以，，所以，所以，后面等式整理得，代入前面等式整理得，化簡(jiǎn)得，令，因?yàn)?，所以，所以，令，所以，容易知道，為減函數(shù)，，所以恒成立，所以單調(diào)遞增，所以最多一個(gè)零點(diǎn)，容易知道，所以只有一個(gè)解，故，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】雙切點(diǎn)聯(lián)立方程，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵.四、解答題17．在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并對(duì)其求解．條件①：第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；條件②：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；條件③：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256．問題：在展開式中，(1)求的值與展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和；(2)這個(gè)展開式中是否存在有理項(xiàng)？若存在，將其一一列出；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)選三個(gè)中的任意一個(gè)，；展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．(2)存在，展開式中有理項(xiàng)分別為；；．【分析】（1）利用二項(xiàng)展開式的性質(zhì)列方程即可求得的值，利用賦值法即可求得展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和；（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，由x的冪次為整數(shù)列方程即可求得展開式中有理項(xiàng).【詳解】（1）選①，第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，所以；令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．選②，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，解得；令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．選③，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則，解得：．令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．（2）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為：．依題意可知，當(dāng)，3，6時(shí)，二項(xiàng)展開的項(xiàng)都是有理項(xiàng)．所以：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以展開式中有理項(xiàng)分別為；；．18．一個(gè)闖關(guān)游戲共三關(guān)，游戲規(guī)則：闖過第一關(guān)才能進(jìn)入第二關(guān)，闖過第二關(guān)才能進(jìn)入第三關(guān)，闖過三關(guān)或闖關(guān)失敗則游戲結(jié)束且各關(guān)闖關(guān)是否成功是相互獨(dú)立的．小明玩這個(gè)游戲，他能過一、二、三關(guān)的概率分別是，和.(1)求小明闖到第三關(guān)的概率.(2)記游戲結(jié)束時(shí)小明闖關(guān)成功的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）依題意當(dāng)小明第一、二關(guān)闖關(guān)成功時(shí)能夠闖到第三關(guān)，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意的可能取值為、、、，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）依題意小明闖到第三關(guān)即第一、二關(guān)均闖關(guān)成功，故概率；（2）依題意的可能取值為、、、，則，，，，所以的分布列為：所以.19．已知函數(shù)在時(shí)有極值0．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意可得，從而可得出答案；（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值，再根據(jù)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，列出不等式，解之即可得出答案.【詳解】（1）解：，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)有極值0，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以；（2）解：由（1）得，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的極大值為，極小值為，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，再對(duì)按，進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問，若，至多有一個(gè)零點(diǎn).若，當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進(jìn)行討論，可知當(dāng)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn).易知在有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).從而可得的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域?yàn)?，，（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，即.又，故在有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.點(diǎn)睛:研究函數(shù)零點(diǎn)問題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證最小值兩邊存在大于0的點(diǎn).21．為弘揚(yáng)體育精神，營(yíng)造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入決賽．規(guī)定：先累計(jì)勝兩場(chǎng)者為冠軍，一場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場(chǎng)比賽結(jié)束后，將不能參加后面場(chǎng)次的比賽．在規(guī)則允許的情況下，甲隊(duì)中球員都會(huì)參賽，他上場(chǎng)與不上場(chǎng)甲隊(duì)一場(chǎng)比賽獲勝的概率分別為和，且每場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上的概率為．(1)求甲隊(duì)第二場(chǎng)比賽獲勝的概率；(2)用表示比賽結(jié)束時(shí)比賽場(chǎng)數(shù)，求的期望；(3)已知球員在第一場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊(duì)比賽獲勝的概率．【答案】(1)(2)(3